I7B LOIS DE SIMPLE PROPOBTIONNALITÉ OU DE SIMIUTUDB

Les trois premières de ces relations donnent, pour exprimer les dérivées de 6, w, i^, w, P en j?, y^ z, au moyen de celles de O, U, V, W, n en Ç, 71, Ç, les formules symboliques

et les équations indéfinies (i5), (16) (p. 174)? où u\ v\ «/, 6' ont les expressions (20), deviennent, après avoir été divisées respecti-

— ^— -) > les trois suivantes, par ay, enfin, la dernière, par / — vT^) -

dU dV ûfW dn ... dn -,, du ^ .-.,

ttÇ rflj w^

Donnons-nous, d'ailleurs, Téquation du solide sous la forme

j ce qui reviendra, si le coefficient ( — ^jp ) change et que nous

voulions cependant avoir toujours la même fonction /, à considérer des corps semblables au proposé, mais de dimensions inversement proportionnelles à ce coefficient, ou d'un volume en raison

K* directe de — ;^« Alors les cosinus directeurs À, a, v de la normale

resteront les mêmes aux points homologues; et les conditions définies ou aux limites, savoir, (17), (18), avec la première (19), deviendront :

( [à la surface /($,r„ 0 = 0] XU-+-{jiVh-vW = o et er=ij;($, r^, Ç), ( (aux dist. v^{« -h V -+- Ç» infinies) (D, U, V, W, 8; = o.

Nous admettrons, à la surface de tous nos corps semblables iné-

DANS LES GOUBAIfTS FLUIDES DLS A LA CHALEUR. 179

gaiement chauffés, un mode de dislribution pareil des excès ai^ de température, c'est-à-dire des valeurs de ces excès exprimées, aux points homologues de tous, par une même fraction ou proportion «{^(Ç, 7|, Ç) de réchauffement moyen donné a de la surface.

Le sj'stème d'équations (28) et (aS) devant déterminer 0, U, V, W, n en fonction de Ç, 7\, Ç, il suffira de substituer, dans ses intégrales, à ces huit nouvelles variables, leurs expressions tirées de (21), pour avoir cinq relations, de la forme

I =des fonctions définies de i^^^j ^» \K^) ^' (~K*~) '

On voit que, si l'excédent a de température des corps considérés reçoit différentes valeurs, les vitesses w, r, w du fluide

seront, aux points homologues de l'espace entourant ces corps,

j proportionnelles à la racine cubique a' de cet excédent; et qu'une

même fonction 0 de celui-ci sera prise, en ces points homologues, par le fluide y effectuant son passage.

264. Ce qui résulte de ces lois pour les flux caloriflques de con- ▼ectioii émanant de la surface du corps. — Le flux F de chaleur fourni au fluide dans l'unité de temps par l'unité d'aire d'un quelconque des corps, égal à celui que la couche fluide contiguë communique au liquide ou au gaz plus éloigné du solide, aura, comme

on sait, l'expression

,, / . rfe d% d^\

En y introduisant les nouvelles variables et fonction $, rj, ÎJ, 0, ou aura donc

Aux points homologues des surfaces fÇi, y|, JJ) = o limitant les corps considérés, les cosinus directeurs X, [x, v et les dérivées

-T-^ ont mêmes valeurs respectivement. Donc, le flux de

l8o LOIS DE SIMILITUDE DANS LES GOUBÀNTS DUS A LA CHALEUR *.

chaleur que le fluide enlève à V unité d'attiré des corps semblables dont il s'agit est proportionnel, en ces points homo-

logues, à la puissance |, a' ou a*»^'', de Vexcédent de température de chaque corps sur la masse du fluide; et il dépend

des autres propriétés physiques de celui-ci par le facteur (KC^y)*, croissant avec sa conductibilité intérieure K, avec la capacité calorifîque C de son unité de volume, enfîn, avec le produit, y, de la gravité g par Taccroissement a de cette unité de volume, pour un degré d'élévation de la température.

Si, l'excédent a venant à croître, le solide restait le même, au lieu de faire place à un autre plus petit, en volume, dans un rapport inverse de a, l'unité d'aire de sa surface serait moins courbe et, par conséquent, moins convexe que ne le suppose la formule (27) quand Ç, v), Ç j conservent leurs valeurs.

Alors, en effet, il faudrait, pour traiter le problème par le système d'équations (23) et (25), modifier, dans (26), vu les expressions (21) de Ç, Tj, Ç, la surface-type /(Ç, rj, Ç) = o, en multipliant

par a' les coordonnées de tous ses points; ce qui multiplierait

par a} l'aire de ses diverses parties, sans altérer leurs directions respectives.

Or, on conçoit que, toutes choses égales d'ailleurs, une forme moins convexe de l'unité de surface restreigne dans une légère 'mesure les rapports du solide avec le fluide ambiant, rapports qu'une forme concave réduirait évidemment. Ainsi, il est vraisemblable qu'une moindre convexité atténue la quantité de chaleur emportée par le fluide. Donc le flux F doit^ en réalité, quand C excédent a augmente chez un même corps, croître un peu

moins vite que la puissance a^ ou a*'^"'; et Ton s'explique que les expériences de Dulong et Petit aient indiqué des flux calorifiques de convection sensiblement proportionnels à a*'^'^, ou aient conduit à adopter un exposant de a inférieur à | de 0,1 environ.

265. Recours à une donnée de l'observation et conséquences importantes touchant le pouvoir refroidissant des fluides. — La diminution de 0,1 ainsi effectuée sur l'exposant j de a, dans (27), paraît donc constituer une correction, empirique^ de la variation

POOTOIR REFROIDISSANT DES FLUIDES. l8l

produite sur le facteur trinôme X^ +1^5 — ^^ dr P^*""^ agrandissement des dimensions de la surface-tjpe/(Ç, rj, Ç) = o dans le

rapport de i à a^\ agrandissement qui, par conséquent, aurait à peu près comme effet, sur le trinôme, de diviser sa valeur par a®'*

où (a^)®'*, c'est-à-dire par la valeur relative de l'agrandissement, élevée à la puissance dont l'exposant est o,3. Dès lors, l'agrandissement analogue dont il faudrait pouvoir évaluer l'effet réducteur sur le même trinôme, si l'on fait varier indifféremment a, y,

C ou K sans modifier les dimensions du corps, sera, d'après les

expressions (21) de Ç, rj, ÎJ, dans le rapport de i à (—^7- ) ; et,

vu que la fonction 0 définie par le système d'équations (28) et (aS) change de la même manière à raison de cet agrandissement, quelle qu'en soit la cause, le trinôme se trouverait, dans (27), divisé à

— — — I . Ainsi, le pouvoir refroidissant des divers

fluides sur un même corps sérail, d'après (27), proportionnel au produit

(28) (kg»y)'«'(-^)^'* = ï®'*"k^''"G*''**^«*'*";

il serait, d'ailleurs, indépendant de la nature du corps et de l'état physique de sa surface , conformément à ce qu'a montré l'expérience.

Il faut toutefois remacquer que l'extension ainsi obtenue, en partie empirique, des formules théoriques du refroidissement par convection, est valable seulement pour les formes de corps (sphérique et, dans une certaine mesure, cylindrique modérément longue) expérimentées par Dulong et Petit.

D'après les observations de ces deux physiciens, le pouvoir refroidissant varierait à peu près, pour divers gaz en particulier, avec leur densité p, comme l'indique le facteur C®>*®^ cidessus, où C est proportionnel à p et sensiblement indépendant de la température absolue. Mais ils ont reconnu aussi que cette température absolue y figure environ de la même manière que p, ou en tant que multipliant p, de manière à n'entrer, comme p, dans Texpression du pouvoir refroidissant, que par l'intermédiaire de la pression /?, proportionnelle à leur produit d'après les lois

l82 GOURANTS DE CONVECTION AUTOUR D*UN PLATEAU VERTICAL :

de Mariotte et de Gay-Lussac. Cela, joint à la formule ('^8), conduirait à allrîbuer aux gaz, du moins entre les limites des expériences de Dulong et Petit, une conductibilité K à peu près indépendante de la densité p et proportionnelle à la puissance -^î«i = é

de la température absolue; car le facteur y®»^^' est sensiblement constant, y y étant le produit de la gravité g par le coefficient de

dilatation cubique -^ = o,oo366 commun à tous les gaz (*).

266. Autre loi simple, dans le cas de corps à surface presque verticale : proportionnalité de Faccélération ascendante à réchauffement. — Il semble qu'on peut encore, simplement, dégager des équations précédentes un intéressant résultat, du moins quand le corps est plus étendu suivant le sens vertical que dans les sens horizontaux, ou même quand c'est un plateau large, mais beaucoup moins épais que haut, suspendu verticalement, de manière à avoir, par exemple, ses deux faces perpendiculaires à l'axe des x. Alors les' courants peuvent être principalement verticaux et, emportant la chaleur dans le sens des z positifs, ne laisser Réchauffement du fluide se produire d'une manière sensible qu'à des distances horizontales du corps bien moindres que sa hauteur.

Dès lors, dans les trois dernières équations (i5) (p. 174)» l'accélération ascendante w' sera bien plus grande que les accélérations latérales u\ (^; et, de plus, les dérivées en x de ces trois quantités, là où celles-ci sont sensibles, excéderont dans de grands rapports leurs dérivées en z.

Cela étant, égalons, s'il s'agit, par exemple, du plateau normal

aux a:, les deux valeurs de - 3 — -j- tirées par diflerentiation des

p dx az ^

équations en w' et u'. Nous aurons la relation d'intégrabilité

d ^ du'

( ' ) Les expériences, très délicates, qui ont été faites pour apprécier la conductibilité calorifîque K des gaz indiquent, en effet, des valeurs de K simplement proportionnelles à des puissances de la température absolue dont les exposants ne paraissent pas être très inférieurs à l'unité et peuvent bien ne guère différer de la fraction |.

ACGtLtR. ASCBND. DU FLUIDE ET fiQUATION AUX DfiRIT. PAHT. DES TIT. l83

Multipiions-la par dx^ et intégrons, du côté du plateau où x est, par exemple, positif, depuis j; = oo, où 0, w^^ il s'annulent, jusqu'à une valeur de x quelconque. Il viendra, en transposant — »*',

Or, ici, le dernier terme est bien moindre qu'il ne serait, si l'on j remplaçait la dérivée en z de u^ par sa dérivée en a?, supposée notablement plus forte; ce qui donnerait à ce terme, comme valeur, — u\ c'est-à-dire une fraction encore minime du terme précédent w^. Ainsi Ton a, sauf erreur négligeable,

(29) iv'=Y«.

Autrement dit, V accélération ascendante du fluide est partout proportionnelle à son échauffement actuel 6. Donc les courants de convection accroissent sans cesse leur vitesse verticale, à mesure qu'ils s'élèvent non seulement à côlé du corps, mais même au-dessus de lui ou, après l'avoir dépassé, jusqu'à ce qu'ils se soient, tout en montant, assez étendus latéralement pour avoir acquis des dimensions horizontales comparables à la hauteur totale parcourue, et avoir mis ainsi en défaut, avec notre raisonnement, la formule même (29).

On voit que ces courants naissent à de petites distances audessous du corps, là où commence à se faire sentir sa chaleur, qu'ils s'accélèrent et, par suite, s'efGIent ou s'aplatissent de plus en plus contre le corps, en s'adj oignant sur leur côté extérieur le fluide latéral qu'ils échauffent en chemin ; après quoi ils s'étendent très loin au-dessus du corps, en s'jr continuant, à raison de leur vitesse acquise, même après s'être presque entièrement refroidis.

267. Équation aux dérivées partielles du quatrième ordre, non linéaire, à laquelle se ramène le problème pour un mince plateau vertical. — Malgré la relation simplificatrice (29), il semble difficile d'aborder l'intégration effective des équations du problème. Pour voir du moins à quels termes on pourrait la réduire, ramenons-la au calcul d'une seule fonction auxiliaire ^, dans le cas relativement simple, auquel nous nous bornerons, d*un mince plateau vertical, indéfini suivant le sens horizontal des^, avec un

l84 COURANTS DE GONYBCT. AUTOUR D'UN PLATEAU TERTICAL : LEURS fiQUAT.

échauffement ai^{z) ne dépendaDt que de r. Alors les mouvements, par raison de symétrie, se feront dans les plans parallèles à celui des xz^ et de la même manière dans tous; de sorte que la vitesse du fluide aura seulement les deux composantes w^ u et ne dépendra, comme l'échauffementOyquedesdeuxcoordonnéesoret^. La première équation (i5) (p. 174), -^^^"^^^ ^ ^^^ deux termes en u et (v, revient à prendre

Puisque u est supposé beaucoup plus petit que w, la fonction auxiliaire cp de z et a; variera donc, de même que w, u et 6, beaucoup plus lentement avec z qu'avec x. Elle ne sera d'ailleurs déterminée qu'à une constante près ; car ses dérivées seules figureront dans l'expression des inconnues du problème.

Les trois autres équations (i5) se réduisant aux deux en u^ et w'^ l'élimination de P ne donne pas d'autre condition d'intégrabilité que celle qui nous a conduit ci-dessus à (29). Ainsi, le système (i5) n'astreint les vitesses w, w qu'à vérifier les relations (3o) et (ag). Or celle-ci revient à poser

(3.) f,^'^=i(-^4.^ii^\p.,

Y Y \ dz ax dx dz I dx et, vu, d'une part, que

^, rfo rfe f/o rfe rf(p rfe

dx dz dz dx dx dz

d'autre part, que ^ est négligeable, dans (16) (p. 174)? à côté de^j-;» l'équation (16) elle-même devient, par l'élimination de 8,

1/ ^ ^ d^ d\ 1' d^ d d^ d\df^ \ dz dx dx dz I \ dz dx dx dz) dx "" G dx* V dz dx dx dz) cîx'

Telle est donc l'équation indéfinie cherchée en '^, du quatrième ordre et non linéaire. On ne voit pas, d'ailleurs, que certains termes y soient petits devant d'autres. Car, à part les deux diflTérentiations successives en x figurant au second membre, les opé-

PARAISSANT LES PLUS SIMPLES, MAIS ElfCOlE ININTÉGRABLES. l85

rations à y effectuer sur la composante principale wp ou ^ de la

vitesse, au nombre de deux dans le premier membre et d'une seule dans Je second, sont représentées par le binôme s)^mbolique

d<f d do d dz dx dx dz

dont chaque partie, à raison de son facteur où z figure, rapetisse, comparativement à ce que serait une dérivation en x^ la quantité qui s'y trouve soumise.

Le premier membre de (82) est donc, en quelque sorte, du deuxième ordre de petitesse, tandis que le second membre ne

serait que du premier, sans la présence du facteur constant ^•

Mais il est réduit lui-même au deuxième ordre par la petitesse de ce coefficient, qui a été implicitement admise. En effet, une conductibilité du fluide extrêmement faible est, seule, cause du peu de propagation de réchauffement dans le sens des x et constitue, par conséquent, la raison d'être de la relation simple (29)1 sur laquelle reposent les précédents calculs.

L'ordre de Téquation indéfinie en cp étant le quatrième, il faudra, comme on sait, pour compléter la détermination du problème, deux conditions définies distinctes à chaque surface limite.

Pour le plan x = o du plateau mince considéré, on les forme aisément soit à la surface de celui-ci, soit sur le prolongement de cette surface au-dessous et au-dessus du plateau, prolongement qui est évidemment, comme le plateau même, un plan de symétrie du phénomène, et où s'annulent par suite la composante normale u

de la vitesse, ainsi que la dérivée analogue -7- de la température.

On a donc, pour^rrt o, d'une part, /^ = o, d'autre part, 9 = ai^{z)

sur le plateau et -^ =0 hors du plateau. Cela revient à dire que

les relations en (p spéciales au plan du plateau seront :

do d^o dtp d*<D , , , ,

, rfo \~Tz-dx^-^dl djcdz = ^«•''(^^ < '•"• '* P'"'*'"" )'

dz \ d I do û?«© do d'^o \ . j ,

f •— \ — ~r -r\ -^ j -} — T- " o ( hors du plateau). \ Ox ^ dz dx^ dx dx dz/ "^ '

f86 HEFROIDISSBMENT D*UN SOLIDE, PAR UN CODRANT FLUIBB

Aux autres limiies, c'est-à-dire aux distances infinies de l'origine, les vitesses iv^ u s'annulent; et, en se bornant à la moitié du plan des xz où a: est positif, on a

-T- — *-j- = o (soit pour ^ = =t 00 , soit pour ar — oo ).

On voit quel système compliqué d'équations en çp, aux dérivées partielles, il faudrait intégrer, pour pouvoir, même dans le cas simple d'un plateau vertical d'une largeur horizontale indéfinie et, à plus forte raison, dans le cas également remarquable d'un solide de révolution effilé à axe vertical, construire en détail les courants de convection et déterminer leur échauffement variable ô (*)•

268. Passage au problème d'un courant fluide indéfini, d'une rapidité donnée, refroidissant un solide qu'il enveloppe de toutes parts. - Les résultats précédents sont tout ce que l'Analyse a pu nous indiquer, relativement au phénomène de convection calorifique le plus familier aux physiciens, celui où Ton évite toute cause de courants autre que l'excédent même de température, du corps chauffé, sur la masse fluide indéfinie qui l'entoure. Arrivons maintenant au cas, un peu plus simple, où un corps chaud a sa chaleur (que l'on suppose renouvelée sans cesse) emportée d'une manière permanente par un courant fluide, indéfini en tous sens, au sein duquel il est immergé, courant rectiligne et uniforme (d'une vitesse connue v) aux distances du corps assez grandes pour que les perturbations causées par sa présence ne s'y étendent pas.

Supposons alors la vitesse, v, du courant, suffisante, pour annihiler l'eU^et, sur les mouvements visibles, de la petite modification pyO du poids spécifique du fluide, due à réchauffement 0. Nous pourrons faire y^o dans les équations indéfinies (i 5) du mouvement (p. 174); mais, par contre, les trois conditions spé-

(') Les principaux résultats de la présente Leçon exposés ci-dessus ont été résumés, le 10 juin 1901, dans une Note des Comptes rendus de TAcadémie des Sciences de Paris (t. CXXXII, p. 1882); et ceux qui suivent ont fait de même l'objet d'une autre Note, du 39 juillet 1901 {Comptes rendus, t. GXXXIII, p. a57). Le Journal de Physique théorique et appliquée a reproduit ces deux Notes dans son numéro de février 1902.