POUY. REFROIDISSANT D*(JN GOURANT FLUIDE *. SA PROPORTIONNALITÉ

269. liOis de proportionnalité ou de similitude pour les températures d'un tel courant. — Mais voyons inainlcnant ce que donneront les équations (i6), (17) et (18) en 9, devenues

\ di^ dfi'^ di:~' cyi\ d\^ "^ ^v "^ dx^^y

(^^^ j [pour/(J,7),0 = o] e = a4.(î,7),î).

\ (pour v/?* H- >)*-+- Ç* infini) 6 = 0,

et où U, V, W seront trois fonctions, censées connues désormais^ de i, 71, j;.

Ces équations sont linéaires, avec trois coefficients U, V, W, dans la première, généralement variables. Malgré cette dernière circonstance, elles sont, évidemment, beaucoup plus simples que le système (aS) et (a5) du cas précédent.

On voit, en les divisant par a, qu'elles contiennent seulement

le rapport - ; et, d'ailleurs, il n'y figure, pour tous les corps semblables à surface chaufTée d'une manière analogue, que le para-

K mètre ^ — .» Ainsi l'on aura, en appelant 0 une certaine fonction

de quatre variables, liée à 4(Ç, r,, Ç),

(37) « = ««0'^'^'cT7)-'^Krrl'cT7)-

270. Proportionnalité des flux calorifiques de convection émis par le corps à ses excès de température. — Le flux de chaleur

^ /. dO db d^ \

^[^di^^dj.^'d'z)'

émis dans le fluide par l'unité d'aire des corps considérés, admettra dès lors, aux points homologues de tous ces corps, l'expression

,,^, „ Ka/, rfe rfe dQ\ Ma ^ . , K

(38 ) F = — r- ( A -,r -f- fJi -, - -H V -=- — — - X une fonction de -^ — .• i \ d^ ^ dr^ d^ J i C\i

Le flux qu'emporte le fluide varie donc d'une manière généralement complexe avec le produit Cv de la capacité calorifique G

du courant par sa vitesse v, et avec le quotient — de sa conductibilité K par le rapport i de similitude; mais, en revanche, // est simplement proportionnel à V excès a de température du corps. C'est ce qu'avait sans doute pressenti Newton dans l'énoncé de

A l'excès de tbmpératuae du solide immergé dans ce gourant. 189

sa loi de refroidissement; car il la réduisait expressément au cas des corps exposés à un courant d'air uniforme (' ).

(') Expériences de M. Compan, confirmatrices de la théorie; explication plausible des laits découverts par de la Provostaye et Desains. — Au moment où m'arrive l'épreuve à corriger de cette partie de mes Leçons (i5 février 1903), je reçois de M. Compan, Préparateur du Cours de Physique à la Faculté des Sciences de Montpellier, communication d'expériences, encore inédites, qu'il vient de faire sur le pouvoir refroidissant de courants d'air auxquels un ventilateur électrique donnait les trois vitesses S'^oS, 4''»4o et 6" par seconde. Ces expériences, relatives aux vitesses de refroidissement d'une boule de cuivre noircie, présentant des excès de température, sur le courant gazeux, qui décroissaient de 3oo« à zéro, prouvent Texaclitude de la loi de Newton. La partie des vitesses de refroidissement due au contact du fluide, ou qui subsiste après défalcation de la petite vitesse de refroidissement observée dans le vidi* (pour mêmes températures de la boule et de l'espace froid dont elle occupe le centre), est bien proportionnelle à l'excédent de température de la boule. Elle vérifie d'ailleurs la loi théorique de proportionnalité à /v, obtenue ci-après pour un disque tangent au courant, mais dont on peut prévoir (p. 194) l'extension approchée à la plupart des autres cas.

Des expériences antérieures de M. Compan {Comptes rendus de VAcadémie des Sciences de Paris, t. CXXXIII, p. 1202; 23 décembre 1901) sur le pouvoir refroidissant de l'air calme ou sans courant général, faites dans un ballon do 16^ de diamètre, contenant la masse d'air employée à refroidir une boule centrale de 2^ de diamètre, avaient confirmé les lois de Dulong et Petit, sauf aux très faibles pressions où, probablement, la, conductibilité K du gaz prenait, au lieu de sa valeur normale constante, les valeurs plus petites qui doivent avoir lieu à des degrés de raréfaction suffisants.

Mais, dans d'autres expériences non moins intéressantes du même auteur (relatées au même Article des Comptes rendus), le pouvoir refroidissant variait moins vite avec p et a que ne l'indiquent les facteurs /?•»**, a'»'", le ballon, de 8^, 3 seulement de diamètre, ofl'rant sans doute une capacité insuffisante pour quon pût, surtout aux faibles pressions, y supposer indéfinie la masse gazeuse cl en repos ses couches relativement éloignées de la boule centrale de 2*", comme l'impliquent à la fois notre théorie et les lois de Dulong et Petit.

Il est naturel, en effet, que, si l'on réduit graduellement la masse d'air confinée dans le ballon, le refroidissement et Tarrôt des courants chauffés par la boule se produisent, faute de matière pour absorber l'énergie calorifique, déplus en plus loin du centre et, finalement, sur le ballon même. Or, le phénomène se transformant alors, ses lois doivent changer. D'ailleurs, dès que le refroidissement a lieu, pour une part notable, assez près du ballon, et non plus exclusivement dans l'air intérieur, on conçoit que sa vitesse, conformément aux observations citées, diminue moins vite avec la pression, ou qu'elle puisse gagner, par l'intervention croissante de l'énorme conductibilité relative du ballon, presque autant qu'elle perd à raison du décroissemenl, suppose se continuer, do la masse totale d'air.

On conçoit même que, à partir d'un mt^ment donné, celte vitesse du refroidissement se maintienne à peu près invariable, jusqu'à une certaine limite inférieure de pression, comme de la Provostaye et Desains l'avaient observé vers 1846 et

igO FAITS CONSTATÉS PAR D£ LA PROYOSTATB ET DESAIN^^, ETC.

271. Intégration de l'équation des températures dans le cas d'un plateau mince. — Les équations (36) en 0 étant linéaires, on peut espérer les intégrer, du moins dans quelques cas.

Le plus simple de ceux-ci est celui d'un plateau mince, limité d'un côté par un bord, indéfini suivant les autres sens et parallèle au courant, qui l'atteindra par son bord, et que nous supposerons d'abord le parcourir perpendiculairement à ce bord, rectiligne

comme l'a constaté M. Compan, entre les pressions de So"" et 3™» de mercure, dans son ballon de 8*"", 3 de diamètre. Car, dès que le décroisscment de 0, le long des normales au corps chaud menées dans le fluide jusqu'au ballon, devient sensible sur toute leur longueur, la constance imposée de la chute a de température entre leurs deux extrémités, c'est-à-dire entre les deux surfaces fixes du corps chaud et du ballon froid, restreint beaucoup Tamplitude des variations possibles de la dérivée ou pente de 6 dans l'intervalle; ce qui n'y permet, près

du corps chaud, au facteur >^ -^ ^ ^7i — ' ^ TT ^® ^ ^^^^ ^^ ^"* caloriflquc F

de convection, que des écarts très inférieurs à ce qu'ils étaient jusque-là.

Aussi les physiciens ont-ils accepté l'hypothèse simple que le décroisscment de 6, le long des normales communes au corps chaud et au ballon, tend à y devenir uni/orme, malgré l'inégulité relative, ordinairement considérable, des deux surfaces du corps chaud et du ballon ou de leurs deux rayons respectifs R,, R,.

Alors le flux F, immédiatement évaluable (exprimé par K r- )» devient iui-

même constant, du moins dans la mesure où la conductibilité K du gaz est indépendante de sa densité p.

La capacité calorifique C de l'unité de volume étant, par contre, proportionnelle à p, le second membre de l'équation (i6) des températures (p. 174) doit, en chaque point (J?, y, 5), être approximativement en raison inverse de p; et alors l'expression (20) du premier membre 6'(p. 176) montre que les vitesses w, w, w du fluide le sont aussi, assez sensiblement. En d'autres termes, la rapidité des courants de convection compense leur peu de masse.

Et cet état de choses durerait jusqu'au degré de raréfaction où la conductibilité K décroît notablement.

M. Compan a encore reconnu qu'un plateau mince, suspendu au milieu d'une atmosphère à peu près calme, se refroidit plus vite quand il est vertical que lorsqu'il est horizonlal, position où sa surface gène le mouvement ascendant des (ilets d'air chaud qui s'y forment.

8 mars 1902. — De nouvelles expériences de M. Compan, faites, les unes dans un ballon de i/|*'"',5 de diamètre et sous des pressions pouvant aller de zéro à 6»^, les autres à l'air d'une grande salle close, non chauff'ée et à température ^cnsiblement invariable, viennent d'être résumées dans une Note des Comptes rendus de V Académie des Sciences (t. CXXXIV, p. 622; 3 mars 1902), en même u-mps que les précédentes (p. 189) sur le refroidissement par un courant. Elles prouvent, d'une part, que les lois de Dulong et Petit s'étendent aux pressions de plusieurs atmosphères et, d'autre part, qu'elles sont bien les lois du pouvoir refroidissant d'une masse gazeuse indéfinie, dépourvue de tout courant général.

RBPROIDI88BMBNT d'uN PLATEAU TANGENT AU GOURANT. IQI

pour fixer les idées. En prenant le bord même pour axe des y, an axe des x normal au plateau et Taxe des z suivant le courant, le plateau couvrira, de ^ = o à ^ = oo, le plan a: = o; et, le courant n'étant évidemment pas troublé, les composantes a, v^ w de sa vitesse seront partout o, o, v. On aura donc U = o, V = o, W = i. Si Ton écrit, d'ailleurs, simplement a'}(5), entre les limites 2=0, 5r=oo, la température donnée 8 du plateau, et, de z = — 00 à 5 = o, la température, sensiblement nulle, du fluide sur le prolongement amont du plan du plateau, les équations (36) seront, en j remettant x^ y^ z au lieu de Ç, tj, Ç,

l(pourir = o) 6 = aij;(x), (poura? — ±x) 6=0.

Considérons ce système d'équations du côté, par exemple, des x positifs; et supposons, en outre, la vitesse v du courant, suffisante pour limiter l'échauflement (sensible) 8 du fluide aux petites distances X du plateau; de sorte que la dérivée seconde de 0 en 2 soit négligeable, dans Ajô, ou au second membre de la première équation (Sg), à côté de la dérivée analogue de 8 en x. Alors la solution bien connue (*), du système (Sg), est, sous forme d'intégrale définie,

On en déduit, notamment,

27S. Lois des flux de chaleur émis dans le fluide par le plateau. — Prenons cette dernière formule (4i) à la limite ^ = 0, pour

(') Voir, par exemple, le Tome II {Compléments, p. 4^9*) de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique. D'ailleurs, la TérifîcatioD, par (4o), du système (Sg) débarrassé, comme il est dit, de la dérivée seconde de 6 en z, se fait immédiatement, si l'on se souvient de la règle donnée dans le même Volume (p. 17g) pour différentier les intégrales de la forme

rns)/©-

192 POUY. REFROIDISSANT d'uN COURANT FLUIDE : SA PROPORTIONNALITÉ

l'introduire .dans l'expression — K. ^ du flux F émis dans le fluide

par l'unité di'aire du plateau. Si nous choisissons, au lieu de la variable d'intégration a, la variable

M-v/rK

et même, enfin, une nouvelle variable Z, définie par la relation z — ^2- 2, nous aurons successivement 1

Le flux F est donc, toutes choses égales d'ailleurs, proportionnel à l'excès moyen, a, de température du corps et à la racine carrée du produit de la conductibilité K du courant par la capacité calorifique C de son unité de volume et par sa vitesse v.

Considérons la dernière expression (^4^) ^^ ^] ^^ appelant Oq l'excès aJ^(Z) de température du plateau, ou du fluide dans son plan, tout le long de la parallèle d'abscisse Z à son bord, observons que a^'(Z)rfZ est Taccroissemeut dh^ qu'éprouve la température sur le plan du plateau, entre cetle parallèle, située à la distance h=.z — Zen amont de la parallèle même, d'abscisse 2, sur laquelle on évalue le flux F, et la parallèle suivante, d'abscisse Z H- ûfZ. Le flux emporté par le fluide peut donc encore s'écrire

et chaque saut d^Q que fait la température sur le plan du plateau, en amont du point considéré où l'on évalue le flux F, contribue à ce flux, pour une part proportionnelle au saut rfO© luimême et inverse de la racine carrée de la distance S à laquelle il se produit.

273. Extension approchée des mômes lois, au cas de tout corps à courbures modérées. — Si, l'axe des z étant toujours pris sur le plateau, dans le sens du courant, et l'axe des x suivant la normale, le plateau avait son bord non plus parallèle aux y, mais

APPROCHÉE A LA RACINE CARRÉE DE LA VITESSE DU COURANT, ETC. igS

découpé (l*une manière quelconque, et sa température, Oq, non plus constante sur toute perpendiculaire au courant, mais variable avec^, ou que, en un mot, la fonction (i'^{z) devînt a'^(j^^z) (en s'aunulant toujours pour z = — oo), les formules (4o) à (43) resteraient les mêmes, à part la présence du paramètre accessoire ^ dans la fonction ^ et dans sa dérivée ^' relative à sa variable principale.

Alors, en effet, au second membre de la première équation (Sg), la parenthèse A2O s'accroît de la dérivée seconde de 0 en^; mais celle-ci n'y est pas moins négligeable que la dérivée analogue de 8 en^. Et l'intégration approchée du système (Sq) continue à se faire, dans chaque plan mené suivant le courant normalement au plateau, sans qu'on. ait à savoir ce qui se passe à côté.

Il en est encore de même, évidemment, quand le plateau se courbe en cylindre, sans que ses génératrices parallèles au courant cessent de l'être. L'intégrale (4o) et les relations (4 1) à (43) continuent à s'appliquer, dans chaque plan longitudinal, normal au corps immergé, pourvu que les rayons de la courbure transversale ainsi donnée à celui-ci soient beaucoup plus grands que l* épaisseur de la couche fluide notablement chauffée.

Et l'on conçoit enfin qu'une courbure modérée pri^ par les filets fluides, seulement comparable à de telles courbures transversales, laisse encore subsister, à peu près, les mêmes formules le long de chaque groupe de filets contigu au corps, quand ils seront déviés par une convexité longitudinale du corps comparable aux convexités transversales dont il vient d'être question. Car, d'une part, 0 ne varie rapidement, dans le groupe considéré de filets, que suivant la normale au corps, ou avec la distance x à

rit ft

celui-ci, et A26 y est, dès lors, réductible à -j— • D'autre part, les

filets s'y trouvant, d'après les vitesses données du fluide, dirigés à un aussi haut degré qu'on veut d'approximation suivant une coupe du corps prise pour axe courbe des z^ pourvu que tout leur groupe en soit assez voisin, la dérivée 8' s'y réduira au

terme correspondant vv-y-- Donc l'équation indéfinie en 8,

68^= KA26, y prend bien, comme autour d'un disque tangent au courant, la forme

dz ^ Ow dx^ ' B. - II. i3