ENVELOPPE DES ONDES PLANES, DE SENS DIVERS, PASSÉES SIMULTANÉMENT

Donc, la direction des vibrations est celle que supposait Fresnei, déviée seulement du petit angle t et rendue ainsi perpendiculaire au rayon, dans le plan qu'elle détermine avec celui-ci et avec la normale à l'onde (*).

Par^suite, Tangle e de la direction vraie de la vibration et de celle que lui attribue Fresnel est Tégal ou le supplémentaire de Tangle que font, dans son plan, les deux perpendiculaires respectives à ses côtés, émanées de Porigine, savoir, le rayon r, et la normale

(45) ti) = a:cosaH-/cosp -f--3 cosY

au plan de Tonde. Or, dans le triangle rectangle dont ces deux droites r, (o sont deux côtés, Pangle compris a pour cosinus - 9 et le carré de son sinus, c^esl-à-dire sin*e, a, par suite, la formule

(46) (l'cosoL ■+■ m'cosp -i-n'cosY)*= sin'e = ^ — •

16. Équation de l'onde de FresneL — Cela posé, il est aisé d^éliminer non seulement /', m', n', mais aussi cosa, cosp, cos^ et a>, entre les formules précédentes, de manière à obtenir simplement en X, y, z Téquation de l'enveloppe des plans d'onde (34) ou (45). Comme les trois rapports (26) (p. 291) expriment sine, leur égalité à sine donne

et ces valeurs de /', m'y /i', portées dans la triple proportion (4i)» donnent à leur tour, en égalant chacun des trois premiers rapports au

quatrième, après substitution de ^ — à sin*e et de -r à cos*e:

y __ a>cosp z __ tocosY

r* — a* 0)* — a* r'-— 6* w* — 6* r* — c* co* — c* Multiplions celles-ci par œ^ y, z et ajoutons. Il vient

, , . 3^* V* z^ /rpcosa y ces 3 ^cosy\

(') M. Sarrau parait avoir remarqué le premier {Journal de McUhématiques pures et appliquées, t. XIII, p. gS; 1868) que la vibration se fait normalement au rayon, quand les équations du mouvement ont la forme (ao).

PAR UN MfiMB POINT : ONDE COURBE DE FRBSNBL. 3oi

Mais les équations (48), résolues par rapport à a:, j, z, deviennent, identiquement :

I, . . cosa a?= (i> cosa -H to(r' — to») — -, o / • «x cosii \--/ y = (ocosÛH- tofr* — a>')— : — -m 1 ^ w* — 6*

/ • «v ces Y

(li*— c*

rv „ . - . ,., . , a>cosa tocosB

Or celles-ciy multipliées respectivement par — ^^y -^ ^

; et ajoutées, donnent, vu (29),

0)* — a* (o* — 6*' wcosy

I /xcosa ^cos3 -scos-fX

Au contraire, élevées simplement au carré et ajoutées, elles donnent, vu toujours (29), et en retranchant <i>^ des deux membres du résultat, pour diviser finalement par r* — to*,

'^.) . = -<-- -. [{^^y* (j^êii)'- m:)'}

La comparaison des équations (3i) et (52) montre immédiatement que le second membre de (49) vaut Tunité; fen sorte que cette relation (49) devient Téquation cherchée de Tenveloppe :

On y reconnaît bien l'équation de Vonde courbe de Fresnely fournissant, par ses plans tangents, toutes les ondes planes parties de Torigine depuis une unité de temps.

17. Deuxième approximation du calcul d'un pinceau de lumière parallèle : éléments qu'on peut y supposer constants. — Nous avons supposé jusqu'ici non seulement planes et parallèles les surfaces d'onde, et constante Torientation des vibrations, mais, aussi, fonctions seulement de / — ^o> ou plutôt de t — Ix — m y — nz, les déplacements (, T^, 2^. Il est temps de tenir compte de la lente variation de ceux-ci aux divers points d'une même onde censée suivie dans sa pro-