RÉSISTANCE D'LN CYLINDRE, IMMERGÉ DANS UN FLUIDE IMPARFAIT
et comme, à la limite (x = [Xo, * se réduit à la fonction connue V du temps t, on a
(.4.) [pourix = îXo = log(Ry/2)] ^ = (--^log;)v~i
k 'd\L dt '
Par suite, si Ton appelle, pour abréger, P et Q les deux quantités, essentiellement positives diaprés ce qui précède,
l'expression (i33) de la résistance devient, en y remplaçant -ïte par sa valeur, tirée de (128) et qui est itv'pe'^H- ou /we^'H-,
dW (i i4) Rx= (i-h4Q)''^^ H-4P^vwV (pour [jl= i^o ou v = R).
Il ne reste donc plus qu'à déterminer les deux fonctions P, Q de p., pour en introduire, dans cette expression, les valeurs correspondant à |jL =z ji^j ou à t = R.
Les formules (i43), qui définissent P et Q, donnent
d\i. dix ^
et les relations (i40 deviennent, en P et Q, les deux équations différentielles du premier ordre
(145) ^ -f-2P = Xe*lA(P2— Q*), ^^-h2Q = 2X-ô«l^PQ — î.
En les ajoutant, respectivement multipliées par i et par ^ — 1, on voit qu'elles sont réunies dans l'équation suivante, mais imaginaire, de Riccati,
(146) ^4-9.S = ^e»H'Sî-v/^, où S désigne la somme
(147) s = p-+-Qv/=:7.
AUX OSCILLATIONS PENDULAIRES DE CE FLUIDE. i5q
Et celle-ci {1^6) elle-même, si Ton pose
devient, en T,- Téquation linéaire et binôme du second ordre
montrant que T est une fonction cylindrique (ou Bessélienne) imaginaire (*). II faudra donc intégrer ou cette équation (1/19)» ou, directement, les deux équations simultanées (i45), à termes réels. Considérons plutôt celles-ci. Comme Thypothèse e =1 o, ou |jl = 00 ,
d\ fait évanouir, dans (i44)> l^s parties de Rx autres que ^--ttj on voit
que P, Q doivent s'annuler à la limite |jl = 00 .
On le reconnaît d'ailleurs directement, d'abord pour P, dont l'expression dépend, d'après (i43), dee'H-el de logl. Comparons, en effet,
pour |i très grand, logl, ou plutôt log |-> qui est alors positif, à e^^. Si
n désigne leur rapport, positif lui-même, on aura ne^V-^ logl = o, ou bien, en passant des logarithmes aux nombres, e"^*^l = 1, et, par suite,
e"*'^(Icosx ou I sinx) = (cosT ou sinx).
Or les expressions (i37) de Icosx et de Isinx, multipliées par e"*'»*, deviennent
(iJo) f (cos^ ou sinê^^ Z'***" ~«?"v-X;
et il est facile de voir que celles-ci ne pourraient égaler cosx ou sinr, c'est-à-dire se trouver comprises entre — i et -h 1, si n n'y tendait pas vers zéro quand [t. grandit. Car, si n restait supérieur à une limite
positive V-, les éléments qui correspondent à ?>-l/~ rendraient
évidemment infînies les deux intégrales quand l'exponentielle le serait, savoir, pour jx infini. Ainsi, le rapport n, c'est-à-dire l'expression
(') Voir, au sujet de cette équation, une Note du Tome II {Compléments) de mon Cours d'Analyse iT\finitésimale pour la Mécanique et la Physique ( p. 3i i*
et 3ia*) : dans cette note, notre ji actuel devient - \,
26o LOIS APPROCHÉES DE LA RÉSIST. D*UN CYLINDRE, OU MÊME D*CN SOLIDE
e'^t^logy, tend vers zéro à cette limite. Il en est, par suite, de même de sa dérivée en (x, qui est
e-'f- -7— loff - — 9.e-*{^ lo<î -» ou AP — 2/1; a{ji i 1
et P tend bien, comme /i, vers zéro, quand [j. croît indéfiniment.
Dés lors, il en est de même de la dérivée de P en (x; et la première équation (i45)> divisée par — ke^V-y devient, pour |x infini, o = Q*. Ainsi, Q tend vers zéro comme P. Mais alors les premiers membres des équations (i4^) s^annulenl à la limite; et ces équations tendent vers la forme
(Pel^/ÏA)'— (Qelit/r^)*= o, (P^l^/TZ) (Qe{^/r^) = i.
11 en résulte (P, Q étant positifs) Pet^y/TÂ" = QeH^y/âT = i, ou bien
(i5i) . (pour [Ji très grand) P = -^-> Q = -p=r •
/•2 /{ yi A
27. Cas d'an cylindre à g^and rayon ou d'un mouvement à courte période: lois simples y approchées, de résistance. — Si jx est assez grand, ces valeurs approchées de P et Q, portées dans les premiers membres de (i45), en fourniront une approximation meilleure que la première (zéro); et ces équations, devenues
donneront très sensiblement, c'est-à-dire avec erreurs de Tordre de e-^^ seulement, en adoptant d'abord {Ve^yJ^Y et (Qef^y^)* comme inconnues provisoires,
'■"' '"là' ''^,--^-
On en déduit des valeurs des premiers membres de (i45) qui se trouvent être les mêmes qu'à l'approximation précédente. Mais, en résolvant alors plus exactement les équations (i52), c'est-à-dire sans
QUELCONQUE, AUX OSCILLATIONS D*UN FLUIDE IMPARFAIT QUI l'eNYIHONNE. 201
négliger, dans P et Q, les termes de Tordre de e"'l*, il vient comme troisième approximation, à laquelle nous nous bornerons,
D'après ( 1 28) (p. 25o), où il faudra faire t=R, la fraction ——r, recevra,
\fik
dans ces formules, la valeur 7^-4/ — 7. Donc celles de seconde ap-
proximation par exemple, c'est-à-dire (i53), donneront, comme expression de la résistance R^, représentée par (i44)» et où /n=i:7tR*p,
On remarquera sa complète analogie avec l'expression que donne, pour la résistance de la sphère de même rayon R, la formule (m) (p. 240). Même les trois coefficients numériques 2, ir et 2it qui y
afleclent, d'une part, -p V/~T "TT"' d'autre part, le produit, par eV,
du contour mouillé, 2, de la section maxima 2R normale au sens du mouvement, et, enfin, le produit de cette section maxima 2R par
eVi / — , sont peu difierenls des coefficients analogues jj 3 et 6, relatifs au cas de la sphère, où le contour et la section dont il s'agit étaient 2irR et icR^.
Les diverses parties de la résistance qui, dans des oscillations pendulaires, dépendent du frottement intérieur sembleraient, d'après cela, ne pas varier beaucoup avec la forme du corps, à égalité soit de sa plus petite dimension 2 R et de la masse fluide déplacée m, s'il s'agit de la première partie mentionnée, soit du contour de la section maxima normale au mouvement, s'il s^agit de la deuxième, soit, enfin, de Taire de cette section, s'il est question de la troisième et dernière partie introduite par les frottements du fluide.
Les formules ci-dessus de P, Q seront, évidemment, d'autant plus approchées que sera plus grande leur variable e^^JVk^ c'est-à-dire
l'expression 2Ri/^) ou aussi, par suite, le diamètre 2R du cylindre. Or c'est dans ce cas, précisément, qu'on pourra s'attendre à voir le mieux vérifiée notre hypothèse fondamentale de mouvements du fluide bien continus ou sans tourbillonnements, nécessaire pour
262 RÉSISTANCE b'uN CYLINDRE, IMMERGÉ DANS t'N FLUIDE IMPARFAIT,
que les Joîs élémentaires du froltemeut soient celles que nous avons admises. On conçoit, en effet, qu'un cylindre trop mince, ou généralement un corps très ténu, de rayon minime par rapport à Tamplitude des mouvements dans Tunité de temps, soit franchi plutôt que simplement contourné par le fluide oscillant, et le rompe au lieu de le suivre.
28. Aperçu des calculs à faire dans le cas général : leur mise fréquente en défaut par les ruptures du fluide. — Mais pour savoir jusqu'à quelle limite inférieure des valeurs de et* v^2^ ces formules (i 53) et (i54) pourront s'appliquer, du moins dans la supposition d'amplitudes ou de vitesses assez faibles pour sauvegarder la continuité des mouvements, il faut intégrer les équations (i45), ou mieux l'équation (i49)> que l'on rendra, d'ailleurs, indépendantes de A:, en y remplaçant [JL par la nouvelle variable [x'=:jxH-logv/^(d'où eH^v/Â- = eï^). Si, même, adoptant provisoirement une variable, y> imaginaire comme l'est la fonction T, on fait y == 2 jx' -t- logy^ — i , Téquation (i49) prendra la forme plus simple, entièrement réelle,
Posons-y
(157) Y = 2'og'"
elle devient aisémenl
d^T t dT dr^ "^ r dr ~
\ c?Y •.>. dr/
Comme, d'ailleurs, la fonction T ne doit pas devenir infinie pour r infini, cette fonction a précisément, au changement près de t en r, la forme de celle, w, que nous avons déterminée au n<» 228 (p. 116), et qui vérifiait, dans ce numéro, l'équation (84) identique à celle-ci (i58), sous la même condition de rester finie quand sa variable croissait indéfiniment. On aura donc, vu les formules (85) et (90) des n" 228 et 229,
(,59) '^ = -^»/ r^-log^l^lcoh(rcosa)e/a,
expression développable (n<>232) en séries toujours convergentes, procédant suivant les puissances de r, avec le facteur logr en plus dans
