PREMIÈRE PARTIE

LOIS GÉNÉRALES DE LA RÉSISTANCE, DANS L'hTPOTHÈSE d'une fluidité PARFAITE.

1. Exposé du problème dans le cas d'un fluide sans frottements. — Une masse fluide indéfinie, sans pesanteur, et d'une densité p constante, entourant un solide fixe ou mobile, d'orientation invariable, qu'elle baigne de toutes parts, est supposée animée, sauf près du solide, d'uD mouvement commun et assez lent, sous Taction d'une petite force extérieure, la même sur Tunité de masse de toutes les particules fluides, mais variable arbitrairement d'un instant à l'autre (^). Proposons-nous, X, Y, Z étant les composantes de cette force et u^^ p', w' les accélérations prises par le fluide, égales par hypothèse à X, Y, Z dans les régions éloignées du solide, de trouver les trois composantes R^, R^, R. de la poussée ou impulsion totale exercée à l'époque t sur ce solide par le fluide ambiant, ou, ce qui revient au même, les trois composantes — R^, — Ry, — Rs de la résistance que celui-ci éprouve de la part du solide immergé.

(') Se rapporlaot à la quatrième Leçon (t. I, p. 55).

(^) Cette Note a pris beaucoup plus d'extension que je ne pensais : le lecteur me pardonnera de m'y être laissé entraîner par l'intérêt du sujet, la simplicité des méthodes, et j'oserai ajouter la beauté des résultats, dus en grande partie à du Buat, Poisson, Green et G. Stokes.

(') Dans l'application que nous devons faire, par analogie, de cette théorie aux ondes lumineuses, où le fluide devient l'élher et où le solide est une molécule quelconque du corps transparent étudié, les molécules n'éprouvent presque aucun déplacement soit d'ensemble, soit de rotation. Voilà pourquoi nous pouvons, à très peu près^ supposer invariable Torientation de notre solide.

aOO RÉSISTANCE d'uN SOLIDE AUX PETITS MOCYEMEIfTS d'cN LIQUIDE PARPAIT *.

Faisons d^abord abstraction des frottements intérieurs du fluide. Si p désigne Texcédent de la pression en un point quelconque {x^y.z) sur sa valeur, évidemment constante, aux grandes distances du solide immergé, là où a'= X, v'^zYy «^1= Z, on aura comme équations indéfinies du problème, d'une part, celles d^Euler, bien connues.

^ ^ p dx ^ ^ dy p dz

d^autre part, la formule, exprimant la conservation des volumes fluides,

, , du dv dw

Il faudra y joindre, comme relations spéciales, en premier lieu, aux grandes distances \fx^-\-y^-\-z'^ de l'origine, Tannulation asymptotique de/>, et, en second lieu, a la surface du corps immergé, cette condition, que le fluide y glisse sur le solide ou, du moins, sur une mince couche fluide adhérente au solide. Soient ^©O'o» -^o '^s coordonnées du centre de gravité du solide, coordonnées ou constantes ou un peu variables, mais, alors, fonctions données du temps t. L'équation de la surface sera, pour tous les corps immergés d'une même forme quelconque et d^orientation invariable,

oCi/ désigne une fonction donnée et k une ligne quelconque de la figure, ligne que nous choisirons (pour simplifier plus loin une formule) égale au quotient du volume du corps par sa surface d. Alors, si Ton fait croître, dans (3), t de dt^ c'est-à-dire x^^ y^, 5o de leurs

diffiérenti elles eflTectives ^°^ ^ dt^ et aussi x^ y^ z à^ u dly çdt,

wdt, de manière à suivre une molécule superficielle dans son mouvement, l'équation ne cessera pas d'être satisfaite. Autrement dit, aux points où X, y y z vérifient l'équation (3), il existe entre 21, p et t^ la relation

.,, df l dx^\ df l dyo\ df [ dz^\

2. Formation, pour ce cas, d'équations d'où les vitesses u, p, w soient éliminées. — Les vitesses £/, c, w d'une molécule quelconque contiguë au corps satisfaisant continûment à cette relation (4)» on peut,