ÉQUATIONS DU MOUVEMENT V1BR4T. DE L'ÊTHER DANS LES CORPS TRANSP
a\es, à raison des formes, inégalement effilées dans les divers sens,
offerles par les molécules.
Dès lors, même si le milieu est homogène ou que A, B, C soient
constants, la relation (8), quoique ayant son premier membre réduit,
M • j A • d\ dr^ d^ ,. ,.
comme 1 expression de 0, aux termes en -j-y -7—) -^-j n implique pas
la conservation des volumes d'éther; et les seconds membres de (6) ne
peuvent pas être débarrassés des termes en -r- -• Mais ces
équations conservent néanmoins une simplicité inespérée, dont n'approchent pas celles qui régissent les petits mouvements des solides élastiques hétérotropes.
Aussi y a-t-il lieu de chercher si, dans le cas général d'une contexture quelconque, il n'existerait pas pour toute particule transparente un système d'axes rectangulaires, amenant les mêmes réductions des formules (4) de A^jci «^r» ^z ^^^ trois termes en A, B, C.
5. Réduction des résistances et des équations approchées du mouvement à leurs formes les plus simples. — Il nous faut évidemment, pour cela, effectuer un changement d'axes analogue à celui de la VllI" Leçon (t. I, p. laS). Si l'on appelle j?,, ^j, z^ les coordonnées d'un nouveau système rectangulaire d'axes, défîni en direction, relativement à celui des x, y, Zy par des cosinus directeurs donnés, savoir, a, a', a" pour Xi, b, b', b" pour j-,, et c, c', c'^ pour^j, les composantes ^xt* ^yiy ^5,» suivant les ^i,yi,-^i, de la résistance (c'Rj., c'fly, t'ft-) seront
(9) s Ay.r^b^ijc
Grâce aux formules (4), où il faudra remplacer Ç, tj, Ç par leurs valeurs en fonction des déplacements ?,, tj,, î^i relatifs aux nouveaux axes, c'est-à-dire par
a' Siy -+-
b'Sly-h
c' Siy-h
5 = «$i-^ ^^a-^ cÇi,
ces expressions (9) de Ax^, c^^,, c^R..^ prendront immédiatement les
EXISTENCE d'aXKS RECTANGULAIRES DE STMËTRIB. 375
•""mes voulues
on aura
Al = Aa«H- Ba'«-+-Ga'*-f- ( D -f- D')aV-*- (E -h E')a'a -h (F -4- F>aa', , D, = A6c -i- B6'c'h- Cb'c'-h D b' c" -^ V c' b" -h Eb'c h- £'0"^ + ¥bc'-^V'cb', ''^' j d; = kbc-^ B^'c'h- Gi>'c'-4- Dc'^'-h D'Z»'c'+ Ec'6 -4- E'^»'c -r- V cb' -^ F'bc', 1 Bi = A6»-f-BZ>'«-4-..., etc.
D'ailleurs, de celles-ci l'on déduit
Di-hD\ = 7.Xbc-h 2B6'c'H-2C6''c»-f-(D-t-D')(6'c''-+-c'è')
-+- ( E -H E')(6''c -+- c'i>) -h (F -4- F') (i>c'-i- c6';, E| -h E\ — 'iAca-H aBc'a'-f. . ., F, 4-F'i = ikab-\-iBab'-^
Or imaginons que Ton construise, autour du point (^,/, z) à partir duquel se comptent les déplacements ou coordonnées Ç, r^, C, la surface du second degré qui aurait pour équation
04) A$«-hBTj»-f-CÇ»-H(D-HD')r,î-h(E-4-E')îS-f-(F-4-F')ïïi = const.
Dans le nouveau système rectangulaire des coordonnées ?,, r.j, Ç,, celte équation devient précisément, vu les formules (10),
. l A,$î-4-B,Tiî-HGiÇÎ+(D,-i-D;)r,,;i
^ \ -+-(E,-T-E',)Ci?,-^(Fi-i-F;)^ir)i:
const.,
les nouveaux coefficients y désignant ceux que définissent trois des formules (12) et les formules (i3).
Donc, si l'on choisit pour les directions des nouveaux axes celles des axes principaux de la surface du second degré à centre exprimée par(i4), les rectangles t^jÇ,, Çjli, $^t,, des coordonnées disparaîtront identiquement de sa nouvelle équation (î5); et l'on aura
C'est dire quV// a, />owr toute particule transparente^ une orien^ talion possible du système rectangulaire des axes, qui re/ld égaux
276 AXES REGTANGLL. DE SYMÉTRIE, DITS IMPROPREMENT AXES d'ÉLASTICITÉ,
deux à deux, avec signes contraires^ les six coefficients indirects de résistance D' et D, E' et E, F' et F.
Si le corps proposé est homogène, ou que, du moins, celte orientation soit la même dans toutes ses particules, on pourra la choisir pour celle des axes coordonnés. Et les équations (6) du mouvement vibratoire deviendront
Mais admettons que les coefficients D' et D, E' et E, F' et F soient respectivement égaux deux à deux, conformément à Tanalogie fournie par la résistance d'un liquide, et qui paraît bien s'étendre à tous les corps transparents. Les formules (12) montrent d^ailleurs que ces trois égalités auront lieu dans tous les systèmes rectangulaires d^axes, dès qu'on la donnera dans un seul; car il suffit de poser D'=:D, E'=: E, F':= F pour qu'il vienne D\ = D,, Ej = Ej, F', =^ F,. Alors les équations (16) reviendront à annuler D,, E,, Fj ; et le milieu transparent se comportera comme s* il admettait trois plans rectangulaires, ou trois axes rectangulaires, de symétrie de contexture.
Les équations de son mouvement vibratoire seront donc, au lieu de (17),
Divisons-les par {jl; et posons, pour abréger, en appelante, b, c trois quantités positives données, constantes si le milieu est homo> gène,
Il viendra
. . \ d^i ^ , dO 1 d^ri ^ rfO I r^î ^ ^ rfe
('^^ a^dT^^^'^-da;' fci "^T» = ^*^' " 5^^ 7^ df^ = ^'^ ^ di '
DANS l'ÉTDER de TOUT CORPS TRANSPARENT. 277
Italiens aussi simples que possible et entraînant, d'après (8), entre '^^ dérivées premières de Ç, r,, ;, la relation
^ a^ dx b^ dy c» dz
^< Équation des forces TiveSy dans le mouvement vibratoire de l'éther des corps transparents : énergie potentielle de résistance de la matière pondérable* — Quoique nous ne devions pas ici faire usage de Téquation des forces vives, il ne sera pas inutile de former cette équation pour le problème, que nous étudions actuellement, des petits mouvements de Téther au sein des corps transparents.
Prenons les équations du mouvement sous leur forme générale (6) (p. 272), mais en y séparant, au\ premiers membres, les termes dus
aux forces motrices de Téther, savoir p — * " — ^ des autres, qui
expriment les résistances (changées de signe) de la matière pondérable, et en faisant d^ailleurs, dans ceux-ci, D'=:D, E'=: E, F'=F. Puis multiplions ces trois équations, respectivement, par
ai
ajoutons-les et intégrons dans toute une étendue rs quelconque d^éther. En posant^ pour abréger,
nous aurons immédiatement
Le second membre exprime le travail élémentaire des actions élastiques de l'éther, en jeu dans toute Pétendue xs. Quant au premier membre, composé de deux termes de forme analogue, le premier de ces termes est Paccroissement, durant Pinstant ^^, de Pénergie actuelle du mouvement vibratoire de Péther, etle second est, au signe près, le travail élémentaire des résistances de la matière pondérable à ce mouvement. Le sextinome U y a donc sa valeur indépendante du choix des axes.
El, en effet, si Pon introduit, au lieu des coordonnées x^ y^ z, le
278 ÉQUATION DES FORCES VIVES, DANS LE MOUVEMENT VIBRATOIRE LUMINEUX '.
système des a^i, /i, Zi (p. 274) où les déplacements de Téther sont ?,, 7),, Ç,, les vitesses '-r^ — - s'ex.primeronl, dans- (a), en fonction de
^^ -1-, par les formules (10), différentiées en t. Or on voit
alors que le sextmome U devient, en , > un sextinome ana-
al
logue, avec coefficients Aj, Bi, Cj, Dj, E,, F, justement donnés par les formules (12) où l'on ferait D'i=D, E'^^E, F'=:F. L'expression (a) de U a donc bien, en chaque point (x, j^, z) de Téther, même valeur que l'expression correspondante
Cela posé, si Ton oriente, dans chaque particule considérée à part, les déplacements ^|, t^i, Ç|, suivant les axes de symétrie de la particule, qui y annulent D,, E,, Fj, ce sextinome U, deviendra la somme de trois carrés,
essentiellement positive, sauf pour la valeur zéro de la vitesse absolue de Péther, qui l'annule. Donc l'intégrale / - U dm^ figurant au second terme de l'équation (a') des forces vives, est positive; et elle ne se réduit à son minimum zéro que lorsque les trois composantes ' ' —
de la vitesse de l'éther s'annulent à la fois, dans tout l'espace w. Cette intégrale est évidemment, dans la question, une énergie potentielle, un capital de travail, dû à la présence, et à l'action sur l'éther, des molécules pondérables interposées.
Quand toutes les particules du milieu transparent ont les axes de symétrie optique de leur contexture orientés de même, on peut supposer les j?, /, 5 dirigés suivant ces axes; ce qui annule partout D, E, F dans l'expression (a) de U. Le premier membre de (a') se réduit donc à
^ r/^iLPj^ ^^ Litpj ^^ Mipç ^\^^
et Ton peut, fondant ainsi l'intégrale j -V dm avec celle qui exprime
^hgie pot. de résistance des moléc. et énergie élast. de l*éther. 379
^'ïergie actuelle de Félher, la considérer non comme une énergie potentielle, mais comme une demi-force vive supplémentaire, dont elle aurait tout à fait l'expression sans l'inégalité des trois masses fictives, pA, pB, pC par unité de volume, y multipliant les demi-carrés des composantes respectives de la vitesse. 11 est donc plus simple alors de raisonner comme si la matière pondérable n'existait pas, mais que la densité p deTéther du corps eût été portée respectivement à p-hpA, p -hf B, p -h pC dans les trois équations du mouvement : c'est ce que nous avons fait à diverses reprises, et ce qu'un sentiment profond des phénomènes lumineux avait inspiré à Fresnel (du moins en ce qui concerne les corps isotropes) dans sa manière habituelle de concevoir l'éther.
7. Énergie élastique de l'éther : équation définitive des forces vives. — Mais transformons le second membre de (a'), où nous pourrons, sans erreur sensible, rendre continu le champ m de l'intégrale I y en y comprenant les insignifiants volumes des molécules
pondérables interposées. Tâchons d'extraire de ce second membre le travail extérieur d^ey travail élémentaire des pressions exercées par l'éther environnant sur la surface limite o" du volume m; ce qui n'y laissera subsister que le travail des actions élastiques intérieures.
Si l'on appelle p^j py, Pz les composantes de la pression (par unité d'aire) sur l'élément quelconque d<j de la surface, et cos(a, p, -f) les trois cosinus directeurs de la normale tirée vers le dehors à c/a, les formules usuelles de la théorie de Vélaslidté, appliquées à l'éther où s'annule la vitesse de propagation des vibrations longitudinales, donneront
et, d'ailleurs, le travail de ces composantes, étant, sur l'élément ^a, Pxdi.di -^pydi,dr, -\-p:,di.dl = dt i-^^Px-^ It^^'^ ^t^V ^"^ ' vaudra, sur toute la surface limite a,
28o ÉQUATION DES FORCES VIVES DANS LE MOCVEMEMT VIBRATOIRE LLMINECX '.
Transportons-y les valeurs (a'') de pxy Pr, Pz\ et, pour pouvoir extraire du second membre de (a') l'expression de d^ci ou réduire ainsi ce second membre, transformons, dans («"'), chaque terme, qui indique une intégration sur toute la surface j, en une intégrale de volume, par la formule usuelle (applicable à toute fonction continue ç de.r,7, z)
Il suffira de faire successivement, dans celle-ci,
d^/dr, d^\ d\ld\ dr\
^^--''^-dATy-^Tz)^ "^-^TtKTy-^diy ""
En eflfectuant ensuite, sous les signes / > les différentiations des
produits ^ en ;r, j-, z, que suivront des réductions immédiates, et en posant enfin
dr^ df* dz^
Jt \dz dy 1 2 \dx dz / "^Xdy dx) il viendra (3') dite— le second membre de (ol') -h d j [i<P dxn.
Le travail des actions élastiques de Téther intérieures au système, excédent du second membre de («') sur <i(5^, est donc exprimé par
— d f [i^dm, ou égal au décroissement de l'intégrale jiL^dw,
Celle-ci est, dès lors, Vénergie potentielle d'élasticité de Téther. Et, en eflTet, on reconnaît dans la fonction [x* le potentiel d'élasticité de Téther (assimilé à un corps solide).
Ajoutons enfin aux deux membres de Téquation (a') le terme
d I |x*c/Tn, et nous aurons Téquation cherchée des forces vives sous sa forme la plus simple possible :
Klle exprime que l'énergie actuelle de Téther, l'énergie poten-
