COS

dsi

A^Vec ses deux analogues, dont une seule est distincte à cause de la (oodition de compatibilité (60), qui fait de Tune des trois équations ^ge résultante linéaire des autres, on aura bien deux équations du prefliier degré en <p, /, <|^, pour déterminer, par leur adjonction à Téquation également du premier degré (55) (p. 3o3), ces trois petites quantités corrcctives ^, x»^'' On voit qu'elles seront fonctions linéaires des

ôF

dérivées -y et du même ordre qu'elles, ou, en définitive,

â(Xyy,z) 1 > >

aussi petites qu'on le voudra, pourvu que la fonction F, mesure, en

quelque sorte, de l'amplitude dés mouvements, varie assez lentement

d'un point à l'autre d'une même onde. Et l'on aura, d'après (54), pour

exprimer les déplacements ?, t), Ç en fonction des dérivées premières

de F, c'est-à-dire de ses modes de variation rapides ou lents, lés for-

3o8 LUMIÈRE PARALLÈLE : LÉGÈRE INCURYATIO?( DBS TRAJECTOIRES,

mules

(66) $ = /'F'-hç, r, = /n'F'-f-x, Ç = /i'F'-hO/.

Notre analyse approchée, supposant (p, 5^, ^ très petits à côté de 5, tomberait en défaut au moment et dans la région où, par exemple, le repos primitif se rétablirait par une annulation définitive de 8, c'està-dire par des valeurs de F désormais indépendantes de t, sans que

les dérivées -rr 9 dès lors invariables aussi, fussent elles-mêmes

nulles. Les petits déplacements résiduels «p, 7, ^, fonctions linéaires de ces dérivées et admissibles l'instant d'avant (où ils étaient encore petits par rapport à 8 et devaient cependant commencer à varier peu avec t), s'évanouiraient sans doute avec la lenteur relative que semble indiquer leur invariabilité dans nos formules, mais qui échappe à nos calculs de seconde approximation.

Au reste, un tel cas ne se présentera pas si le mouvement a été purement oscillatoire, c'est-à-dire si le déplacement 8 a eu partout des valeurs indifféremment positives et négatives, nulles en moyenne. Car cette hypothèse donne à la fonction F, c'est-à-dire à l'intégrale

prise sur place, la valeur finale zéro et, par suite, la même valeur

dF finale zéro aux dérivées -^^ t> ainsi qu'à 9, y» '}' (M-

(') On reconnaît la lenteur avec laquelle disparaissent les déplacements résiduels 9, Xj ^ et. en même temps, leur peu d'importance physique, en imaginant une prolongation du phénomène, sur la première surface d'onde et, par suite, sur toutes les autres, par la production, avant annulation définitive, de petites valeurs de ô, de signe convenable, maintenues assez longtemps pour réduire partout à zéro la valeur finale de / 5 dt^ c'est-à-dire de F. Alors nos formules

approchées de <p, x» 't' ^^ cessent pas d'être applicables, et elles font annuler définitivement 9, X» 'i' ^" môme temps que 8. Il n'y a eu cependant, de la sorte, aucune modification notable introduite dans le phénomène; car on n'y a ajouté que des déplacements 8 imperceptibles, se faisant avec des vitesses encore plus inappréciables, sans déploiement sensible d'énergie, c'est-à-dire quelque chose comme cette faible agitation de l'eau qui subsiste un instant dans un canal après le passage d'une grosse intumescence.

Ainsi, quelles que soient les vraies valeurs notables de 6, arbitrairement données sur la première surface d'onde, les mouvements sensibles produits dans le pinceau de lumière seront exprimés par les formules précédentes; et, seuls,