MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME
sans qu'elle cesse d*être vérifiée, y faire croître, d'une pari, t de dty
oa^oi/o, 3o, ^^ de ^^ dty — dtjeix,y, j
z de udty vdty wdc, d'aulre part, u, v, fv, de u'dlj v' dt, w' dt. Mais j
les petites variations qu'éprouveront ainsi par unité de temps les |
premiers facteurs -^ — — se trouveront multipliées par les se- |
conds facteurs, très petits aussi, u -^^ •■•; ce qui les rendra
négligeables du second ordre de petitesse, en sorte qu'il viendra simplement
... df ( , d*Xo\ df 1 , d\yo\ dff , d^Zo\
On rend cette relation, de même que (4)) indépendante des dimensions absolues de la surface /=o, en y remplaçant les trois dérivées partielles de / en d?, y y z par les cosinus proportionnels {cosinus directeurs) des angles a, p, ^ que fait avec les axes une normale ^/i à la surface, normale tirée, par exemple, en partant du point (^,/, 5), dans le fluide même, ou hors du corps. La relation (5) s'écrit alors (^)
<6) («•- ^) cosa -. (.' - ^) ces p ^ (.'- ^«) ces, = o.
(') On Taurait déduite un peu plus simplement de TéquatioD (4) en observant dorant un instant dt les vitesses u, v, w du fluide sur un même point
de la surface du solide, où cos(a, p, y) sont invariables. Le chemin décrit par ce point dans Tespace étant, suivant les trois axes, — ^^ — *!y/^ ^ dty le changement élémentaire de u qui s'y produit a pour expression
/ du du dx^ du dy^ du dz^ \ , ^ \di '^dx'dT'^dPlÛ'^d^ 'dij'
et Ton voit que, rapporté à Tunité du temps dty il se réduit, par la suppression
dc$ trois termes nou linéaires, à la dérivée sur place -z-t dérivée équivalente de
même à u', au degré d'approximation poursuivi. Quant à —rpy son changement
élémentaire, divisé par dt, est -77^' Des remarques analogues ayant lieu pour Vy
^v et pour -^, -—, l'équation (4), savoir
(" -" SO ^°*« -^ (^ - -di) ^^'P ^ {^- lit) *^°*^ ~- °' donne donc bien (6), toujours au degré d'approximation adopté.
:^02 RÉSISTANCE d'UxN SOLIDE AUX PETITS MOUVEMENTS D* UN LIQUIDE PARFAIT :
L'équation linéaire indéfinie (2) peut être, de son côté, différentiée on ty sans faire varier Xy y^ s, c'est-à-dire en considérant les vitesses iiy Vy svy qui se succèdent en un même point de Tespace; et l'on sait que les dérivées partielles de w, i^, w en ^, qui s'introduisent alors, ne diffèrent des accélérations a', v' , w' que par des termes non linéaires et dès lors négligeables, produits de Uy Çy w par les dérivées respectives en Xy y y z de m, ou Vy ou w. Ainsi, de même que la condition spéciale (4)) en w, Vy xv, a fourni la relation (6) en u'y v\ «/, de même aussi l'équation (2), en a, (>, Wy donnera l'équation indéfinie en w', i^', iv'y toute pareille,
du' dv' dw'
dx dy dz
3* Limites imposées à leur emploi. — Les relations simples (6) et (7) supposent, comme on voit, les vitesses assez petites pour que
les carrés et produits de «, r, tv, -'7^°'"'" ? ou de leurs dérivées,
dt
puissent être négligés à côté des premières puissances de ces diverses quantités.
Il importe de remarquer que des mouvements relatifs du fluide par rapport au solide, trop rapides pour permettre cette réduction, provoqueraient, tout au moins à l'aval du solide, là où se dilateraient, en se rejoignant, les filets fluides qui l'auraient contourné, des tourbillonnements et autres mouvements compliqués, qui entraînent, comme on sait, une exagération du frottement intérieur presque toujours suffisante pour mettre en défaut, même pratiquement, les équations (i) d'Euler. Et il peut s'y produire en outre des discontinuités, ou ruptures de fluide, incompatibles avec (1), (2) et (4)t à moins toutefois qu'il s'agît seulement de variations rapides de w, (», w en Xy Yy Zy et qu'il fût possible d'introduire dans nos formules, non les vitesses vraies du fluide en Xy y y Zy mais leurs valeurs moyennes hcalesy beaucoup plus graduellement variables. A cette réserve près, les formules (1) à (4) cessent donc de subsister, à la poupe ou à l'aval du corps, à peu près en même temps, ce semble, que la différentiation en ^ de (4) et (2) cesse d'entraîner les équations (6) et (7); de sorte qu'il ne serait sans doute pas très utile, au point de vue des faits, de compliquer celles-ci, (6) et (7), par l'adjonction de termes non linéaires, tout en continuant à admettre la fluidité parfaite et la graduelle variation des vitesses, c'est-à-dire les relations (1) à (4)-
A". Équations rég^sant et déterminant la pression du fluide. — Cela posé, il suffît de tirer w', c'y w' des équations (i), où X, Y, Zont
DÉTERMlIfATIOff DU PROBLÈME. 2o3
leurs dérivées en ^, /, z nulles, et d'en substituer les valeurs dans (7) et (6), en observant d'ailleurs que p s'annule asymptotiquement à rinfini, pour avoir, en />, le système complet d'équations :
dx^ U/^ dz^ ^
(( k la surface/— o)
\ [ dp dp r, dp \ I dp
V , - ( -r- cosût -T- --- CCS p -I- -r- cosv ) ou - -,-
(9)^p\aar dy ^ dz '/ p dn
(loj (aux distances sjx^-^y"^ z^ infinies) p — o.
Toutefois, dans le cas particulier d'un cylindre de longueur indéfinie, que nous examinerons à part, la relation (10), spéciale aux distances infinies, devra s'entendre des distances à l'axe du cylindre et non des distances à l'origine. Il n'y figurera pas, sous le radical, la coordonnée Xy ou y^ ou z, dont le sens aura été choisi suivant l'axe du cylindre.
Ces équations (8), (9), (10), considérées à l'époque actuelle /, n'admettent qu'une solution, pour chaque système donné de valeurs des
^ d^.To ., d*Yo rw d^^o
trois constantes X — — — i 1 7^ > Z r-~ •
dt- dl' dl'
Car, si, p désignant une solution, il en existait une seconde ^-i-p', leur différence/?' donnerait évidemment, d'après (8), (9), (10), et en laissant provisoirement de côté le cas du cylindre de longueur indéfinie :
(II) A,/?'=:o,
(i2i (à la surfacey=o) -/- = o,
•^ dn
(i3) (aux distances /ar* 4-^*^-»- -5* infinies) p'=o.
Or, multiplions (11) par p' et par l'élément dm-z dxdydz du volume fluide XB compris entre le solide et une sphère quelconque l'entourant, dont r désignera le rayon; puis intégrons les résultats dans tout
cet espace w, après avoir dédoublé les trois produits p' ^
(clx ydy ydz )
en
«^(•^,^»'5)L d{^yy^^)\ Vd(x,y,z)\ Si l'on désigne par 9' l'aire sphérique enveloppante 4^'*'> pai* d<s'
204 RÉSISTANCE d'uN SOLIDB AUX PETITS MOUYBMENTS d'uN LIQUIDE PARFAIT :
l^un quelconque de ses éléments, et par dr une normale élémentaire qu^on y mène vers le dehors de ro, prolongement du rayon r aboutissant à d(j'^ si, d'autre part, on appelle ir Taire de la surface limite intérieure /=:o, et rf«j un de ses éléments, dont la normale dirigée vers le dehors du fluide sera — dn^ enfin que Ton écrive, avec Lamé, Aif>' le paramètre différentiel du premier ordre
d^J \dy) '^[dzj
de la fonction />', une méthode qui nous est familière, consistant ù convertir en intégrales de surface les intégrales de volume où une intégration sur trois s'effectue immédiatement, donnera
ou simplement, vu (12), et en divisant d'ailleurs par 7',
d<j^ Or le rapport — p est indépendant de r, quand on prend les élé-
ments d<j^ semblables, ou se correspondant le long des mêmes rayons,
pour des sphères concentriques a' de plus en plus grandes. Et il est
, . , , rd.p'* dfj' . . d r „d9' . , j. . .
clair qu alors I — f 7- revient a -7- / p^—r^ ou a la dérivée en r
de la valeur moyenne de p'* sur toute l'étendue a' := 4^^ ^' de la sphère. Donc l'équation (i4)f multipliée par 2, peut encore s'écrire
Celle-ci, à second membre essentiellement positif, montre que la valeur moyenne du carré positif/?'* sur Taire a' a sa dérivée en r plus grande que zéro, à moins que p' ne soit constant dans tout l'espace rs (ce qui donne A,/>'=:o). Or cette valeur moyenne, nulle pourr infini en vertu de (i3), et incapable d'être jamais inférieure à zéro, ne peut pas croître avec r ou avoir sa dérivée en r positive. Ainsi, l'équation (i5) a pour premier membre zéro; et elle astreint le paramètre différentiel L^p^ à s'annuler lui-même identiquement dans l'espace «t. Donc />' est constant partout, c'est-à-dire nul partout comme à l'infini; et les équations (8), (9), (10) déterminent complètement la pression p.
FORME DE SON BXPIESSION. ao5
Après quoi, la fonction p étant fixée, les équations (i) font connaître les accélérations u\ c'y w'. Puis une intégration / (u\v\w')dt,
effectuée sans avoir besoin de faire varier a?, y^ -s, en tire très sensiblement les changements éprouvés par les petites vitesses u^ Vy w du fluide en chaque endroit {Xy y, z)^ à partir d'un état initial où elles étaient supposées connues et où elles vérifiaient déjà les relations (2) et (4).
5. Comment varie cette pression avec les dimensions absolues du corps et avec le mouvement relatif du fluide. — L'équation (9) étant la seule du système linéaire (8), (9), (10) qui ait un second membre, il est clair que la pression p et, par suite, les composantes R;r> ^r> ^2 ^^ rimpulsion cherchée égaleront les sommes respectives des valeurs qu'elles prendraient, si ce second membre se réduisait successivement à chacun de ses trois termes. Il suffit, par conséquent, d'évaluer p dans la supposition où Ton aurait
et dans deux autres analogues.
De plus, afin d'introduire au lieu de Xy y y Zy dans (8), (9) et (10), des variables ^,7), X, indépendantes des dimensions absolues du corps-,
posons
^e qui donnera, pour transformer les dérivées en Xy y y z des fonctions, ®s formules symboliques (',-». d ^ \ d d i d d \ d
dx'^ k d\* dy ~~ k dr^ dz~~ k dX^
"^'ors, en supposant, par exemple, le dernier membre de (9) réduit ^" premier de ses trois termes, divisons (8), (9), (10) par la valeur
donnée de X — ^^ et, en outre, (8) par & , (lo) par ^k. Enfin, ap-
pelons, pour abréger, p le quotient de p par pA:(X ^Tt)' seule
'^'*<ition inconnue figurant alors dans le système. 11 viendra :
dX' dr^i dX,^~ ' ^*^^ [à la surface /(Ç,r^,Ç) =0] ^ cosa h- ^cosp -H ^cosy = cosa,
^'^) (aux distances y/?*-!- ^i^-l- Ç* infinies) p — o.
