ÉTUDE, A UNE DEUXIÈME APPROXIMATION
pagalion, c'est-à-dire de leur variation avec x^y, z, quand t croît ou non, mais que la différence l — ix — my-^nz se maintient constante. Notre première surface d'onde, sur laquelle ^0 = 0, sera prise sensiblement plane, dans une étendue beaucoup plus grande en tous sens que celle où les déplacements ^, 7), ^ qui s*y produisent sont uniformes, savoir, dans toute l'étendue transversale du pinceau : c'est justement ce qui distinguera notre pinceau parallèle d'un pinceau divergent, ou que l'on considérerait à une distance médiocre de la source lumineuse. Comme l'approximation précédente, applicable dans toute petite étendue à partir de cette première surface d'onde, déterminera dès lors une vitesse w de propagation et une direction approchée (/', m', n') des vibrations communes à tout l'espace contigu, quelque grand qu'il soit dans les sens latéraux, les surfaces d'onde ^o=const. voisines, et, de proche en proche, même celles qui seront éloignées, se trouveront équidistantes les unes des autres et de la première, à des écarts relatifs près très petits partout, et constitueront, par conséquent, une famille de plans parallèles. Bref, ^0 admettra, sauf erreur négligeable, dans tout le pinceau lumineux, l'expression
linéaire
t^=z la: -h my -h nz;
et, partout aussi, les vibrations seront sensiblement polarisées suivant la direction fixe correspondante (/', m', n').
Mais rien n'y astreint Véhngation S à rester comprise entre des limites assignées, quelles qu'elles soient.
18. Éléments qui seront variables à cette deuxième approximation : manière d'y opérer. — Les ondes étant, ainsi, presque planes et parallèles, ou, en d'autres termes, cosa, cos^, cos^, «0, /, /n, n, ayant des valeurs yw:^^, que l'on se représentera comme données en conformité des équations précédentes (21) et (29), nous pourrons toujours, évidemment, faire dépendre les fonctions de ^, a?, y et 5, comme sont $, 7), Ç, . . . , de la variable t — /jc — my — /i«, que nous appellerons la variable principale; et, en outre, de Xy y^ z. Nous continuerons à exprimer avec l'aide d'accents leurs dérivées par rapport à la première variable, qui s'écriront $', Ç", . . . , r/, . . . , tandis que nous indiquerons par des dde ronde les différentiations en j?,/, z effectuées sans /aire changer cette première variable l — Ix — my — nz. Les dérivées
partielles ainsi obtenues s'écriront donc -t--> -r— ^, • •• Il résulte de
nos hypothèses touchant la lenteur de variation de $, tq, Ç, ... sur une même onde, que celles-ci seront beaucoup plus petites, pour
D*UN PINGRAU DE LUMIÈRE PARALLÈLE. 3o3
chaque quantité, que la dérivée du même ordre (divisée par to) de cette quantité par rapport à t.
Observons d^ailleurs que la partie principale, seule sensible, du déplacement effectif sera, d'après les résultats précédents, sa composante positive ou négative 8 suivant la direction fixe et censée connue (/', m\ n')] de telle sorte que, si 8 désigne ainsi le trinôme
les différences î — /'S, tj — m' 8, î — /i'8 seront de très petites quantités <p, 5^, ^y représentant ensemble un minime déplacement, correctifen quelque sorte, et normal à la direction (/', m', n'). Nous aurons donc
où 8 sera le seul déplacement sensible, et ©, 5^, ^ de très petites fonctions, astreintes à donner
Celles-ci, cp, ^, 4^, varieront beaucoup plus rapidement avec leur première variable t — la: — my — nz qu'avec les autres, a?, /, ^. Car les imperceptibles quantités <p, -^^ ^, nulles avant le moment ^ = ^^ où la première onde arrive en (a?, /, «), c'est-à-dire tant que 8 y reste égal à zéro, naissent avec ce déplacement principal 8, puis grandissent et, finalement, disparaissent à peu près avec lui. L'on n'associe, en effet, à 8 ces petites quantités, dont deux restent arbitraires malgré (55), que pour pouvoir disposer d'elles, de manière, tout en satisfaisant aux équations (20) du mouvement (p. 276), à se donner 8 lentement variable à volonté d'un point à l'autre d'une première surface d'onde, et même nul en dehors d'une aire assez ample, de figure quelconque, sur cette surface.
11 suit de là qu'en dilTérentiant (, t., ^ une ou deux fois en œ, y, z^ pour substituer dans (20) les dérivées ainsi obtenues, on pourra se borner à faire varier t — Ix — m'y — nz dans ^, x> ^i tandis que, pour la quantité beaucoup plus grande 8, il faudra aussi y tenir compte
des dérivées -r— > -r-y -r- les moins faibles, qui seront celles où ne dx dy dz ^
figurera qu'une différentiation par d en x^ y ou z. Car des dérivées,
très petites à raison delalenteurdevariationdela fonction difTérentiée,
ne varient, elles-mêmes, de quantités comparables à leurs valeurs,
avec les variables dont elles dépendent ainsi très peu, que le long de
3o4 ÉTUDE d'un PING£AU DE LUMIÈRE PARALLÈLE : CORRÉLATION
grands parcours; en sorte que leurs dérivées successives relatives à ces variables sont d^ordres de petitesse de plus en plus élevés.
Nous aurons donc, par exemple : i** pour les dérivées de Ç, ou de /'S-^<p,
dx
=^lH'l'-^li^'-ill'
2® pour la dilatation cubique -^ — \- -z — H -7-> et pour sa dérivée
en X.
e = — ( ll'-\- mm'-^ nn') l'
^ = \-(ll'-^mm'-^nn')^''—{ltf-^mx'-^nY)
19. Direction du rayon lumineux. — Les premiers membres des équations (20) (p. 276) étant d^ailleurs
il sera facile de voir ce que deviennent ces équations. La première, par exemple, après qu'on en aura supprimé les termes en 8' à raison de Téquation (24) correspondante, sera, si Ton isole dans un membre les termes où figurent les petites fonctions ^^ , /^, Y y
Pour pouvoir intégrer deux fois immédiatement sur place, ou par rapport à £, cette équation et les deux autres ses analogues, il suffît d'y introduire au lieu du déplacement sensible 8, fonction de t — Ix — my — nz et de x^y^ z^ son intégrale ou fonction primitive par rapport à sa variable principale t — Ix — my — nz, intégrale
ENTRE LES PLANS DE SES ONDES ET LA DIRECTION DE SON AXE. 3o5
complètement déterminée si on la fait nulle initialement, c'est-à-dire pour f < Ix -h my 4- nz. Soit alors F sa valeur, fonction, comme 8, rapidement variable de t — lx — my — nz, mais lentement variable de j?, y, 5, et qui, comme 8, commencera à différer de zéro, en(j:,/, c), pour
t — Ix -¥- my ■+- nz.
Dans (58), 0 pourra être remplacé par F', ou 0' par F"; et Féquation, multipliée deux fois successivement par dt^ puis inlégrée chaque fois sur place, à partir de Tinstant t^z Ix -^ my -^ nz où ses termes cessent d'être nuls, deviendra, en y substituant d'ailleurs à
sa valeur tirée de la première relation (^4) (p. 291), puis à /, /?«, n leurs expressions (21) (p. 290) et enfin sine à /'cosa H-m'cos^ -h n' cos^:
cosa Isins r. . 1 —p-^ — '? (^osoL -f- ^ cosp H- ^ cos*;)
' *(j ) ' = 2 / -— cos a -J — — ces p -H -r— ces v )
'^ I \t^jr dy ^ dz ' /
/„dF ,dF ,d?\
' " ' cosa — sine.
ôr
Cette relation subsisterait si, au lieu de considérer, en {x, /, 5), des ondes qui y sont propagées d'ailleurs, ou des mouvements ayant succédé au repos, on étudiait une agitation perpétuelle où les déplacements Ç,T^, Cet, par suite, leurs dérivées auraient, en chaque point, valeurs moyennes nulles; car, pourvu qu'on déterminât alors F, dans sa partie indépendante de /, de manière à annuler sa valeur moyenne au point (j:, /, ^), les intégrations par rapport à / n'introduiraient aucune arbitraire, d'après les considérations déjà rappelées qui, dans la note des pages 48 à 52 (t. 1) ont permis (p. 52) de déduire la rela-
lion 6 =: o de l'équation —r-^ := o, quand il s'agissait des mouvements
lumineux ou calorifiques de l'éther libre.
Cela posé, multiplions l'équation (59) et les deu\ autres analogues, respectivement, par /', m', n', puis ajoutons. Il vient, en divisant par 2,
OF dF ôF
{60) o = (cosa — l's'int)- — h (cos S — m'sine) h (cosy — n'sins)— -•
^ dx ^ dy ' ^ dz
Les coefficients des dérivées partielles de F, au second membre, B. — II. 20
3o6 PINCEAU DE LUMIÈRE PARALLÈLE *. SA DIRECTION
sont entre eux, d'après (4») (p. 299), comme les cosinus directeurs du rayon r, ou comme les accroissements de ^, ^', z le long d'un chemin parallèle à ce rayon. L'équation (60) exprime donc que la différentielle totale, (^F, de F le long d'un tel chemin, obtenue sans faire varier
/ — Ix — my — nzj
c'est-à-dire en y suivant une onde dans sa propagation, est nulle, ou, plus exactement (puisque nos calculs ne sont qu'approchés), qu'elle y est incomparablement plus petite que dans les autres directions.
C'est dire, évidemment, que le sens sui\*ant lequel le mouvement de ronde plane se propage sans variation sensible est le sens même du rayon, r, aboutissant au point de contact de cetfe onde avec l'enveloppe de toutes celles qui seraient parties en même temps qu'elle de l'origine, mais dans d'autres directions. Bref, c'est le rayon r de la surface d'onde courbe (53) (p. Soi) qui constitue le rayon lumineujr, ou l'axe du pinceau considéré de lumière parallèle.
20. Sa délimitation latérale dans les deux sens. — Adoptons, sur chaque onde suivie dans son mouvement, deux axes rectangulaires des s et des 5|, comptés à partir du point où l'axe r perce l'onde, le premier, suivant le sens (X, jx, v) normal à la vibration, le second suivant la direction (/', , m\y n\) qu'aurait la vibration, d'après Fresnel, dans le plan de l'onde. Les cosinus directeurs de celle-ci sont entre eux,
vu (28) et (3o) (p. 292), conrime — ,> ~rt"' — i ' ou, identiquement, comme
„ w* — a* „ , tû^—b^ , , w*— c' ,
c'esl-à-dire encore, d'après (f\y) (p. 3oo), dans les mêmes rapports que les trois quantités
(61) /' — sinecosa, m' — sinecosp, n' — sinscosY.
Si l'on divise ces dernières par la racine carrée, cose, de la somme de leurs carrés, prise avec le signe plus (vu le choix naturel d'une valeur positive pour le cosinus /'/', -+- m'm\ -h n' n\)y on voit que ces trois cosinus directeurs seront
•sinecosa , m'— sinecosS , /i' — sinecosY
La dérivée -p égale la somme des trois produits respectifs des dé-
