PAR UN MÊME POINT ! ONDE COURBE DE FRESNEL. Q

Substituons k l, m, n les cosinus directeurs proportionnels cosa, cosp) cosy; et, d'ailleurs, appelons e Tangle (ordinairement très petit) de la vibration avec le plan de Ponde, de manière à poser

(39) /' cosa-i- m'cDsp H- /l'cosY = sinE.

Il viendra, sous sa forme la plus simple possible, la relation cherchée en dlf dm, dn :

(40) (cosa — rsini)dl-¥- (cosp — m' sïnt) dm -h (ces y — n'sini)dn = o.

Sa comparaison à (35) montre, vu Tindépendance du rapport de deux des différentielles dl, dm, dn, que Ton doit avoir la multiple proportion

cosa — /'sine cos^ — /n'sine cosy — /l'sine cos'e

le quatrième rapport égal résultant, vu (34), (21) et (39), de Taddition (terme à terme) des trois premiers, respectivement multipliés, haut el bas, par cosa, cos^, cosy-

Ces équations feront connaître les coordonnées extrêmes, jt,/, z, de la droite r=: y/oCM-jM-s* joignant Torigine au point (a?,^^', 5) de contact du plan d^onde (34) avec son enveloppe; et elles permettront de construire celle-ci par points. La droite r sera évidemment un rayon de l'enveloppe, en attendant que nous y reconnaissions l'axe même de notre rayon lumineux.

Si Ton appelle de nouveau X, (x, v les cosinus directeurs de la droite du plan de Tonde qui est perpendiculaire à la vibration, ou qui donne, tout à la fois,

(4^) X cosa -h fjicosp H- V cosY = o, X/'-i- [Jim'-+- v/i'= o,

les trois premiers rapports égaux (40» ajoutés terme à terme après multiplication de leurs termes respectifs par X, fx, v, donneront aussi

(43) X ar -i- [Ji j^ -h V 5 = G ;

et il j aura également perpendicularité du rayon à la même droite du plan d'onde. C'est dire que les deux projections, sur le plan de l'onde, du rayon et de la vibration ne sont qu'une seule et même droite, savoir, celle suivant laquelle se ferait la vibration d'après Fresnel.

Les trois premiers rapports égaux (4i), ajoutés après avoir été multipliés haut et bas par /', m', n', donnent encore, vu (39),