SUITE : RÉSISTANCE DU CYLINDRE CIRCULAIRE
21. Essai d'intégpration des équations pour le cylindre circulaire. — Voyons encore sMl est possible d'appliquer au cylindre circulaire indéfini, poussé, par un fluide ambiant, normalement à son axe (pris pour celui des z), la méthode qui vient de réussir si bien et même si simplement pour la sphère (^).
El, d'abord, le système à intégrer sera toujours celui des équations (71) à (75) (p. 226), mais où z, 5o, Z, C n'auront plus à figurer; de sorte que, notamment, ce seront les distances \Jx^-^ y^ à Taxe des 5, ou, mieux,
les distances t =z v/(a7 — o^o)*-!- (/— Jo)* à Taxe (^o>yo) du cylindre, qui deviendront infinies aux points où les trois fonctions inconnues^,
\y p se réduiront respectivement al (X ~JT> ^ Tit)^^ ^^
zéro.
Considérant ces fonctions, par exemple, dans le plan des œy, entre la section donnée du cylindre et un cercle d'un rayon très grand r décrit autour de l'origine, on démontrera sans difficulté, tant dans le cas général que dans celui d'un régime permanent (p. 289), la détermination complète du problème, par la méthodesuivie au n** 14- (p. 228), mais avec substitution d'intégrales de surface aux intégrales de volume, c'est-à-dire avec des modifications comme celles qui, dans le o^'Q (p. 2i5), avaient permis d*étendre au cas du plan la démonstration donnée pour l'espace au n° 4. Ces démonstrations sont d'ailleurs subordonnées à l'hypothèse que le problème soit possible ou comporte une solution. Or, ce n'est pas a priori certain dans le cas de permanence, même en admettant le principe physique de l'établissement d'un régime permanent, dans tout système effectif àe corps soumis à des actions indépendantes du temps; car le cylindre indéfini con^iiiuQ
(^) J'ai résumé Tétude suivante sur la résistance du cylindre circulaire dans une Note du i3 avril i885, insérée aux Comptes rendus de V Académie des Sciences j i. C, p. 97'!.
244 RÉSISTANCE D'uN CYLINDRE, IMMERGÉ DANS UN FLUIDE IMPARFAIT,
une création de Tesprit, acceptable dans la question présente, pour remplacer un cylindre réel très long, aux points (J?, j, 5) du fluide beaucoup plus distants des bases que de Vaxe, mais non à ceux dont les distances aux bases et à Taxe sont comparables.
cP y„ Supposant ensuite Y ^J7r~^^ ^^ posera les équations (81)
à (85), mais en supprimant partout les termes en z et, par conséquent, les équations relatives à 5 ou à Ç. Seulement, A,<p, par exemple,
. . ,, . \ d [ do\ 11» ...
aura ici 1 expression " -r (^~f- j^ et non plus 1 expression simple
-7-^1 en sorte que, si Ton appelle maintenant 2F*(^) Texcédenl
d\ de -y- sur le second membre de la première (83), on aura, au lieu
de (85 bis)y
d^ L""^*^ \^^' Pv d^ J] ~'^
Effectuons une première intégration en t, puis, — ^'(i) désignant
encore l'arbitraire introduite, multiplions par — et intégrons une
seconde fois. Il vient, en appelant encore ^i(t) la nouvelle arbitraire.
On obtient ensuite pour Ç, tj deux formules analogues à (87) el qui donnent encore (88) comme conditions spéciales à la surface du corps, si Ton convient toujours d'y prendre «p in o. Alors le premier membre de (i i3) s'annule pourtizrH; de sorte que '\>i{t) a ici la
valeur 4;' (OlogR — F^'( 0 — - ^^ i^ vient, au lieu de (89),
«— Rî
OU, au lieu de (90), vu que Aalogx^^ro et 1,(1') = 4»
La quantité entre crochets, qui se réduit à — 2- F(f) pour t := I\,
