AUX PETITS MOUVEMENTS DB CK FLUIDE, NORMAUX A L*AXB

vérifie encore Téquation des températures dans un corps athermane

et isotrope, savoir, -z a'A,wzi:o (avec a'rr-V Mais ce corps

n^est plus une barre : c'est une plaque à faces imperméables, où la température u dépendrait du temps t et de la distance t à un point central, sa matière s'étendant d'ailleurs jusqu'à Tinfini en dehors du cercle t = R. Quand l'inconnue u doit s'annuler à l'infini, l'intégrale de cette équation peut être mise sous la forme

.C'-Méy'^'i-

où / désigne une fonction arbitraire s'annulant asymptotiquement pour les valeurs infinies négatives de sa variable ('). Mais ici, où t

entre explicitement dans l'expression - -r \ ^-j- ) de AjW, on ne peut

plus remplacer, sous le signe / ,tparv — R; d'où il suit que l'intégrale

ne comporte pas, pour t = R, une expression simple proportionnelle à y(t). Du reste, on ne peut pas davantage y faire t. z=o; car alors les

très petites valeurs de a rendent infini le facteur de — 2-y(^),

. /•• -~doL savoir, I e ^ • — • C'est le produit de la dérivée en t de l'inté-

grale part qui y prend une forme simple, savoir, 2 -x(^).

Quoi qu'il en soit, nous vérifierons l'équation (ii5)en posant, pour remplacer le mieux possible (91),

La fonction arbitraire /doit, comme on a vu, être choisie telle que, pourt = R, <p s'annule, ou que le premier membre se réduise à son dernier terme. Cette fonction y^ se déterminera donc par la relation,

(') Voir, par exemple, mon Cours d* Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique, t. II, Compléments, p. 47^*, seconde formule (70), où il

faol poser p = 2 log - , c?p = — 2 ~ , et remplacer t par - t, puis F ( - / ^ j

2^6 RÉSISTANCE D'uN CYLINDRE, IMMERGÉ DANS tN FLUIDE IMPARFAIT,

malheureusement très implicite,

On voit que, si y( — oo) est de Tordre de petitesse d'une puissance, à exposant négatif quelconque, de sa variable (prise en valeur absolue), F(/) sera finie et s'annulera aussi pour / = — oo.

D'ailleurs, le second membre de (ii6) tend alors vers zéro quand t

grandit indéfiniment; de sorte que l'expression de «p donnée par (i i6)

pour les points très éloignés est, dans sa partie variable avec t,

t* — '^{t) logt H- F'(^) — • Le premier terme ayant ses dérivées en xtly

évanouissantes, et t* étant {x — ^o)*4-(/ — yo)*> les formules (82) de Ç et de tj seront simplement, aux grandes distances t, Ç = F'(0» TQ =r G. Donc les relations (74) (p. 226) se trouveront satisfaites, à la condition de poser, vu (81) (p. 229), F'(^) = V. Ainsi, la fonction ar6i7ra/reF(^) se détermine toujours par les équations (98) (p. 233) : elle représente encore V espace total parcouru ^ depuis V origine du mouvement y par V ensemble du fluide ^ relativement au cylindre ; et elle s'annule bien à la limite ^=—00.

Il reste, pour déterminer «KO» ^^s deux dernières conditions (88), ou plutôt la première d'entre elles seulement, vu que, en éliminant 4^1 (0> "ous avons déjà vérifié une combinaison des deux, savoir A,cp =z o (pour t z=i R), d'après l'équation (i i4)> dont le premier terme est annulé continûment avec 9, à la limite v = R, par l'ensemble des relations (116) et (117). Il faut donc différenlier en t les deux membres

d*Q de (116) et exprimer, dans le résultat, que -- -=.0 pour t = R. La

dérivée du second membre de (116) est successivement, en intégrant finalement par parties et observant que les termes aux limites sont

Il vient ainsi, pour <}'(/), la valeur (,.8) ^(0 = K»FV/) + î.^^/' ■,(l-\^^^e~~o.d:,;