AUX PETITS MOUVEMENTS DE CE FLUIDE, NORMAUX A L AXE

el l'on remarquera que celte valeur s^annule bien, comme )^( — oo) et F( — 00), à la limite /=:--oo.

Enfîn l'expression de py nulle pour t infini, sera, vu les équations (83), (93), (112) (p. 280, 233, 244) et le second membre de (ii4)>

valeur de -r A.o,

dt p 't'

Cette expression est seulement de Tordre de petitesse de - aux

grandes distances t : elle y décroît moins vile, sans comparaison, que l'expression (98) relative au cas de la sphère (p. 234); d'où Ton peut conclure que la perturbation causée par le cylindre indéfini se propage, à égalité des rayons R, beaucoup plus loin que la perturbation due à la sphère.

22. Résistance du cylindre, sous une forme implicite.—- Évaluons maintenant l'impulsion sur le corps, et d'abord celle qu'éprouve suivant les or, par unité d'aire, un élément de la surface de rayon x. conaxique au cylindre. La formule (99) (p. 235) s'y appliquera, sauf à y poser cos 3 = sin a, cosy = o; et elle deviendra, au lieu de (100),

(*> En procédant comme à la note du n<> 116 (p. a34), on trouve ici pour la vitesje radiale 6, ou (Ç — V) cosa + tj sina, dans le mouvement relatif de la couche fluide cylindrique de rayon v par rapport au fluide situé à Tinfini, la suiie d'expressions

d dx d dx

Aux distances de l'axe, t, très grandes, le dernier terme entre crochets s'évanouit. Il vient donc, en diflérentiant par rapport au temps et tenant compte de (119))

, ,' . , , . ■, ^ dB p t/o

{11^ bis) (pour 1, trcs grand) — = -1-, ou /> = pv — •

Le produit />5, essentiellement positif, aux grandes distances t, quand le mouvement commence à s'y produire, est donc ici

. pv d.^^

pO = j~'

•^ 2 dt

248 RÉSiSTANGB D*IN CYLINDRE, IMMERGÉ DANS UN FLUIDE IMPARFAIT,

vu l'expression actuelle (119) de />, vu aussi que ^—^ est actuellement

( A, 9 ) cos' an -r ( I — 2 cos' a),

t at

(lïo)

= P? (0 ^-^--J-^ sin*a— 26-^ ( - -j^ ) (i — 2C0S*a).

V cLv Ui, \ï, at, /

Or Téquation (ii4) différentiée en t, et dont le second terme est

Aj©, donne une valeur de e— -—-qui transforme cette expres-

p dt

sion (120) en celle-ci :

(i-2i) i-'-^— ^ — ûF'(/)i,sin«a-i-p-7— rsin'a — ae-T- (- tt-) (i — îicos«a).

Sa valeur moyenne, sur Taire 27rt delà surface cylindrique (considérée entre deux sections normales distantes de 1), s'obtient en y remplaçantcos^a, sin*a par leurs valeurs moyennes, évidemment égales entre elles et à la moitié, y, de la somme constante cos'a-h sin'a. Elle est donc

t 2 1 d*,dt

A la surface tzziR du cylindre donné, le dernier terme s'annule, à raison de la deuxième condition (88) (p. 281); et, si l'on multiplie la somme des deux autres termes par l'aire correspondante 2'ïrB, il vient, pour la résistance R^. de l'unité de longueur du cylindre,

(123) Ra.= 7rp[24.'(0-H«F'(0].

Remplaçons enfin ^\t) par sa valeur tirée de (118); et, vu d'ailleurs la première formule (gS) (p. 233), nous aurons, en appelant encore /n la masse, irR'p, du fluide déplacé par le cylindre.

dS , /•- ,/, p R»\ -^'

(.24) R,= ;,^:^^4;,eJ ^(i-X^^^^y «arfa.

Le premier terme du second membre exprimerait à lui seul, comme nous savons, la résistance R^., dans l'hypothèse e =: o. C'est donc le dernier terme qui représente le surcroît de résistance dû aux frottements. Mais, pour l'obtenir, il reste à y remplacer -^ par sa valeur, que définit implicitement, en fonction des vitesses relatives anté-

AUX PBTITS MOUYEMENTS DE GR FLUIDE, KORMAUX A L*AXE. ^49

rieures données V, Téquation (117) différentiée en ^, savoir,

(.,5) ry.'(.P-51).-T'^«=v.

Considérons le rapport des deux intégrales définies qui figurent dans (i24) et (ia5). Si nous y remplaçons, sous les signes / , a par une

autre variable d'intégration a', égale à — oi» ^^ rapport, dont le

déoominateur est la vitesse donnée V, devient —i- -t où y désigne

Texpression

j: ^■('-îV)

el la formule (124) prend la forme

Mais il reste à y déterminer y-

Contentons-nous de reconnaître ici que cette inconnue auxiliaire y tend vers zéro avec e. En effet, quand e se rapetisse, les deux intégrales définies figurant dans (126) ont leurs éléments correspondants réduits, à cause de Texponentielle qui leur est commune, dans un même rapport. Mais ce rapport s'élève de plus en plus avec a', au point que, abstraction faite du facteur ^', les éléments dont le champ

est compris entre une valeur quelconque de a' et la limite supérieure,

pR«a' seraient évidemment, tous ensemble, la fraction e ^ , évanouissante avec e, de l'intégrale entière, dans le numérateur, et une fraction encore moindre dans le dénominateur, à cause du facteur décroissant-^« Donc, étant donnée toute forme unie de la fonction /^', qui ne

soit pas identiquement nulle pour les fortes valeurs négatives de sa variable, chacune des deux intégrales finit par se réduire à ses éléments les plus voisins de la limite inférieure, si e devient assez petit. Or, en comparant ces éléments chacun à chacun dans le numérateur et dans le dénominateur, on voit que leur rapport a' est évanouissant. Ainsi, quand e s'annule, y tend bien vers zéro, et l'expression (127) de Rjc se réduit à son premier terme.

25o RÉSISTANCE D*LN CYLINDRE, IMMERGÉ DANS t'N FLUIDE IMPARFAIT,

23. Tentative pour la rendre explicite, du moins dans certains cas. — Pour tâcher de tirer quelque parti des formules précédentes, posons

(128) v^-^^ ou i^=->«g(^^5)'

|x étant ainsi une variable auxiliaire, qui croît de — 00 à 00, quand t grandit de zéro à Tinfini, ou quand e décroît de J^infini à zéro. Les dérivations en t des fonctions de jx se feront par la formule symbolique

*^^ d. d. d'j. ^ dik \ z d\i.

Désignons d^ailleurs par 4> Tintégrale définie

4> sera ainsi une fonction de t et de (x, satisfaisant à Téquation aux dérivées partielles transformée de celle que vérifie en t et ^ cette intégrale définie, et qui est -7- = > (^-r- )• Or, vu d'abord la va-

aô pv «v \ at /

leur 4 /»^{i. de t et, ensuite, la règle de drfTérentiation (129), celte équation devient

Il faut y joindre les trois relations spéciales

j [pour (X = log (r ^f ) J * = V, ' (pour {ji = 00) <l> = o,

' (pour^= — ») 4> = 0,

dont la première n'est autre que (i25), tandis que les deux autres ont été justement admises quand on a posé i( — 00) z= o.

L'ensemble des relations (i3i) et (iSa) détermine complètement *

entre les limites [x = (Xo= log 1 R i /- j et {x = 00. On le démontre en

reconnaissant d'abord que la différence de deux solutions, s'il en existait plus d'une, vérifierait les mêmes équations (i3i) et (i3a), mais prises avec V = o; puis, si 4> désigne cette diflférence, en intégrant, depuis jXq jusqu'à une valeur (x très grande, le produit de (i3i)

AUX PETITS MOUVEMENTS DE CE FLUIDE, NORMAUX A l'aXE. a5 f

par e'H-* d^L. Il vient immédialement, grâce, dans le second membre, à une intégration par parties, où les termes intégrés disparaissent à raison des deux premières conditions (i32),

Au moment où, t grandissant, 4> s'écarterait de sa valeur primitive zéro, les deux termes du premier membre seraient évidemment positifs, et leur somme ne pourrait se réduire à la valeur zéro du second membre. Donc le problème est bien déterminé; et, pour chaque expression donnée de V, il n'y a qu'une intégrale * possible.

Si Ton parvient à la trouver, la formule (i24) de la résistance deviendra

(i33) R^=m^- ~4t:8^, pour jx = ^o = log(^R^^j.

Cela résulte de la manière même dont a été obtenue l'intégrale définie figurant dans (i24)- Mais, on le voit aussi directement, en dif-

férentiant sous le signe / , par rapport à u, le troisième membre

de (i3o), et en observant que celte intégrale donne identiquement, comme dérivée en (x,

résultat qu'une intégration par parties transforme en ceci,

intégrale évidemment identique (sauf le signe), pour

,x = log(R^),

à celle qui figure dans le dernier terme de (124).

2^. Impossibilité, à vitesse devenue constante, d'un régime permanent où la perturbation s'éteigne aux distances beaucoup moindres que la longueur du cylindre. — Si, à partir d'un certain moment, la vitesse V devient constante, il est inévitable qu'un état relatif permanent du fluide, par rapport au cylindre, s'établisse peu à peu.