INFLUENCE DES FROTTEMENTS SUR LA RÉSISTANCE D*UN CORPS IMMERGÉ

Autrement dit, les vitesses réalisées en un point quelconque résulteront entièrement des accélérations antérieures qu'on y aura observées.

Enfin, aux distances infinies de l'origine, là où ne se sera pas propagée, du moins encore, la perturbation (purement dynamique) due à la présence du corps, les accélérations successives m', p', w' seront celles que produit la force extérieure donnée (X, Y, Z) par unité de masse; d'où

(67) (pourv/x2 4^*H--5« infini) /? = o et {uyV,w)^Ç (X,Y,Z)rf^

p désignant ici Texcédent de la pression moyenne dciueWe en chaque point sur la pression constante qui régnait partout avant le mouvement.

Cela posé, si e désigne le coefficient constant des frottements intérieurs applicable à tous les mouvements bien continus, nous aurons, pour remplacer les formules (i) et adjoindre à la condition (2) de conservation des volumes fluides (p. 200), les trois équations indéfinies connues, données par Navier,

' \ dp „ , e ^

p dx p

^ p dy p

i dp „ f s .

p dz p

Les conditions spéciales à la surface du corps seront, comme il a été indiqué ci-dessus,

(69) („,.,^) = f^Zî:iîl (pour/=o).

Nous aurons avantage à simplifier celles-ci, en introduisant dans

toutes les équations du problème, comme fonctions à déterminer, au

lieu des vitesses absolues i/, v^, w du fluide, ses vitesses par rapport au

djCo dYo dzQ ,, y - / ,v

corps u -~i V —, w— —zjy que nous appellerons Ç, r,, î(').

Ainsi, nous poserons

/ . dxù > dvQ dzo ^

(M Les quantités désignées ici par ^, 7\, T^ n'auront donc rien de commun avec celles de même nom dans les deux parties précédentes de notre Étude. B. — IL i5

226 I^FLUENGE DES FROTTEME^TS SUR LA RÉSISTANCE d'lN CORPS IMMERGÉ :

Et il viendra : i° d'une part, comme équations indéfinies, . X d\ dr, d^

} p d{x,y, z) - V dl^ ' dt* ' dli )

2" d'autre part, comme relations spéciales, d'après (69), (67) et (05),

(73) (à la surface /= 0 du corps) ($, "ïli C) ~ o,

1(au\ distances ^ x^ -\- y"^ -\- z'^ infinie?) (t rs C' (x ^'^« Y ^*>'o 7 ^*M^/ ^ ^

(î,r,, C) =/ (^- ^ ' ^-^/-T' Z— ^,TJ ^^ /^^ ^>

(75) (pour^r^-x) (^r^,0 = o.

l^.. Sa détermination. — Pour reconnaître que ce système d'équations n'admet pas deux solutions difTérentes, nous appellerons 5, t,, î, /?, et $ -f- ^ y *»i H- tq', ï h- Î', /? 4- /?', deux systèmes de fonctions qui le vérifieraient; et nous prouverons que leurs différences respectives ?'> ■')') C p' sont identiquement nulles. A raison toutefois des complications introduites par les frottements, et qui rendent moins aisée la vue du phénomène, nous devrons admettre une hypothèse de plus que dans la première partie de ce Travail.

La plus simple consistera à supposer négligeable, après un temps fini quelconque à partir du début des mouvements, l'inHuence totale, sur la perturbation étudiée, des parties du fluide existant en dehors d'une sphère o''=4'ï^^*> décrite, d'un rayon r suffisamment grand, autour d'un centre ^m^^ plus ou moins voisin de celui {xp^y^^z^,) du corps. Cette hypothèse se justifie par le même principe de bon sens qui nous a fait supposer nulle à l'infini, c'est-à-dire, tout au moins, asymptotiquement évanouissante aux grandes distances, la perturbation dont il s'agit, provoquée au sein du fluide par la présence du solide.

Mais nous pourrons aussi l'éviter en admettant, à la place, que la partie variable p de la pression moyenne est positive, sur la surface a' et au moment où le mouvement relatif y commence, là où le fluide qui s'y trouve, et qui ne se meut qu'imperceptiblement, est refoulé contre le fluide extérieur qui se meut encore moins, mais négative, au contraire, quand il s'éloigne de celui-ci et se détend vers rintérieur de la sphère. De la sorte, le commencement d'agitation