D*UN FLUIDE IMPARFAIT DANS LEQUEL ELLE EST IMMERGÉE
En remplaçant t' par (jt — ^o)*+ (/ — .Vo)*-^ (^ — ^o)'» on voit que les valeurs (82) de Ç,T,, Ç y sont Ç=:F'(/), r^z=o, j;=io; elles trois relations considérées (74) se trouveront satisfaites-, à la condition nécessaire et suffisante de poser, vu (8i),
(03) F'(0 = V, P(0=J Vrf/.
Ainsi, les trois premières relations définies (7/*) déterminent la fonction arbitraire F(/), qui représente l'espace total parcouru depuis l'origine du mouvement par l'ensemble du fluide, en vertu de ses vitesses relatives données V, et qui, par conséquent, s^annule bien pour tz=z — 00.
Occupons- nous maintenant des deuxième et troisième conditions (88), qui, vu la première (88), reviennent évidemment à écrire
(94) (pourt = R) -^^o» ; ~^?;ir ^" ^»? = ^-
La seconde de celles-ci a déjà été vérifiée, quand, d^une part, en posant (91), on a satisfait à la première relation (88) et que, d^autre part, après avoir établi Téquation (86), on a choisi ^i(/) de manière à annuler Ajcp pour v = R.
Il reste donc justement la première condition (94) pour déterminer la fonction arbitraire ^{t). Et nous avons ainsi à différentier en t Texpression de ta>, qui est, d'après (91),
( t? = ~'KO(t-R)^F'(oî-^' + ^^F(/).
'''^ I ^-'lRrF\t^^-i^^]e-Ta..
\ y/'A-K 9 Jo L 6 2a* J
Dans le résultat obtenu, adoptons comme variable d'intégration, au lieu de absous le signe / du dernier terme, et avant d'avoir fait tendre t vers R, la quantité
<96) P = ï^/^; d'où ^^^,rfa=-rfp.
La première relation (g4) nous donnera finalement (97) «l'(/)^7R»F'(0+?^F(0 + ^t/^Rr'F'(/-?«)rfp.
Cette valeur de ^{t) s'annule bien, comme F(0> pour ^ = — 00.
Cî34 RÉSISTANCE d'UNE SPHÈRE AUX PETITS MOUYEHENTS
Ainsi, nos deux fonctions arbitraires F(/), ^{t) sont déterminées; et toutes les conditions voulues se trouvent satisfaites par Texpression (95) de t©.
Il reste à évaluer la pression moyenne /), au moyen de la quatrième condition (74) et surtout des équations (83), dont la première est devenue, vu (85) et (98),
-f[r^^('^<?!A.«\i^iF'(/).
dxlo dx\dt p Vj îA
On peut remplacer, dans ces équations (83), la différence
do 6 . \ / d.\,o E -i*.tcp\
dt p * ' ' >.\ dt p dv^ J
par sa valeur tirée de (89), et qui est
Alors ces équations (83), multipliées par pdx^ ?^fy pdzj puis ajoutées et intégrées sans oublier la quatrième condition (74 )> donnent
(98) ,=pR[^'(o-5ir:iL)]li ^.).
(•) Cette valeur de la pression moyenne p est, du moins aux grande's distances t, en relation très simple avec la composante de la vitesse suivant le rayon v, composante qui, si Ton appelle, comme ci-après, a, p, y les trois angles de ce rayon avec les axes, a l'expression Ç cosa h- t^ cosp 4- Ç cosy, c'est-à-dire
/AN / ^ « ^ d\do
(A,ç)cosa-(^cosa~-Hcosp^-^cosY^j^,
ou
/AN rf rffp
(A,cp)cosa--^-^,
ou encore
2 dtp 2 d9
cosa — - -ri cosa = - -~ •
(A,<p)cosa- ^^(^?oos.) ^(A,ç-g)
Retranchons-en la composante analogue V cosa, ou V -3-^ = - j~ 1 ^'(') T P *^^
la vitesse V — F'(/) du fluide situé à l'infini, afin de considérer non un mouvement absolu, mais le mouvement relatif correspondant à la perturbation que la présence de la sphère solide entraine dans la couche fluide de rayon v; et nous aurons, pour la composante radiale de vitesse appelée 6 au n*» 14 (p. 227). en éliminant finalement cp par (95) sans écrire les termes de f que ferait disparaître
d'un fluide imparfait dans lequel elle est immergée. 235
II n^y aura donc plus, pour obtenir les expressions définitives de o etp, ou de t<p et p, qu'à porter respectivement, dans (96) et (98), la valeur {97) de ^{l) et celle qui s'en déduit pour ^'(t).
17. Résistance de la sphère. — Evaluons maintenant l'impulsion totale exercée par le fluide sur la sphère solide. Nous considérerons d'abord celle que subit toute sphère décrite autour du centre (•^o»7o> ^0) ^" corps, avec un rayon v plus grand que R. Par raison de symétrie, elle passe par ce centre et a la direction de Taxe des o'^ dans le sens duquel se fait le mouvement relatif. 11 suffit donc d'évaluer sa composante suivant les x positifs et, pour cela, de former la composante analogue de l'action exercée sur tout élément d<r' de la surface <j'= f^izv* de la sphère. Appelons cos(a, p, y) les trois cosinus
directeurs ^ ^^ ^-ILl 92 de la normale c/t à l'élément da' ;
et des formules trouvées en premier lieu par Navier donneront, pour celte composante, suivant les x, de la pression surc^a', mais rapportée à l'unité d'aire,
. . / du\ (du dv\ o (du dw\
la différenliation en :r, a d
V ax
V dx
l 4 ' J »- sJit:? ^ Jq L s '^»- J S
Or, aux grandes distances v, Tintégrale définie figurant au dernier membre s'évanouit, et son produit par — disparaît à côté du terme double précédent en
• En le supprimant et difTérenliant par rapport à t Texprcssion restante de 8, il Tient alors, vu (98), la relation asymptotique cherchée entre/? et o :
(98 bis) (aux grandes distances t)-7- = --^, ou n=r^-— .
a/ 1, p ' i, dt
Par suite, le produit />8 admet, sur les sphères a' de grand rayon t considérées au n* 14 (p. 227), Texpression approchée
. pv rf.82
11 s'y trouve bien, comme nous l'avons admis dans ce numéro, essentiellement positif au moment où, 6 s'écartant de zéro, le carré 6^ grandit.
236 RÉSISTANCR D*UNB SPHÈRE AUX PETITS MOUVEMENTS
Substituons-y les valeurs (70) de m, p, «^ (p. 225), puis les expressions (82), (98) de Ç, T,, Kj p] et observons encore que, les dérivées de t en x, r, ^ étant cos(a, p, y), on a, par exemple,
ddi ■""■
cosa
r/Ajcp
cosa,
dx
cosY
Il viendra, pour cette mèine composante (99) par unité d'aire,
ment, -y^ 7^ cos'a h -> ou encore
\ dt^ V a t / V at
(A,©)cos*a -h - -p-(i — 3 cos>a);
et, d autre part, l expression symbolique cosa-^ — h cosp-7 — J-cosv —
exprime une diflférentiation qu^on effectue le long de Télément dt du rayon t prolongé, c'est-à-dire une diflerenliation, dans l'espace, obtenue en faisant varier v seulement et non cos(a, p, y). Cette diflféren-
tiation appliquée à -^-^ donnera donc
:^cos.« + -^f'$)(.-3cos«a).
d,. dv\vdi./^ '
Remplaçons encore e ^ par sa valeur que fournit la difleren-
tiation en t de Téquation (89) divisée préalablement par t ( où ' ^
ne sera autre chose que ^t^\ valeur qui est
et la composante (100), suivant les J7, de la pression exercée sur
d'un fluide imparfait dans lequel elle est immergée. 287 l'unité de d^'^ deviendra enfin
(lOl)
Sa valeur moyenne sur toute Télendue [\tzx} de la surface ex' s'obtiendra en y remplaçant, d'une part, cos'a par sa valeur moyenne, égale à celles de cos* p ou de cos* y et, par suite, au tiers de la somme i de ces trois carrés, d'autre part, sin'a par sa valeur moyenne, complémentaire de celle de cos'a, ou égale à j. Donc l'impulsion totale subie par la sphère de rayon t, de la part du fluide environnant, sera, en multipliant finalement par 4'^^**»
(10.) 4-pR [HO- — ^ 3-^-^ ip -- 3^^ -^JJ.
A la limite t. := R, où la sphère devient la surface même <j du solide,
la dérivée -~ s'annule à toute époque^ en vertu de la seconde condi-
tien (88); ce qui fait disparaître le dernier terme dans la parenthèse de (102). Et l'impulsion totale H^ du fluide sur le corps se trouve exprimée simplement par la formule
(io3) R^=4-pR[f(^)-l^R*F'(/)].
Remplaçons-y la dérivée ^'{t) par sa valeur tirée de (97). De
plus, isolant les termes, rappelons que m représente la masse
fluide JirpR* déplacée par le corps et que F'(/), F''(/) désignent la
d\ vitesse et Taccélération actuelles relatives V, -r- de l'ensemble du
at
fluide par rapport au solide. Il viendra
(104) Rx= - l^-4-67rÊRV-Hi2v/^R* /'*F'(/~p»)rf?. 2 dt ^'0
Nous reconnaissons, dans le premier terme du second membre, la formule simple, trouvée plus haut (p. 21 4), de la résistance opposée parla sphère à un fluide sans frottements, où £ = o. Les deux derniers termes expriment donc ce que les frottements ajoutent à cette résistance, et nous devons nous y arrêter un instant.
18. Influence que les frottements y font prendre à la vitesse actuelle et aux accélérations antérieures. — Appelons, pour plus de
^238 Là résistance dépend des mouvements présent et passés du fluide.
précision, V^, et non V, la vitesse relative du fluide par rapport au corps, vitesse supposée ici dirigée suivant les x et qui, dans le cas général de mouvements relatifs de sens quelconques, exprimerait la composante, suivant les j?, du mouvement relatif total, la seule <|ui influe, comme on voit, sur la composante de même sens, R^j.» d® rimpulsion totale exercée sur la sphère. Et quand cette vitesse Vj^ devra être considérée, dans une même expression, non seulement pour sa valeur au moment actuel, mais pour ses valeurs successives, ou comme fonction donnée de ^, écrivons-la, même, V;r(^)» 3^*^ ^y distinguer Tépoque à laquelle on la prend.
Alors nous pourrons, dans le dernier terme de (io4), où F'(^ — p*) deviendra Vj(^ — p*), adopter comme variable d'intégration la différence t — 3*, en posant izzlI — p* et désignant ainsi par t toute époque antérieure à Tépoque actuelle. 11 en résultera
et la formule (io4), à laquelle seraient toutes pareilles, en Vy et V,, les expressions des autres composantes R^ et R^ dans le cas de petits mouvements relatifs quelconques, deviendra
(,o5) U.= "" f^ -.6ueRV.+ 6v/Ï^R. Ç "^^.
Les frottements intérieurs, dont la présence est manifestée, dans cette formule, par leur coefficient £, ont donc pour effet d'introduire «lans rimpulsion ou la résistance R^, en premier lieu, un terme en V^, produit de 3e par le contour 2*icR de la section maxima de la sphère et par cette vitesse actuelle V^^; en deuxième lieu, un terme proportionnel à R* ou à la section maxima et où entrent linéairement tous les accroissements antérieurs VÎj.(t) d-: qua éprouvés la vitesse depuis le repos primitif, mais avec des coefficients d'importance inverses de la racine carrée de leur éloignement t — t à l* époque actuelle, les plus anciens n'ayant ainsi qu'une influence indéfiniment atténuée. La résistance actuelle du solide garde donc, comme l'état actuel du fluide ambiant, quelque trace de toute la suite des mouvements relatifs antérieurement réalisés.
(') J'ai donné cette formule, le 6 avril i885, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (t. G, p. 935).
RÊSISTATfCB DE LA SPHÈRE AU MOU VELENT UNIFORME DU FLUIDE. qSq
19. Cas d'un mouvement uniforme de l'ensemble du fluide par rapport à la sphère. — Le cas Je plus simple est celui où le mouvement relatif est devenu depuis longtemps uniforme. Alors V!ç(x) s^annule dans le dernier terme, sauf pour les valeurs très grandes de /— t; et si, par exemple, la vitesse W^ " 8i rois à se produire qu'une «lurée assez courte par rapport à l'intervalle t — i écoulé depuis, la formule (io5) devient évidemment
fYA-^)d'z
(io6) R^=6irERV^-f-Gv/7tp6R** — ?^=^ = ÔTteRVjr-H Gv/7rpsR*-^.
sft — i yj t — 1
La résistance s'approche donc, quoique assez lentement, de la valeur constante 6 ire RVj.; ce qui prouve qu'un régime permanent du fluide tend à s'établir autour du corps. Et, en eflTet, ce régime permanent est possible. Car, si Ton suppose V^. ou V, F'(^), (p indépendants de t, de manière que Féquation (85 bis) se réduise à
—~ =0, l'expression de cp est (à part une constante insignifiante)
de la forme A t -h Bt' H ? que les deux dernières conditions (88),
puis la nécessité. Où sont les expressions (87) de S, t^, Ç, de se réduire à V, 0, o pour t infîni, changent en celle-ci.
Après quoi, A,o étant alors - V ( i j» les équations (83) et la
qualrième condition (7^) donnent
o ^- o / o 3 -,^ i 3 ,r» cosa (108) „ = £VR-j-= £VR — — .
Toutes les équations (71) et suivantes, du problème, sont donc satisfaites, sauf les dernières, (75), qui ne conviennent évidemment pas à un état permanent.
On voit que ce régime est très simple, la partie transcendante de la solution générale s*y évanouissant.
11 est d'ailleurs unique, cest-à-dire que nul autre système de valeurs de S, Tj, 2[,/7 indépendantes du temps ^ ne vérifie les équations (71) à (74), avec les données actuelles. On le reconnaît en procédant comme au n*»ri. (p. 226). L'équation (79) manque, il est vrai, de son premier
24o RÉSISTANCE d'uNK SPHÈRE, IMMERGÉE DANS UN FLUIDE IMPARFAIT,
lerme; mais l^annulation du terme suivant suffît pour démontrer la constance de i\ t)', ^' dans tout le fluide et, par suite, leur égalité à zéro partout comme à Tinfini.
20. Cas d'un mouvement périodique. — Après l'hypothèse Va; = constante, la moins compliquée est celle d'un mouvement pendulaire où Ton aurait
(109) Vx=cos/i^.
en appelant - la demi-période, adoptant une origine des temps conve-
rC
nable et les maxima de V^ comme unité de vitesse.
Pour fixer les idées, supposons que l'expression de V^, après avoir été, par exemple, nulle, soit devenue, depuis assez longtemps, (109). Alors, dans le dernier terme de (io5) ou, plus simplement, de (io4), les seuls éléments influents seront ceux que fournit cette dernière expression (109), donnant Y!^{t — ^^) —— k sin{kl — k^-); et l'intégrale y devient très sensiblement
— ks'inkt. f cos(k^^),d^-^kcoskt, f sm{k^*).dp. On reconnaît ici les deux intégrales définies, bien classiques, de la
diffraction, dont la valeur est -i / — : •
Le dernier terme de (io4 ) sera donc (iio) ir.R^^'iptki—sinkl-hcoskt) ou 3TcR*/2pEX- (j —r^ -+- Vj; V
Il se réduit, comme on pouvait le prévoir (t. I, p. 56), avec les deux termes précédents, auxquels il ajoute des parties fonctions de la période d'oscillation. Et la formule (io5) de la résistance opposée par la sphère solide au mouvement pendulaire relatif du fluide devient, vu
que m ■=. lirR^p,
'■•" x-ïC-i'sv/p-îO^-'-H-V^)^'
(^) Cette formule remarquable est due à G.-G. Stokcs, qui Ta obtenue ea se donnant a priori la forme pendulaire pour les petites vitesses tant du fluide que de la sphère. Voir la page 25, formule 51, de son Mémoire relatif à V Effet du frottement intérieur des fluides sur le mouifement des pendules, dans les Transactions de Cambridge (t. IX, Part. II; i85i), ou la page 3i3 du Tome V (J/e-
