MISE EN COMPTE DBS FROTTEMENTS INTÉRIEURS DU FLUIDE
Admettons d'abord, conformément à la première hypothèse faite ci-dessus, que les intégrales / , par lesquelles s'exprime l'influence
du fluide environnant la sphère a', deviennent négligeables quand le rayon r croît sans limite. Alors il ne restera dans le premier membre,
en supposant r ou nr infinis, que les deux termes en / . Or le second,
Jxs
où figurent sous le signe / les neuf carrés des dérivées premières
de Ç', T)', X^ en Xy /, 5, serait évidemment positif, si les fonctions £', T,', X^ cessaient d'avoir, quelque part, la valeur zéro qu'elles ont à la surface du corps. Et le premier deviendrait positif aussi, à l'instant où, Ç', Tj', Ç' s'écartant de leurs valeurs primitives nulles, le trinôme E'* -h '')'*-+- ï'* grandirait. Donc l'annulation constante de la somme de ces deux termes, exigée par (79) dans l'hypothèse choisie, implique le maintien indéfini des valeurs E' = o, r/mo, î'=o.
On arrive à la même conclusion, et d'une manière analogue à celle qui a été employée au n® 4- pour /?' (p. 2o4), en admettant la seconde hypothèse ci-dessus, qui consiste à supposer essentiellement positif, dans le quatrième terme de (79) et à l'instant où les vitesses ?', t^', Ç' s'écarteraient de zéro, le produit de la pression /?' par la vitesse 8 suivant le sens normal à <f<T'. Alors, en effet, au moment où Ç', rj', Ç'
cesseraient de s'annuler, ce terme / (/?'§) d^i^ serait positif comme les deux termes en / ; et la formule (79) donnerait, en divisant par Jeci',
.,aî^^-->., .„ ^A,.
(^«) / —^ — -j:. — ^— >o, ou / (Ç'î-f-v'-h ;'«)—> o.
Donc la valeur moyenne du trinôme, jamais négatif, Ç'* -f- tj'* -h Ç'*, sur la surface a' de sphères concentriques d'un rayon r variable, croîtrait avec ce rayon, si elle pouvait cesser d*être nulle : or elle ne peut pas croître, puisqu'elle est tenue de se réduire à zéro pour r infini. Elle s'annule donc identiquement, et, avec elle, î', î)', Ç', 8, sur toute
l'étendue / . Alors les termes subsistants, au premier membre de (79),
ont même signe; ce qui les oblige à s'annuler séparément. Et l'on a partout Ç' = o, r/ z= G, Ç' r= o.
DANS LE CALCUL DE LA RÉSISTAIS'CE d'uN SOLIDE IMMERGÉ. 229
15. Sa décomposition en trois problèmes plus simples, où le mouTement relatif du fluide éloigné et du solide a lieu suivant un axe coordonné. — 11 suffit donc d'obtenir par une voie quelconque la solution unique du système (71), (72), (73), (74)) (7'^)' Et, d'abord, ce système, linéaire tant par rapport à Ç, tî, ^^ p que par rapport aux
trois données X -r-^j Y -7^, Z -r-^> est sans termes autres
at' at^ af'
que ceux où figurent soit celles-ci, soit Ç, i), Ç, p. En outre, les mouvements du corps sont assez restreints pour que, à toutes les époques, les fonctions ^, t), ^y p existent, très sensiblement, aux mêmes points (x, /, z) de l'espace. Dès lors, il est clair que les expressions effectives de Ç, r,, X^y p se formeront par simple superposition de celles qu'on aurait, dans les trois hypothèses où chacune des données recevrait, seule, la suite de ses valeurs, les deux autres données étant nulles. Comme, d'ailleurs, les formules des pressions élémentaires exercées par le fluide se. composeront de termes proportionnels à p ou aux dérivées premières en Xy y y z de Ç, tj, Ç, on voit que Timpulsion totale du fluide sur le corps, ou la résistance, égale et contraire, opposée par celui-ci au mouvement du fluide, se formeront aussi par simple composition des trois impulsions ou résistances partielles obtenues dans ces trois hypothèses.
Ainsi, nous aurons à chercher seulement les solutions particulières
dont il s^agit, et à supposer, par exemple, Y -jy = o, Z -r-^ = o,
tandis que X -r-r^ recevra la suite effective de ses valeurs données.
Malgré cette simplification, l'intégration des équations (71) à (76) reste difficile ; et nous nous bornerons, du moins en fait de solides limités dans tous les sens, comme le supposent implicitement plusieurs des formules ci-dessus, au cas d'un corps sphérique, d'un rayon donné R.
16. Intégration des équations pour un corps sphérique. — Nous nous donnerons donc, en fonction du temps ty l'accélération rela-
live X ~j^^ ^"^ sera dirigée suivant les Xy de l'ensemble du fluide
par rapport à la sphère solide; ou, ce qui revient au même, nous supposerons connue à toute époque la vitesse relative, que j'appellerai V,
(«.> v=jr;(x-^)..
S)3o RÉSISTANCE d'uNB SPHÈRE AUX PETITS MOUYBMKNTS
engendrée par cette suite d'accélérations. De plus, nous exprimerons Ç, T), Ç au moyen d'une fonction auxiliaire unique <p de t, x^y^ z, par les formules (*)
(8.) { = :i,ç-^, r,=-^^^, î=-rf'
qui rendent identiques la relation (71) et donnent aux trois équations (72), vu la valeur -j- de X ~J~r'* '^^ formes respectives.
, d \p d (dro E^ \"î dV /do E^ \
Essayons de les résoudre de la manière la plus simple, en supposant rinconnue auxiliaire cp uniquement fonction du temps t et de la distance
(84) V = s/{^ - "^o)'H- Cr -/o)*-+- (^ - 5u)*
au centre (j?o> /o> ^o)> légèrement mobile, de la sphère; ou, en d'autres termes, voyons si <p pourrait ne dépendre de ^, y, z que par l'intermédiaire de la variable t.. Alors les deux dernières équations (83) montreront que la quantité entre crochets ne varie, dans la première (83), ni avec /, ni avec z\ et, par suite, le second membre de celle-ci ne dépendra pas de t, qui varie avec y ou z. Donc, ce second membre sera uniquement fonction de t\ et, en appelant
dW
dt
fF'(/) l'excédent de -^ sur celte fonction, il viendra
(85) A.(^?-ÎA.o)=?F-(0.
Or, quand une fonction, <p par exemple, ne dépend de x^ /, z que par la distance t à un même point (x^, ^q, jSq), on sait que son para-
,, . I d^ .vo ^ .. * 1
mètre Aj a 1 expression j~r"' Donc, en appliquant a chaque paramètre A, ce mode de calcul, l'équation (85), multipliée par t,
(•) On peut voir, au n" 438* de mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique (t. II, Compléments, p. 37a*), comment l'équalion ("ji), jointe à la considération de la symétrie, en y et 5, t, et ^^ des équations suivantes (72) à (70), conduit à introduire cette fonction auxiliaire 7.
D*tN FLUIDE IHPARFAIT DANS LEQUEL ELLE EST IMMERGÉE. 23 1
deviendra
Multiplions celle-ci deux fois succeshivemenl par dz et intégrons chaque fois par rapport à Tespace, en appelant — "^'i^)) 4*1(0 ^®* arbitraires introduites, indépendantes de t. Il vient
Pour fixer les idées, nous supposerons la fonction auxiliaire (p nulle à la paroi t = R. Cela reviendra à lui ajouter împliciteoient une fonction convenablement choisie du temps /, circonstance qui ne change rien aux dérivées de o en sr, /, -s, seules employées dans les expressions (82) des inconnues Ç, r,, Çdu problème. D'ailleurs, avec<p fonction de t et tf ces expressions (82) sont maintenant
\ ^ " KdX "^ Z de ) i» \dj " Idi,)*
(x — Xo)(y—yo^s — ^o)/d^^ i d^\
en sorte que les conditions (78) spéciales à la surface t=rR reviennent
ûf*cp 1 do à y annuler la double expression -7— db — 3-, c'est-à-dire les deux * at' t ctt
premières dérivées de cp en t. Donc, les conditions relatives à la surface du corps seront simplement
(BS) (pourr=R) 9 = 0, ^^=0, ■^=o-
Le premier membre de (86) s'y annule dès lors, tandis que le second
membre y devient F''(/) -. 't'C^)!^ -f- 'l'iC^)» Donc la fonction «î'iCO
R* a la valeur — F'' (0 -7 — h R^^'lOî ®^ '^i formule (86) peut s'écrire
ou encore
(9»> (s--;5^)h-^^(')^-«)-ï"(')-4— -^jf(')v]^o,
a 32 RÉSISTANCE d'UKE SPHÈRE AUX PETITS MOUVEMENTS
comme on le reconnaît en développant la dérivée en t et la dérivée seconde en i, de l'expression entre crochets.
Cette expression entre crochets vérifie donc Téquation classique,
--Z ^*"77i =^^9 ^6s températures variables i/, le long d^une barre
à abscisse positive t, où Ton aurait a = t /- et qui s'étendrait jusqu'à rinfini, à partir d'une abscisse donnée t z= R pour laquelle la valeur de cette température serait évidemment, vu la première con-
dition (88), RF(0- Or on connaît l'expression que reçoit dès
lors, depuis t zz: R jusqu'à t=oo, une telle température, du moins quand elle s'est annulée partout pour^r= — oo et qu'elle doit s'annuler sans cesse pour v infini : c'est l'intégrale définie
Il y aura donc lieu de prendre pour cp les valeurs données par l'équation
^''^ ] =-4.!RrFr.-£iizij)!ie-T^«^
( /air 9 J. Le 2aî J
pourvu qu'on puisse y déterminer les deux fonctions arbitraires 4^, F du temps t, de manière à vérifier les conditions aux limites concernant Ç, 71, î, savoir, les relations (78), devenues la deuxième et la troisième (88), les trois premières (74)1 et les relations (75).
Celles-ci, (76), seront satisfaites, si les deux fonctions F(0, 4'(^) tendent vers zéro quand t décroît vers — 00; car alors l'équation (91) tendra vers v©-=:o. Quant aux trois premières (74), elles sont relatives
aux très grandes valeurs de t. Or alors la fonction sous le signe / ,
second membre de (91), devient négligeable; et la formule (91) y
donne, à très peu près,
F'(/) 3 e (91) (aux grandes distances) tp = — ^{t)-^ — t*H F(0*
(*) Voir, par exemple, mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique, t. II, Compléments, p. 4^9*.
au
