PINCEAU DE LUM. PARALLÈLE, A UNE PREMIÈRE APPROXIMATION
L^égalilé de cette quatrième valeur à son numérateur montre que son dénominateur vaut Punité.
DonCy les trois relations (24) reviennent à poser : i^ d^une part, pour déterminer la vitesse w de propagation des ondes planes suivant leur normale, quand la direction de celle-ci est définie par ses angles a, ^, 7 avec les axes, Téquation
, ^ a*cos*a ô*cos«B c*cos*y
2** d'autre part, pour déterminer ensuite la direction (/', m', /i') des vibrations, c'est-à-dire les rapports mutuels des cosinus directeurs l\ m', n', la double proportion
cosa
cosp
cosY
to»
Remplaçons, dans (27), le quatrième terme, 1, par le trinôme cos'a -h cos*p-t- cos*y; puis réduisons chaque terme de ce trinôme avec le terme correspondant du trinôme qui précède. Et supprimons enfin le facteur commun to* : ce qui revient à négliger dans Téquation en ti>' une racine nulle, correspondant, d'après (28), à une solution où /', m', n' seraient entre eux comme cosa, cosp, cosy, c'est-à-dire à des vibrations normales aux ondes, ou longitudinales. L'équation en a>2 sera, dès lors, celle qu'a obtenue Fresnel,
cos'a cos*3 cos*Y
(«9) ;;;i7r^+tjizri¥ + iiïzr^=°'
et qui, pour chaque direction de la normale aux ondes planes, fournit, comme on sait, deux racines (a* positives.
Seulement, Fresnel a admis, pour la direction (/', m', n') des vibrations, non pas celle que définissent les trois rapports égaux (28), mais sa projection sur le plan des ondes, laquelle aurait des cosinus directeurs /^ m\, n\ donnés par la double proportion
(30) ZL. - ^^ «'.
cosa cosfJ cosy
En eflfet, une même direction (X, jx, v) dans le plan d'une onde, ou vérifiant la condition
(3i) X cosa-+- jicosp 4-v cosY = o,
VITESSE DES ONDES PLANES ET DIRECTION DES TIBRATIONS. SqS
est perpendiculaire soit à (/', m\ n'), soit à (/j, mj, n\ ), et donne, tout à la fois :
(32) — ;A-4-— -Ejx-i--- îv = o,
,,^v cosa . cosp , cosY
11 suffit, pour le reconnaître, d^ajouter terme à terme les relations (3i) et (Sa) : on trouve justement, après suppression d'un facteur commun 0)', la relation (33). D^ailleurs la direction {l\, m\y n\) est bien dans le plan de Ponde ou vérifie la condition
l\ cosa H- m\ 008 p -+- n\ cosy = o ;
caries dénominateurs des rapports (3o), multipliés respectivement par cosa, cos^, cos^ et ajoutés, donnent zéro en vertu de (29).
Donc un même plan, mené suivant une normale aux ondes, contient la vibration rigoureusement transversale supposée par Fresnel et celle que nous obtenons ici.
Observons, en terminant, qu'on aurait eu presque sans calculs Téquation (29) de Fresnel, la plus importante peut-être de la théorie actuelle, si Ton avait porté les valeurs (23) de Ç, t;, Ç dans la relation capitale (20 bis) (p. 277) qu'impliquent les équations (20) du mouvement. Cette relation, en effet, par la suppression du facteur — 8', serait devenue
c'est-à-dire
/'cosa m'cosS /l'cosY
1 El -i L -= I
Si—^—Si-^'''
et l'égalité des rapports (28), en permettant d'y remplacer /', m', n' par les dénominateurs de ces rapports, l'aurait changée de suite eD(29)(*).
(*) Lois générales des ondes planes latéralement illimitées. — Dans un cours détaillé sur la théorie mécanique de la lumière, la question des ondes planes, d'amplitude uniforme sur toute l'étendue indéfinie de leurs plans, mériterait d'être étudiée à part, ou indépendamment de l'application approchée qu'on en fait ici aux pinceaux lumineux limités latéralement.
Pour y fixer les idées ou concevoir le plus simplement possible la génération de ces ondes, on supposera coupé, suivant un plan quelconque passant par l'origine, le milieu transparent donné, homogène, mais hétérotrope. Alors, ayant
294 ONDES PLAISES INDÉFINIES, DANS l'ÉTHER d'uN CORPS HOMOGÈNE :
15. Surface courbe dite « onde de Fresnel » : ses rapports avec le plan de Tonde et avec la direction des vibrations. — Construisons une surface, tangente, quelle que soit Torientation de nos plans
enlevé sa matière située d'un côté de ce plan, on tirera à partir de l'origine, vers l'intérieur de la matière restante, la perpendiculaire au plan limite, perpendiculaire dont nous appellerons a, p, 7 les angles avec les x^ y^ z positifs, et p la longueur, a? cosa H-y cosp -f- ^ cosy, jusqu'à la rencontre du plan mené, par un point quelconque {x, y, z), parallèlement au plan limite. Enfin, imaginant d'abord en repos toutes les couches de Téther du corps, depuis une distance p (au plan limite) nulle, jusqu'à une distance/? infinie, on fera du plan limite, à partir de l'époque ^ = 0, une région d'ébranlement, soumise à des déplacements \j T„ 2^ communs, mais, d'ailleurs, fonctions arbitraires du temps t. Ce seront, par exemple, les déplacements qu'imprimeront à la couche superficielle p = o^en l'atteignant, soit des ondes planes extérieures, de même direction qu'elle, soit les chocs, perpendiculaires ou obliques, d'une masse étrangère contiguë, animée de petites translations en sens divers, soit encore les transformations chimiques d'une matière recouvrant la superficie, supposées se faire pareillement sur tout le plan, etc.
Comme tous les points {x, y, z) d'une couche quelconque de l'éther du corps, définie par sa distance primitive /? à la surface, se trouvent alors dans les mêmes conditions, sous les rapports tant de la constitution du milieu et de sa surface, que des ébranlements donnés, les mêmes déplacements s'y produiront; de sorte que X, fil Ç seront fonctions seulement de t et de/?. Or la variable/? peut être, si
l'on veut, remplacée par une autre proportionnelle, <<,= -> expression de la distance p mesurée au moyen d'une unité de longueur spéciale, (i>, dont on disposera de manière à simplifier le plus possible les formules ultérieures. Ainsi,
appelant /, m, n les trois quotients if^2 LLli, Pon aura des déplacements \,
7^, Ç fonctions seulement du temps t et de Vabscisse t^^ Ix -\- my-^nz; ce qui donnera, comme formules symboliques de difTérentiation en x, y, z et comme expression analogue du paramètre différentiel Aj,
Enfin, on réduira le phénomène à des mouvements aussi simples que possible, en se demandant s'il n'existerait pas, pour les déplacements (^,10, C) de la surface, certaines directions, à cosinus directeurs appelés ici (/', m', /i'), qui, convenablement déterminées en fonction de la direction même des ondes et de la contexture du milieu, auraient le privilège de se conserver à l'intérieur, ou de donner, dans tout le corps transparent, des vibrations rectilignes, polarisées suivant une orientation commune. Car, s'il y avait trois directions ainsi privilégiées, une décomposition, suivant ces trois directions, et par la règle du parallélépipède des forces, des vibrations superficielles effectives, données à chaque époque tj permettrait de réduire le mouvement, même dans l'intérieur, à des systèmes d'ondes planes constituées par ces vibrations polarisées rectilignement,
^'t'H DECOMPOSITION BM DEUX SYSTÈMES, A VIBRATIONS RECTILIGNES. 296
^oode, à Tonde partie de Torigine depuis Tunité de temps ou qui a PoiT équation /o='> c'est-à-dire
^^^) Ix -^ my -^ nz ~ \,
^0 la forme linéaire des équations du mouvement cl la possibilité de superposer
'eu« intégrales particulières.
Doue, appelant 8, en {x^y^ 5), le déplacement rectiligne (positif ou négatif) à P^ÎUe £, dans un de ces sysièmes d'ondes, on aura la triple formule
*^sulie en particulier, pour la dilatation cubique 6, l'expression
rf5
(//'h- mm'-^ /in')- 5003 ^^^"ois équations aux dérivées partielles du mouvement, qu'on peut écrire,
Us
^^''ïie condensée,
^evi«(*i^cnt alors la formule triple
revenant à
(PB {P-h m}-hn^){l',m',n') — (/, m, n){ll'-^ mm' -^ nn') d^B de* ~ 77 m' n' \ dtî '
Or les trois rapports, dès lors égaux (comme exprimant celui des deux dérivées secondes directes de 6),
{P-{- m'^-h rP) l'— l{ll'-\^ mm'-h nn') 1 '
(P-+- mM- n-) m'— m{lV -^ mm' -h nn')
{P-h m'-f n^)n'— n{W-{- mm' -^ nn') ,
donnent, multipliés haut et bas par /', m', n' et ajoutés terme à terme, le nouveau rapport égal
(/^-f-m^H-n^) {V^-h m'^-h n'^) — {ll'-h mm'-^ nn')^ a} "^ h" '^' c^
296 ONDES PLANES INDÉFINIES, DANS l'ÉTBBR DES CORPS HOMOGÈNES :
Celte surface courbe sera Tenveloppe du plan (34), rendu mobile par la variation de /, m, n.
Le point (:r, j, 5) commun à l'enveloppe et à l'enveloppée (84)
identique à
( mn'—nm' Y -e ( nV—ln'f-^ ( Im' — ml'y
et essentiellement positif.
D^ailleurs, les trois mômes rapports, à numérateurs homogènes en /, m, a, varient en raison inverse de u)^ quand u) change; et on les rend le plus simples possible en prenant la constante positive ta telle qu'elle fasse égale à i leur valeur positive commune.
On aura donc, pour déterminer tù et les rapports mutuels de l\ m', n\ les trois équations
/ =fn-^m'-+'n^-^^^ =11'-
De plus, l'équation aux dérivées partielles en 8, ainsi réduite au maximum de simplicité, est
dt^ dtl = °»
c'est-à-dire
d'^ dt
si l'on pose, pour un instant,
dl do ~ dt^ dl'
II en résulte immédiatement pour 9 une expression delà forme F(/ + /g), avec la condition F(<-+- ^<,) = o de repos pour t négatif quelconque, quelle que soit la valeur positive de l'abscisse t^, La fonction F est donc nulle identiquement; d'où il suit que 9 = 0. Or, alors, l'équation (c) donne
avec / fonction arbitraire, sauf pour les valeurs négatives de sa variable, qui l'annulent à raison encore de l'état primitif de repos. Cette formule montre
que t^y c'est-à-dire -, exprime le retard éprouvé par chaque déplacement, f{t)y (1)
de la surface /? = o, à se produire dans la couche de profondeur />, ou le temps employé par ce déplacement à se propager jusqu'à la profondeur/? sous la surface. Et, par suite, o) est la célérité ou vitesse de propagation des ondes, sui^ vant le sens normal à leur plan.
Il reste à déduire des équations {b) cette vitesse, ainsi que l'orientation (/', m', n') de la vibration. Les équations (6), où /, m, n désignent les trois
liVU DtCOMPOSITION EN DEUX SYSTÈMES, A VIBRATIONS RECTILIGNES. 297
vérifiera, comme on sait, Téquation aux différentielles totales
(35) X dl-\- ydm-\- zdn=^ o^
où, /, /n, n satisfaisant à Véquation que donne l'élimination des rap-
gootien ts ^^ ^* » revieDnent à poser
(«) -^ = Tï S =- -^ = /'cosa -^-m'cosp^-n'co8•J'•
a'cosa o'cosp c^ cos y
On tient compte du quatrième membre de cette triple relation, en l'égalant au rapport qui résulte des trois premiers, multipliés haut et bas, respectivement, Pï" ^os(œ, P, T) ®^ ajoutés terme à terme. Il vient ainsi, pour déterminera)*, rèquatioo (27) du texte (p. 292), donnant, d'une part, comme on a vu, la wcine w» __ Q^ qui correspond à des vibrations longitudinales (perpendiculaires ''" plan des ondes), et, d'autre part, les deux racines, w'*, w"', de Téqualion (ag).
^Hes-ci sont réelles, positives et comprises, l'une, entre b^ et a*, l'autre, entre ®^ c^, si Ton a, par exemple, dénommé les axes de manière à avoir a'>6'>c*. ^ effet, l'équation ( 29 ) peut s'écrire
((^2— ô2)(w»— c')cos*a-h(ù>2 — c*)(ù>'— a*)cos*p
-H (ù)*— à^) (w* — ô*) cos'y = o.
on ' -^^ ^'®" appelle F(w*) le premier membre, polynôme du second degré en w*,
^^'^ que F (a*), F (6*), F(c*) sont simplement
^*)(a'— c*)cos»a, (6^»— c*)(ô*— 0^)008*?, (c^—a*) (c'— ô*)cos2r,
tV^XlX \es signes respectifs -+-, ~ et -+-. Donc les deux racines, w'', (l>''^ de l'équa-
vvCSU ^^9^ ®" *'**' ^^"^^ ^'®° réelles, positives et comprises, entre a' et c^ de part
^^ d'autre de 6'.
I^es formules (3o) du texte donnent, pour la trace, dans le plan des ondes, des
deux plans respectifs des vibrations correspondantes, ou plans menés suivant ces
vibrations normalement aux ondes, des cosinus directeurs l\jm\y n\ proportion-
cos % cos 3 cos Y nels à —1 r> —z — T7> -^ — ^; et l'on reconnaît aisément que ces plans de vi-
bration se trouvent, dans les deux systèmes, matuellement perpendiculaires, ou que l'on a la formule de rectangularité
cos a cosa ^ cos? cosp ^ cos y cos y __
Il suffit, pour le voir, de retrancher terme à terme. Tune de l'autre, les deux
égalités
cos' a cos^p cos* Y __
tù'^ — a» "^ w'* — 6' "^ w'* — c* ~ *^'
cos* g cos*p cos* Y
