PHÉNOMÈNES THBRHOMÉGANIQLES, DANS LES SOLIDES

260. Problèmes les plus simples de convection calorifique. — Puisque la chaleur se propage, du moins à une première approxi-

ricnces confîrinairiccs de ces théories respectives, ainsi dérivées d'une même doctrine. Mais il faut pousser plus loin les calculs, si Ton veut atteindre le phénomène de la dilatation des solides par la chaleur.

Abordons-en l'étude en généralisant, pour l'étendre aux variations modérées 0 de la température, le principe expérimental, formulé vers 1678 par Robert Hooke (ut extensio sic vis), de la proportionnalité des forces élastiques aux extensions ou déformations qui les provoquent. Ainsi, nous supposerons linéaires non seulement par rapport aux D, ^, mais aussi par rapport à 0, les six forces N, T dont il a été parlé dans la note précédente (p. i65), mais qui seront produites maintenant, à l'intérieur ou sur les faces de la particule q, par réchauffement 6 concurremment avec les déformations D, g, à partir de Vétat naturel relatif à la température spéciale 6 = 0. Il est donc entendu que, pour n'avoir pas à ajouter aux d, ^ définis plus haut (p. i46) les petites déformations spéciales, fonctions de 6, dues au changement de l'état naturel entre la température prise comme origine et la température actuelle, nous appelons ^, ^ les déformations totales mêmes, en partie thermiques et en partie élastiques^ éprouvées par la particule depuis l'état naturel correspondant à la température origine, tandis que, jusqu'ici, d, ^ désignaient leurs parties purement élastiques, ou comptées seulement depuis l'état naturel relatif à la température effective 6.

Et nous aurons six formules de la forme

j (^'x» ^j-> N,, T,, T , T^) = des fonctions linéaires homogènes

( de e, D,, ^^, D,, 0„ 3^, 9,.

Les coefficients d'élasticité dans ces formules, ou coefficients des D, g, ne dépendront pas de 6; car leurs petites variations dues aux élévations modérées 6 de la température n'ajouteraient, une fois multipliées par lest), g, que des termes do second ordre.

Il ne s'adjoindra donc, aux formules ordinaires des N, T, que les termes simplement proportionnels à 6, et que nous écrirons, respectivement, — v^6, — v ô, — v,6, — T^e, — TyG, — T,e dans N^,, N^, N„ T,, T^, T,. Rien n'obligeant à modifier les résultats de première approximation en ce qui concerne les autres termes, relatifs à la température fixe 6 = 0, admettons provisoirement, pour plus de simplicité et sauf à reconnaître bientôt l'exactitude de notre hypothèse, que l'ensenable de ces autres termes continuera à être les dérivées premières d'une fonction p4> des D, g seuls, laquelle sera évidemment une fonction homogène et entière du second degré. Et si nous posons, pour abréger,

les nouvelles expressions des forces N, T seront encore les dérivées respectives, par rapport aux D, g, A^nn potentiel , savoir, de la fonction p<I>' des D, d, 6; en sorte que, d'une part, l'on aura

d^^ ^ d^y ' rfg.

et, d'autre part, vu la formule (e') de d(B, en rapportant le travail de déforma-

l68 PRESSIONS, POTENTIEL d'ÉLASTIGITÉ, ÉNERGIE INTERNE,

mation, dans un soHde qui se déforme comme dans un solide en repos, il n'y a pas lieu de nous arrêter davantage au problème de

lion d^ à l'unité de volume acluel ou même primitif,

Mais voyons comment se calculeront, pour la particule, les déformations thermiques ordinaires, c'est-à-dire produites, à l'état naturel ou pour des valeurs sans cesse nulles des N, T, par les variations 6 de la température. Les expressions (T) des N, T étant homogènes du premier degré en D, «^,6, les six équations (N,T) = o, résolues par rapport aux six déformations t), 3, donneront à celles-ci des valeurs de la forme

avec six coefficients de déformation thermique D, G. Les déformations thermiques de la particule seront donc proportionnelles à réchauffement 6.

Il résulte d'un théorème de Cauchy sur toute déformation continue, qu'unr sphère, idéalement découpée dans la particule en son primitif état naturel, se sera changée en un ellipsoïde, et que celui-ci aura pour axes trois fibres diamétrales de la sphère restées rectangulaires, d'une orientation dépendant des rapports mutuels qu'ont les coefficients D, G de déformation ; enfin, les dilatations de ces fibres, ou dilatations principales de la particule à l'état naturel, encore fonctions des D, G, seront, en outre, proportionnelles à 6. On sait comment l'éminent physicien Fizeau a, par des procédés optiques d'une étonnante précision, déterminé en direction et en grandeur ces trois dilatations principales dans un grand nombre de cristaux.

L'ellipsoïde se réduit évidemment à une sphère dans toute particule amorphe et, plus généralement, wo/ro/?e, où réchauffement 6, conservant l'isotropie, laisse, à l'état naturel, la particule semblable à elle-même, en dilatant toutes ses fibres dans un même rapport. On a donc alors, dans les formules (t*),des coefficients G nuls et des coefficients D égaux, qui ne sont autres que le coefficient de dilatation linéaire de la particule. Si, au lieu de laisser la particule se dilater librement par réchauffement 0, on la comprimait de manière à annuler les déformations D, 0, il est clair qu'elle n'en resterait pas moins isotrope, ou qu'une pression normale commune s'exercerait sur tous ses éléments plans; car les vibrations calorifiques se font, à l'intérieur d'un corps isotrope, indifféremment dans tous les sens : donc les trois composantes normales N de pression y auraient une même valeur — v8, et, les trois composantes tangentiellcs T, valeur nulle.

En rapportant une telle particule, après de petites déformations c), ^ quelconques, à trois axes dirigés suivant les trois dilatations linéaires principales alors produites, dilatations que nous appellerons <),, î)^, 4)3 et qu'accompagneront" (par la définition même des dilatations principales) trois glissements ^ nuls, la symétrie supposée de la contexture primitive par rapport à toutes les directions obligera de prendre pour le potentiel p4>' une fonction où c),, c),, 4)3 entreront symétriquement. A.insi p<l>' ne comprendra, à part son premier terme, '«n 6, — v6((),-t- <)j-4- 4)3), que deux termes, l'un, en c^î H- <)î -4- i)*, l'autre, en «JjDjH- <)3t),-4- DjDj, ou, ce qui revient au même, grâce à une combinaison des

ET ÉQUATIOIVS DES PHÉNOMÈNES THBRVOMÉCANIQUESy DANS LES SOLIDES. 169

ses températures. Mais il n'en est pas de même du problème analogne relatif aux fluides, chez lesquels des déplacements notables

deux, l'un, en (i),-+-<)2-+-<)3)', l'autre, en <)] -4-()î -h c)}. Il viendra donc, en appelant X, p. (notations de Lamé) deux certains coefficients d'élasticité, indépendants, comme v, de la direction des <),, ^^y ^3 ^ raison de Tisotropie de la matière dans son état naturel primitif,

p<i>'= ve(;),-f-'D,-t- î)3) -f- - (^.-h ^j-'- ^3)'-^ \»-W ^- ^1 -^- *^3 )•

Soit p<ï»i sa valeur (proportionnelle à 6') dans l'état naturel actuel, où D, = Dj = î)^ - 1 DO; et, d'après (T), la différence p4»'— p<ï>'o, qu'on peut appeler

potentiel cl*élas£icité, exprimera le travail total /c?C de déformation d'une par-

ticale par unité de son volume, à température 6 constante et à partir de l'étal naturel correspondant.

Le potentiel p*' sera la somme analogue / rf^, mais comptée à partir de <),

3 nuls, c'est-à-dire depuis la figure de l'état naturel primitif. Ainsi, ce potentiel p<l>' est, dans chaque particule, une fonction déterminée de l'état physique actuel, entièrement indépendante des axes coordonnés choisis; et, d'autre part, si l'on revient des directions de <),, ^^t ^3 ^^^ ^i Xi ^ primitifs, la théorie générale des petites déformations donne, entre ^p «^2, ^3 et <)^, <)^, <)j, ^,, ^j,, ^^, trois relations, dont les deux plus simples sont

L'expression générale du potentiel p<^' dans une matière isotrope sera donc, avec trois coefficients v, X, p. caractéristiques de cette matière,

ij) p4»'=-ve(;),4-D^-HD.).*-J(;),4-D^-^DJ2^-lJL(;)i+D»-t-D|-^âll^^

On en déduira, grâce aux formules (i'), les expressions des forces en partie thermiques et en partie élastiques N, T, et, par suite, comme dans la théorie classique de l'élasticité, les équations du mouvement visible.

En général, que la contcxture soit, ou non, isotrope, la première approximation, exposée dans le texte, aura fait connaître suffisamment les températures successives 6. Dès lors, les parties des pressions où figure 6 reviendront à des forces fonctions explicites de x, y, z, t. Donc le problème du mouvement visible produit ou modifié par réchauffement se traitera à la manière d'un problème d'élasticité, dans lequel s'adjoindraient, à la pesanteur et aux pressions, certaines actions extérieures, données en fonction du temps et des coordonnées primitives. Vu la forme linéaire des équations, la solution se composera d'une intégrale particulière, accrue de l'intégrale générale qu'on aurait sans ces actions extérieures. C'est dire que les vibrations produites par réchauffement se superposeront simplement aux vibrations élastiques ordinaires.

Nous avons regardé comme valable la forme des termes en »), g des N,T fournie par la première hypothèse approchée du texte (p. 161 et 166), c'est-à-dire l'existence

170 PRESSIONS, POTENTIEL d'ÉLASTICITÉ, ÉNERGIE INTERNE,

peuvent résulter de fort petites causes et notamment de légères inégalités de température. Les équations que nous avons données

du potentiel p4> relatif à ces termes; d'où a résulté le nouveau potentiel p<&'. Il importe d'observer que, même sans admettre la forme linéaire desN,Ten c),q,0, des considérations d'une tout aulre nature établissent directement l'existence du

potentiel purement élastique 1 cKB — p*'— p4»i et, en particulier, pour 6 — 0, celle

du potentiel p<t>. Ces considérations s'appuient, à la fois, sur la possibilité d'elTectuer très lentement et, par suite, à température très sensiblement constante, les déformations c), ^, à partir de l'état naturel de la particule, et sur le principe pratique de l'impossibilité du mouvement perpétuel, si bien démontré expérimentalement par les innombrables et toujours infructueuses tentatives des inventeurs. On peut voir, à ce sujet, la onzième de mes Leçons synthétiques de Mécanique générale (p. 128).

Un appel encore plus complet au même principe pratique (appelé alors Principe de Carnot) permet, comme on sait, de démontrer, pour le terme c?Q de l'équation (i) (p. 149)1 c'est-à-dire pour l'expression M c?U — </(^, ou, à un facteur constant près (p. i65),

rf.pU-(N,c?D,-4-N^rfD^H-...-M,e/3J,

l'existence d'un facteur d'intégrabilité, inverse de la température absolue T,4- 6 de la particule.

En d'autres termes, l'expression

rf.pU I /rf.p*' >, rfp*'^ \

est la différentielle totale exacte d'une fonction déterminée (Ventropie de Clausius) des D, g et de Tg+B. Or de là résulte la possibilité de relier simplement à <ï»' l'énergie interne U. Car l'expression (y') revient identiquement, après division par le facteur constant p (densité de la particule dans son primitif état naturel), à

et l'on voit qu'elle sera une différentielle exacte, à la condition nécessaire et suffisante que le terme en d^ en soit une à lui tout seul; ce qui exige évidemmeot que la quantité eùtre crochets dépende uniquement de la température 0. Appelons W cette fonction de 6, et nous aurons

(/) u=<i»'-(To4-e)-^-h^.

C'est ainsi que, grâce au principe de Carnot, lord Kelvin a pu, de la fonction <ï»', c'est-à-dire, au fond, du potentiel d'élasticité, déduire, à une fonction près de 0, l'énergie inlerne U; ce que ne nous permettrait pas de faire l'équation (i), maintenant que nous ne pouvons plus, comme à une première approximation, annuler la chaleur dQ qu'absorbe la particule, dans une déformation même assez lente pour que 0 n'y varie pas sensiblement.

Supposons nos températures absolues Tq-4-6 assez basses pour qu'on puisse.