STABILITÉ DE L'ÉTUER A L*ÉTAT NATUREL

'^^^ de résistance de la matière pondérable interposée^ enfin

^^ergie potentielle d'élasticité de l'éther^ constituent ensemble,

^'* le mouvement vibratoire, une énergie totale, s'accroissant

cç' ^'nuellement du travail, positif ou négatif, des pressions exer-

^ ^ur Véther considéré par Véther extérieur,

^{Ù Valeur^ toujours positive, de l'énergie élastique de Téther ^^mt. — Les éléments des trois intégrales dont se compose Fénergie VOV^le sont positifs dans tous les corps transparents connus. C'est évident pour la première et cela résulte, pour la seconde, de Tinégalilé U>o démontrée ci-dessus. Quant à la troisième, le facteur* serait, il est vrai, susceptible d'y devenir négatif, à cause de sa dernière partie — 6', si les dérivées partielles premi^ères de 5, f\^ î en Xy r, z pouvaient recevoir des valeurs quelconques. Mais la relation (8) (p. 272), qu'elles vérifieront toujours, comme on a vu, dans les faibles quoique rapides déformations auxquelles nos équations sont applicables, astreint la dilatation cubique 6, du moins dans les milieuv homogènes, à égaler une fonction linéaire, à coefficients très petits (levant Tunité, des six déformations élémentaires

^, ^^ f?, ^^<, -^-h-^, -^4-^. dx dy^ dz^ dz ^^ dy dx dz* dy dx

En effet, tous les corps transparents connus sont assez peu biréfringents (ou optiquement hétérolropes) potir que A, B, C n'y diffèrent guère de leur moyenne et pour que D', E', F', égaux respectivement à D, E, F, y soient petits à côté de A, B, C. Or si l'on substitue, par exemple, à A, B, C leur moyenne, accrue de leurs petits excédents respectifs sur cette moyenne, la somme 6 des trois premières déformalions (y'), figurera seule, dans (8), avec un coefficient notable; et, en isolant 6, on aura bien, pour 6, l'ensemble de six termes respectivement proportionnels aux déformations (y')j ^^vec de faibles coefficients. Ainsi 6 sera toujours petit par rapport à la plus forte des six déformations (y') et, 0*, très petit à côté du carré de cette déformation. Dès lors, dans ( p), le terme négatif — 6* ne fait que réduire l'un des six termes positifs qui précèdent, d'une minime fraction de sa valeur; et la troisième partie de l'énergie totale de l'éther n'est pas moins positive que les deux autres, dans tous les phénomènes auxquels nos équations sont applicables.

Mais cherchons dans quelles limites serait tenue de rester l'hétérotropie des corps transparents (si elle devenait beaucoup plus grande qu'elle n'est), pour laisser ainsi essentiellement positive l'énergie po-

28'2 ÉQUATION DKS FORCES VIVES DANS LE MOUVEMENT LUMINEUX ï

lentielle d'élasticité de Téther vibrant, ou à quelle condition générale doivent satisfaire, dans ce but, les coefficients A, B, ... de résistance de la matière pondérable.

Nous pouvons, considérant à part une particule quelconque du milieu transparent proposé, admettre que Ton ait orienté les a?, y, s suivant ses axes de symétrie optique : alors D, E, F s'annulent, et, A, B, C devenant les trois coefficients principaux de résistance, les coefficients i -h A, i -h B, i -h C des premiers termes de (8) sont entre eux comme les inverses des carrés a', b^, c*, qui figurent dans les précédentes équations (20) de mouvement. Cette condition (8) se trouve ainsi réduite à

... i d^ \ dr^ i dl^

^ ' a^ dx b^ dy c^ dz

Les trois dernières des six déformations (7') n'y paraissent plus et restent entièrement arbitraires. Donc les termes de (P) qui contiennent leurs carrés forment une somçie positive, mais pouvant s'annuler indépendamment des quatre autres termes. Par suite, il faut et il suffit que Tensemble de ceux-ci, savoir

dx^ dy^ dz^ ' \dx dy ^ dzj '

soit essentiellement positif. Si nous y développons le quatrième carré, nouâ aurons ainsi, après avoir divisé par 2, Tinégalité

, ,„ dr, dHi dl d\ d\ dr,

^^ ^ dy dz dz dx dx dy ^ '

OÙ les trois dérivées respectives de Ç,t,, Ç en x^ y, z seront liées par la relation (y''). Pour simplifier l'écriture, divisons (7"') par a^b^c^y et posons ensuite

^^^ a^dx~ ' b^dy~ ' c^ dz '

La relation (y") donnera 7jzzz — X — Y; et Tinégalilé {^'^)-, déjà devenue

YZ ZX XY

prendra la forme