LUMIÈRE PARALLÈLE : LÉGÈRE INCURVATION DES TRAJECTOIRES

présente étude, ne fait, comme Téquation (29) en o), également la plus capitale de Tétude précédente de première approximation, que traduire Timportante relation (20 6/5) (p. 277). Vu la valeur (56)

de -1— et les expressions analogues de -7- et de -t:> cetle relation {20 bis) donne, en effet, si Ton se rappelle Téquation (33 6«) (p. 293) déjà obtenue de mênae, et en intégrant d^ailleurs une fois, sur place, par rapport à t, après multiplication par 10 dt et substitution de F' à 8 :

/^«v «pcosa YcosS tLcosY / 1' dF m' d¥ n' dF\

^ ' a^ b^ c* \a* dx b* dy c* dz j

Remplaçons, dans cette formule, a', ^*, c*, que contiennent tous

les dénominateurs, par les quantités, proportionnelles diaprés (28)

/' m' n' et (3o), -7-> — r> — rî et nous aurons bien (67) (* ).

( ^ ) Cas particulier d'un pinceau de lumière parallèle dans un corps isotrope. — Dans ua Cours détaillé, la propagation dVn pinceau de lumière parallèle, à l'intérieur d'un corps transparent isotropCt devrait être traitée séparément et en premier lieu; car elle fournirait l'exemple le plus simple possible de notre méthode d'intégration par approximations successives. Les équations du mouvement de l'éther y étant, à raison de l'annulation de la dilatation cubique 0,

— = «o^AjCÇ, i\, Ç),

avec b> constant, on y dirigerait, par exemple, les x positifs normalement aux plans d'onde,' suivant le sens de la transmission du mouvement, de manière à

ce dt

avoir, dans la variable principale, /j= — , et, par suite, -r- — ^-^ = 0. Cela réduirait les six dérivées secondes ,-,— '-r-vr à 7-r-T— r-,^» quantités du deuxième

ordre au moins de petitesse et négligeables au degré d'approximation poursuivi dans nos calculs. Les équations du mouvement, ainsi devenues

dt' ~ dx" '

seraient, en x et ^, celle do la corde vibrante; d'où résulterait, même sans avoir besoin d'intégrer, une propagation du mouvement, suivant tout chemin parallèle aux X ou rendant y ti z constants, indépendante des circonstances produites ailleurs que sur ce chemin, c'est-à-dire la même que si les déplacements Ç, r^, ^ étaient, dans toute l'étendue de chaque plan d'onde, ce qu'ils sont sur ce chemin, ou ne dépendaient pas de y et z. Ainsi, la transmission du mouvement et l'orientation du pinceau de lumière suivant le$ normales au premier plan d^onde, dans un milieu isotrope homogène f peuvent s'établir presque sans calcul, intuitivement.

Quant à la circonstance qui rend alors la composante longitudinale \ des dépla-

ISIPOSÉR PAR LA DÉLIMITATION LATÉRALE DES RAYOKS. 3ll

Enfiiif la dernière combinaison linéaire à former de Téquation (65)

el de ses deux analogues, celle qui doit introduire la seconde dérivée

, . ÔF

partielle dislincle, -r-? de Fsur unemêmeonde, s^obtient en ajoutant

ces trois équations, respectivement multipliées par les cosinus directeurs X, ji, V du chemin ds^ perpendiculaire, tout à la fois, à la direction {l'y m', n') de la vibration et à celle (cosa, cosp, cosy) de la normale à Tonde. Il vient tout de suite

pins /X cosa ucosB vcosy.X dV .

(Oç)) ( — - — o -H i- — r^YH p-^^l = --sine.

w \ / ' m ^ n ^ J as

Cette équation, la troisième, qu^ii faudra joindre, comme on voit, à (55) el à (67) pour déterminer <p, 7, <};, se trouve identiquement vérifiée quand sinenzo, c'est-à-dire, notamment, dans les corps isotropes. Donc, dans les corps isotropes et même dans les autres, quand les plans d'onde contiennent la vibration principale ou sensible 0, le lent changement de l*amplitude des mouvements d'un point à l'autre d*une même onde, suivant le sens normal aux vibrations, n'implique aucun déplacement correctif {o^ y, ^), qui soit comparable au petit déplacement longitudinal, cp cosa -h / cos^ -}- ^ cosy, exprimé à très peu prés par (67), et que nécessite l* autre lente variation analogue de ramplitude, celle qui a lieu dans le sens même de la vibra Lion y ou des 5i.

r\ \ » 1 I !• • //^ V sine

yuand sine n est pas nul. on peut diviser (69) par ; et cette

céments très peLiic à côté de t^, Ç, elle tient à ce que, dans Téqualion 6 = o, les

deux termes -7- » -7- se réduisent à — -» ^» tandis que le terme 3— a pour dy dz dy dz ^ dx ^

partie principale — -/^', c'est-à-dire — -• Si donc, supposant, par exemple, recti-

ligne la composante transversale du mouvement, on choisit les y suivant son

sens, on aura tj = S, ÎJ ~ o, et aussi» par définition, ^ = 1 ^dt. Alors Téqua-

5' âF' âF'

tion 6 = 0 devient — -h -:— =0, ou l' dt =: ui .— dt , et, en intégrant sur (ù ôy dy °

placcy à partir de Tépoque / -- /„, où F et Ç étaient nuls,

C'est bien ce à quoi se réduit la formule (67), devenue celle de la petite composante longitudinale du mouvement; car dy se confond ici avec dsi»

3ia LUMIÈRE PARALLÈLE : LÉGÈRE INCURVATION DES TRAJECTOIRES,

relation devient

Xcosa ixcosS vco^iv OF

/ * m '^ /i • as

Les deux équations (70) et (67) signifient évidemment que l'e\is-

dF dF tence des petites dérivées -r- et -r— de la fonction F fait naître, à côté

'^ ds âsi

du déplacement sensible 8 exprimé par la dérivée principale F' de cette fonction, de petits déplacements correc^i/^, proportionnels à ces

dérivées respectives -r-, -t—> quand on les évalue en projection sur les cfs CfSi

deux droites dont les cosinus directeurs sont entre eux, pour la pre-

j, . , Xcosa uLCOsS vcosy , ,

miere dérivée, comme — j-, — > j-^y r-^j et, pour la seconde,

comme — ,, j — ^ — 7— ^> —^ — 7—^' Le déplacement correctif devant / m' n' ^

être, en outre, contenu dans le plan normal à 8, ses deux projections sur les deux droites dont il s'agit le déterminent bien; et il est clair, vu leur non-proportionnalité à F' ou à 5, que leur présence rend légèrement courbes les trajectoires des atomes vibrants de Téther (*).

22. Des erreurs graves qu'entraînerait Thypothèse de vibrations rigoureusement rectilignes, si on l'acceptait d'une manière générale, pour la lumière polarisée rectilignement. — L'hypothèse, en Optique, de vibrations rectilignes, inévitable et féconde à une première approximation, doit donc être laissée de côté à une approximation plus haute, de même qu'en Astronomie, celle de mouvements circulaires et uniformes pour les planètes, après avoir permis de créer celle science, est devenue un obstacle et a dû être corrigée (*).

(') L'analyse exposée ici est le cas particulier le plus simple de celle qui concernerait les ondes émanées d'un centre, origine des coordonnées, ou ayant la forme courbe de l'enveloppe des ondes planes orientées dans tous les sens et passées simultanément à ce centre. J'ai donné cette analyse plus complète, et mémo pour un éther homogène (Hctif) de la contexture élastique la plus compliquée possible, aux pages 678 à 698 de mon Volume de i885 intitulé : Application des potentiels à rétude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques, avec des notes étendues sur divers points de Physique mathématique et d'Analyse, Je traite, du reste, dans la suite de cette deuxième partie du présent Mémoire, le cas en question d'ondes émanées d'un centre.

(^) Elle est restée toutefois, grâce à sa simplicité idéale, le type et l'élément irréductible auquel on rapporte les mouvements effectifs et par le moyen duquel on tâche de les exprimer tous; car les développements, en série trigonométrique . des coordonnées des planètes, si universellement employés encore par les astro-