CALCUL DES SURFACES D'ONDE COURBES

considéré, par ondes planes, d'amplitude uniforme el à propagation uniforme.

Or il suit de là que les vibrations y seront rectilignes, ou de celles dont on a donné les lois aux n<»' 12, 13 et H; sans quoi (') elles constitueraient, sur une quelconque des surfaces d'onde ^o^^consl. choisie comme siège accessoire d'excitation, la superposition de trois pareils systèmes rectilignes de vibrations se transmettant séparément, à partir de là, chaque système avec sa vitesse spéciale de propagation, aux plans d^onde suivants, ou ne cheminant pas en commun, contrairement à rhypolhèse. Ainsi le mouvement, dans toute petite étendue assez éloignée de l'origine, consistera en ondes planes, tangentes aux surfaces /o=const., et dont la vitesse w de propagation, ainsi que l'orientation (/', m', n') des mouvements, seroni définies par les équations (29) et (28) (p. 292) en fonction des cosinus directeurs cos(a, p, y) de. la normale aux surfaces /o=const.

En particulier, les ébranlements initiaux s'y transmettront avec la vitesse eu, de Tune quelconque de ces surfaces et suivant sa normale, aux surfaces voisines.

Cela posé, parlons d'une première de nos surfaces d'onde /o='const,, intérieure à toutes les autres dont nous nous occuperons, ou telle que le paramètre Iq y ait une petite valeur, Tq, juste suffisante pour permettre d'appliquer les raisonnements précédents à toutes celles qui Tenlourenl.

Donnons-nous directement, et cette première surface, que nous appellerons «Tq, el la suite des mouvements vibratoires qui s*y efTectuent, afin de pouvoir négliger les phénomènes, bien plus complexes, de l'espace intérieur. Menant à (Jq le plan tangent, quelconque, dont la normale fait les angles a, p, y avec les x, y, z positifs, nous appellerons/)ç sa distance à l'origine. Ce sera une fonction donnée des cosinus directeurs cos(a, p, y) ou, plus précisément, de leurs rapports mutuels, fonction constamment /7e^//e, comparativement aux distances à l'origine de la plupart des points (o^,^', ^) où le mouvement admettra les lois simples que nous nous proposons d'établir.

Nous représentant alors l'ensemble des surfaces d'onde, à paramètre to plus grand, qui entourent celle-là <Jq, nous pourrons mènera toutes le plan tangent normal à la direction fixe (cosa, cosp, cosy), de manière à avoir un espace continu, jalonné par la ligne des points de contact, où les ondes planes élémentaires soient parallèles, animées à très peu près de la célérité eu commune et à mouvendents orientés

(') D'après ce qu'on a vu dans la note des pages 293 à 298.

3l8 LUSIIÈRB DITERGENTR OU ÉMANÉE d'uN CENTRE :

dans la direction (/', m', /i'), commune aussi. Soit p la distance à Torigine

p = arcosa -H^cosp H- z cosy

de celui d'entre ces plans qui est tangent, en un point (^^ y, ^), à la surface d'onde quelconque dont le paramètre est t^, La distance normale j9 — />o d^ C6 plan tangent, au premier, franchie par Tonde initiale dans le temps fo-"'^oj égalera sensiblement (i)(/o — 'o);Gt Ton aura, comme équation approchée du plan tangent en question, d'orientation donnée, à la surface d'onde /q»

arcosan-j'cosp -h -s cosy = />o-+- ^('o — 'Jo),

ou bien, en divisant par a>, isolant ^ et rappelant que les quotients de cos(a, p, y) par o) sont précisément nos paramètres /, wj, /i,

(71) tQr= Ix-^ my -^ nz-^ l'Zii^—y

On saura donc, à partir des plans tangents donnés de la petite surface d'onde intérieure (To> construire à très peu près leurs parallèles, tangents à toute autre surfaoe d'onde, de paramètre plus grand t^^ puisqu'on connaîtra, au moins d'une manière approchée, les espacements respectifs a)(^o — Tq) de ces nouveaux plans aux premiers; et il ne restera plus, pour avoir la surface /o=const., qu'à déterminer l'enveloppe de la famille de plans ainsi obtenue.

Observons que, dans Téquation (71), la diflerence t^ — ^ exprime

un petit temps, de Tordre de ceux qu'emploie la lumière à franchir ia région des ébranlements, temps graduellement variable d'ailleurs avec les rapports mutuels de cos(a, p, y)» c'est-à-dire de /, /«, /?, ou qu'on peut supposer, comme po» fonction continue et donnée de /, m, n. Appelant £0 celle petite fonction, nous aurons donc à chercher Tenveloppe des plans

(72) Ix ->(- my -\- nz -^ tQ=z Iq,

dépen4ant de paramètres /, m, n entre les dilTérentielles desquels existe ia relation (38) (p. 298). Comme la difTérentiation de (72) en /, m, n donnera

il viendra, évidemment, pour déterminer le point quelconque {x^y, z)

LES ONDES T SONT HOMOTUÉTIQLES A CELLE DE PRESNEL. 3l9

de l'enveloppe, situé sur Tenveloppée (72), la double proportion

</£o <3?eo dto

x-^-'-TT y-^'-r- -5-+--7—

dl ^ dm dn

L—l'{U'-^iHm'-^nn') m — m' {II' -h mm' -{-nn') n — n'{ll'-^mm'-\-nn*)

Or, aux distances un peu grandes de Torigine, les seules que nous I ayons en vue, s© disparaît, dans (72), à côté de Ix, my^ nz, et les

[ dérivées de Eq en /, m, n disparaissent de njêrae, dans (73), compara-

tivement à a:, y, s. On obtient donc, surtout quant à la direction (x, y, s) des rayons aboutissant aux points de contact et quant à la forme affectée, autour de ces rayons, par les surfaces cherchées 1 ^o^const., les mêmes enveloppes que si les ondes planes élémen-

i taires (71) de toute direction étaient parties non de la surface centrale

! donnée ^o» mais de l'origine. Ainsi, aux distances de l^origine très

grandes par rapport aux dimensions de la région d'ébranlement et par rapport à la longueur d*ondulation^ les surfaces d'onde t^Tiz const., homothétiques entre elles, sont, à très peu près, les enveloppes d'ondes planes de toute orientation^ parties simultanément de cette origine des coordonnées et s'étant, depuis, propagées uniformément, suivant les lois qui leur sont propres, durant les temps respectifs Iq, L'une d'elles, correspondant à ^0=1» n'est donc autre que Vonde de Fresnel et se trouve apte à les représenter toutes.

21. Polarisation approchée des vibrations sur chaque rayon, et variations, suivant sa longueur, de l'amplitude de toute onde. -— Ayant maintenant, du moins aux grandes distances r de l'origine, des données approchées sur ^q, qui s'y confond presque avec lx-hmy-\-nZf et sur 5, r^, Ç, presque égaux de même à l'o, m'o, /l'o, nous pourrons poser, comme pour un pinceau de lumière parallèle,

formules où les cosinus directeurs /', m', n' du déplacement principal 0 seront reliés, en chaque endroit (or, y, 5), par les formules (21) et (2^) (p. 290 et 291), à la direction (cosa, cos^, cosy) de la normale aux surfaces d'onde ^0= const. qui y passent, et où les trois composantes <p, 1, ^ du petit écart, ou déplacement correctif perpendiculaire à 0, vérifieront la condition de cette perpendicularité

320 LUMIÈRE DIVERGENTE OU ÉMANÉE d'UN CENTRE :

Le déplacement principal 8 et ç>, y^ '^ seront ainsi des fonctions rapidement variables de ^ — t^y mais, en comparaison, lentement variables de œ^ /, z.

Imaginons qu'on ait construit, au lieu des rigoureuses surfaces d'onde t^^:: comi.y lieux des points où l'agitation se manifeste à la fois, celles qui sont homothétiques de Tonde de Fresnel, ou qu'on aurait pour une région d'ébranlement réduite à l'origine et pour des mouvements obéissant en toute rigueur, dans chaque petit espace, aux. lois des ondes planes. Elles donnent exactement, en chaque point (a:, j, z),

tQ=i Ix -1- my ->r- nz et aussi -j- = (ijmyn)y

vu la condition (35) (p, 297), y déterminant le point (x, r, z) commun au plan enveloppé et à sa surface enveloppe. Nous appellerons

1 , cos(a, 3, y) , . , ^ .

donc /, m, n, ou ^^ — ■ — ^> en chaque point (x, j, -), les trois

dérivées en x, y, z de cette valeur approchée lx-\- my -+- nz de <o» non de la valeur exacte. Alors, e, désignant le petit excédent de celle-ci sur la valeur approchée, remplaçons t — Ûq par

{t — Ix — my — nz) — e|.

Les fonctions rapidement variables de f — t^ et lentement variables de Xy yy z deviendront des fonctions rapidement variables de t — Ix — my — nz et de ej. Mais £,, constamment petit dans tout l'espace considéré, aura ses dérivées en x^y^ z très faibles, ou variera Lentement avec x, y, z. Donc, en définitive, 0, cp, y, ^ ne seront fonctions rapidement variables que de l'expression t — {Ix -\' my -4- nz), expression où nous pourrons bien, encore, appeler simplement t^ le trinôme Ix -h my -^ nz\ tl elles seront, en outre, fonctions lentement variables de Xy y y 5, comme le sont déjà, aux distances considérées r de l'origine, les paramètres /, m, /i, leurs fonctions tu, l\ m', n' et

i X v 5 ^ même les cosinus directeurs ^^ — ^-^ — -y reliés à /, w, /i, des rayons

r = \Jx^ -f- 7* -H 5' émanés de l'origine.

Bref, nous aurons simplifié notre variable principale t — /o> sans perdre le droit d'appliquer aux formules (74) de ?, r,, Ç nos procédés approchés de didérentiation (p. 3o3).

Les dérivées de t^ en Xy y y z étant /, m, /i, on trouve successive-

POLARISATION ET AHPLITUDB DES HOUTEHENTS. 321

ment, au lieu de (56) et (57) (p. 3o4),

et la première équation du mouvement, qu^on peut écrire

devient aisément, au lieu de (58), après substitution de

(//'-h mm! -\- nn') ^,

en vertu de (24) (p. 291), au coefficient total /'-h/n^ + n* ^ de

l'I"^ o* dans le résultat :