RÉSIST. DU CYL. INDÉFINI, DANS UN FLUIDE IMPARFAIT, A UN MOUTEMKNT

Alors, Ç, Y) étant indépendants de ^, les deux dérivées première et seconde de * en t ou en jjl, au moyen desquelles s'expriment Ç et t,, le deviennent également; et, comme 4> = V à la limite inférieure {x = iXo, il s'ensuit que 4> devient, partout, indépendant de t (^). L'équation (i3i) donne dès lors

-7-^=0, -j— = une constante ( — C), et * = V— C([ji — fx©).

Or notre analyse, où le cylindre est supposé de longueur indéfinie, revient, dans la pratique, à admettre que la perturbation causée par la présence du cylindre reste sensiblement limitée à des distances petites comparativement à la longueur eflfective de celui-ci. Tant que celle hypothèse de limitation reste assez bien vérifiée, les formules ci-dessus sont donc applicables, et la seconde condition (182)

(') Toutefois, comme la relation entre «p et <1> contient aussi, explicitement, non seulement x, ou |jl, mais encore, d'une certaine manière, le temps ^, il est bon d'examiner ce point de plus près.

Éliminons, par Téquation (118), ^{t) de l'expression de 9 que donne (116); puis remplaçons Tintégrale définie figurant au second membre de (116) par

/ ^dt ti celle qui figure au second membre de (118) par — / \ZJ~) ^^*

ce o si{ en {X. I

rindice o signifiant qu'il faut prendre à la limite inférieure ^^ la dérivée première de 4» en jx. Il viendra, par la double substitution, à F'(^), de sa valeur V et, à v,

de e'^

— 2- / <l> c?^ + une fonction de £ seul.

On en déduit, vu finalement l'équation (i3t), qui permet de remplacer -~^ j pareV--,

Cette formule montre bien que * ne peut pas dépendre de /, quand V et -j-^ 'en dépendent pas.

9 en t, a la valeur

n'en dépendent pas. Or -17^,» exprimé au moyen des deux premières dérivées de

il cesse de dépendre de t, dès l'instant où Ç, r^ et, par suite, ces deux dérivées n'en dépendent plus.

DEVBNA2VT UNIFORXE : ACCROISS. IKDÉFINI DES POtPE ET PROUE FLUIDES. 253

oblige évidemment à faire C infiniment pelil, ou à prendre* très lentement variable, même autour du cylindre, dans Tétat ébauché de permanence dont la réalisation se prépare.

Par suite, à mesure que se complète ou se parfait Tétat permanent, le champ de la perturbation sensible, autour du cylindre, s'étend, sans limite assi g nablCy puisque les deux premières conditions (i32) exigent, entre le cylindre et le contour de ce champ, une variation totale constante V, mais effectuée avec une lenteur de plus en plus grande, de la fonction 4>. Donc la perturbation finit parfranchir toutes les distances petites comparativement à la longueur du cylindre et, en conséquence, par le contourner suivant la longueur même; ce qui met en défaut notre hypothèse fondamentale de mouvements plans et, dés lors aussi, nos formules.

En d^autres termes, la masse fluide retenue par le cylindre, ou ce que du Buat appelle la poupe et la proue fluides, croît sans limite, dans un régime permanent, avec la longueur du cylindre (dont on ne peut plus, par suite, faire abstraction); et cVst, d^ailleurs, sans rendre infinie la résistance, vu Tévanouissement simultané de Taccélération.

N^oublions pas toutefois qu'en posant Téquation (2) (p. 200), nous avons admis Tincompressibilité totale du fluide. Or il est clair que sa faible compressibilité réelle atténue sa solidarité avec le cylindre et doit rendre moins absolue la conclusion précédente, relative aux lK>upe et proue fluides. En outre, les mouvements sont supposés ici bien continus, sans tourbillonnements, ni ruptures.

Aux distances petites par rapport à la longueur, et où notre analyse s'applique, à fort peu près, dans le régime approximativement permanent du début ou le plus simple, le fluide fait corps, sensiblement,

dW avec le cylindre. En effet, dès que, dans (ii4) (p. 244)> F''(^)ou -r- s'est

annulé, <p, dans le régime permanent dont il s*agit, devient lui-même indépendant de t^ comme ses deux premières dérivées en t (liées à % et Tj), puisqu'on Tannule à toute époque pour t = R. Or, alors, cette

équation (ii4)) multipliée par te/b, et intégrée de manière que -j- s'annule pour t == R, donne, grâce, finalement, à une intégration par parties.

254 CYLINDRE IMMERGÉ DAMS UN FLUIDE IMPÀKFAlT : CAS PARTICULIER

En divisant par t^, il en résulte pour - -7^ une valeur qui, aux

grandes dislances de Taxe, est de Tordre de ^{1) multiplié par un facteur indéfiniment croissant. Mais la composante relative Ç de vitesse est, d'après (82),

dJ V» l d. v* '

quantité justement égale à- -j-^ dans leplan / = /o. Si Ton n'avait pas

^\t) = 0, la vitesse relative du cylindre et du fluide y croîtrait donc

sans limite avec la distance t : circonstance évidemment inadmissible.

Ainsi, dans le régime permanent considéré, il faut poser ^'{t) =0

là où s'appliquent nos formules, c'est à-dire aux distances de Taxe

dft petites par rapport à la longueur du cylindre. Par suite, -7* et 9 s'y

annulent partout comme pour t =: R : les équations (82), (119) y donnent $ = G, tj =10, />=:o; d'où aussi Rx=o : et le fluide est sensiblement immobilisé, sans pression actuelle d'aucune sorte, dans tout le voisinage du cylindre.

C'est donc aux deux bouts de celui-ci ou, du moins, loin de son milieu, près duquel nous nous supposons ici placés, que s'exercera l'impulsion du fluide.

Pour essayer de trouver un mouvement où la résistance R^ tende à être constante sans s*évanouir, admettons que la fonction x'(^)> après avoir été nulle de t-=. — 00 à ^=:o, croisse rapidement jusqu'à une certaine valeur C, pour s*y maintenir désormais. Alors les deux formules (i25) et (124), si l'on y débarrasse les intégrales des éléments où le facteur^' est nul, donnent :

La résistance tend vers la valeur fixe 4^eC. Mais le mouvement n'approche pas d'avoir une vitesse finie constante; infiniment lent

pour ^ = 0, il s'accélère graduellement, avec accélération, —, nulle

d\ -P^ at

(pour/>o) {

\ dt ~~ lt^

dYx mouvement ou la résistance devient constante. 255

au début, maxîma pour t-=i—. — el indéfiniment décroissante plus

Inrd, pas assez vite toutefois pour maintenir la vitesse au-dessous d'une valeur assignée.

25. Cas d'an mouvement pendulaire : équations à y intégrer préalablement. — Abordons enfin le cas d^un mouvement pendulaire. Dans ce but, faisant abstraction d^un coefficient constant d'amplitude qui disparaîtrait de toutes les formules comme facteur commun, et supposant une origine des temps convenablement choisie, prenons /'(/) = cosA7, ou du moins concevons que x'(^)> après avoir été nul à une époque très ancienne, soit devenu peu à peu de la forme cosA:/. Alors la perturbation sensible ne cessera pas d'être limitée dans Tcspace; car la dernière formule (i3o) de 4>, même en y faisant remonter jusqu'à t = — 00 l'expression pendulaire de )^', tend vers zéro pour x, infini ou pourjx infini. Elle prend, en effet, la formé

et, si Ton change la variable d'intégration a contre une autre, p, égale à — - — , les deux intégrales définies y deviennent

(H;) e-[^ f (cQs^ ou s\n^\ (^ e~'^'^j d^.

Or, sous le signe / , le second facteur entre parenthèses, fonction

de ~ nulle aux deux limites, positive dans l'intervalle et maxima

/ I \ et^ I

( égale à -— r ) pour — =z -— , n'empêche évidemment pas les inlé-

grales de rester finies et déterminées, quelque grand que soit fi. Car leurs groupes alternativement positifs et négatifs d'éléments qui y seraient agrandis par ce facteur le seraient, même pour jx infini, dans un rapport restreint, et sensiblement le même s'il s'agit de groupe^ consécutifs; de sorte que ces intégrales constituent, en y partant des groupes les plus forts, des séries convergentes de termes décroissants à signes alternés. On voit même que les groupes les plus forts sont de plus en plus éloignés de la limite inférieure, et de plus en plus petits,

256 RÉSISTANCE d'lN CYLINDRE, IMMERGÉ DANS UN FLUIDE IMPARFAIT,

à mesure que (x grandit : ce qui fait tendre alors les sommes des séries vers zéro. Donc les expressions (137) sont plus rapidement évanouissantes que leur facteur e~(^, quand (x crott sans limite. C^est dire que la seconde condition (1S2) est vérifiée, même en supposant que le mouvement ait toujours été périodique.

Faisons, dans (i36),

r-/ he^-V-\ -¥r/a .

/ ( sin — - ]e * — = I sinx,

J^ \ aaV a

I désignant ainsi la racine carrée positive de la somme des carrés des deux intégrales, et x un arc fonction continue de \i.. L'expression (i36) de 4> devient alors

(139) * = Icos(A7 — t).

Porlons-la, développée en cosA7 et sinÂ7, dans Téquation (i3i), ainsi que sa dérivée en /, — k\ûn{kt — x), développée de même. Comme Téquation (i3i) devra être satisfaite tant aux époques où sinX:^=:o qu*à celles où cos/r/i^o, il faudra égaler séparément dans les deux membres le terme en cosA*^ et le terme en sinA^; ce qui donnera, pour calculer I et x en (x, les deux équations didérentielles simultanées

r/«I d\ (h . , fhJ ,r/ix . , . . .

-7— i cosx — i-- — -T-sinx — I -— - cosx — I -7—- sinx = ke^V-x sinx,

r/«I . d\ d' , d'.'i . ,^Jx , . ,

-— - sinx -h 2-7 7- cosx — I -r— sinx -h 1 -7—. cosx = — ke-[^l cosx.

«|Ji* a|JL ajx dix^ ajx*

En les ajoutant, après les avoir respectivement multipliées soit par cosx et sinx, soit par — sinx et cosx, on les remplace par celles-ci,

I dH dz^ I d /,, ^/x\ , ,

qui reviennent identiquement à

d^\os\ , A/logiy d-

"^ 6/jJL=i "^l dix ) ~ dî.

d'J d^-z d\os\ dz

-j— y -7—, H- 2 -7-2- -.- = — Xvî|A.

a;x* é/'ji* d'j. d'x

Il se joint à ces équations didérentieiles du second ordre, pour déterminer les quatre constantes arbitraires qu'introduit leur intégration,