F d.m'F d.n'F\ 0,(11'-^ mm'-{- nn')V

^ \ Ox dy dz ) ùx

avec deux relations analogues.

B. — II. ai

322 LUmÈRE ÉMANÉE d'uN CENTRE I VARIATION, SUIVANT CHAQUE RATON,

Éliminons <p, /, <^, comme nous l'avons fait des équations (09) (p. 3o5), en multipliant respectivement par /', m', n' et ajoutant. Si

nous n'écrivons explicitement que les termes du résultat en -r— t auxquels les autres seraient pareils, il viendra

,„<)./'F „().//'F , ,à,m!V ,dJm'F , ,d.n'F ,d.ln'¥

o = //'—- h / — T h- Im — T H m' — T ^In'—r \- n —

dx àx ox ox ox ox

,,à.rF „à,(ir-h mm'-hnn')¥ — (//'-h/wm'H- /i/i')— ^ /' 2 ^

Multiplions par F; et chaque groupe explicite de deux termes constituera la dérivée d'un produit, savoir, la dérivée, en J7, du produit (//'F) (/'F), ou (//7i'F)(m'F), ou (//l'F) (/l'F), etc. La somme des

produits ainsi placés sous le symbole — sera

[//'(//'^mw'-h/2/i')]Fï,

expression où l'on peut substituer au coefficient de F* le produit du

cosinus directeur correspondant — du rayon, r, aboutissant au point

( J7, j, z)f par un facteur, x, invariable le long de ce rayon r émané de Torigine.

On a vu, en eflfet (p. 819), que les trois différences

/— /'(//'-h/nm'-f-zi/i'), m— m'{ll'-{-mm'-+-nn')y n — /i'(//'-hm/n'-r-/i/i')

sont entre elles comme les trois cosinus directeurs — > -> -; d'où ré-

ce suite bien pour la première d'entre elles la valeur x — , si x désigne

Tun quelconque des trois rapports égaux.

L'équation obtenue s'écrit donc, en y rétablissant les termes seulement indiqués ci-dessus,

àx ou bien

rc) /F2 \ à /¥^ \ d /FJ \1 FV dy, ù-a d%\

""[oxKi^V^ô^Kjryj-^TzKi^^)^^

Or le dernier terme triple est nul, à raison de ce fait que x ne varie pas le long d'un même rayon, c'est-à-dire le long d'un chemin r où da:^ Oy, dz sont entre eux comme x^ /, z. Il vient donc, après suppres-

DE l'amplitude DU MOUVEMENT DANS UNE MÊME ONDE. 323

*% (j^^ fadeur x, pour régir la fonction principale F du problème, ^^aiii qu'elle dépend des variables accessoires ^, y, -s, Téqualion * dérivées partielles très simple

dx

\ ou

>^^U- i. àr

•"^plions par — et imaginons que Ton suive, à partir de (a:, j, -c),

^^^ngement, dr^ du ravon /*, dont les projections dx^ dy^ dz ont

V^ valeurs — ^-=-^ — dr. La fonction — y croissant de /• r ^

notre équation (79) deviendra

ou, multipliée par /',

d{?^r^)z=zo et enfin d{Yr)'.

Comme notre symbole (^ de différenliation implique la constance de la variable principale t — /q, ou suppose que Ton passe d'un point [x^ J'y z) de Tespace à un autre tout en restant sur une même onde, suivie au besoin dans son mouvement, Téquation obtenue exprime que les valeurs de la fonction F, sur chaque onde courbe se propageant, sont inversement proportionnelles à la distance r au centre d' ébranlement f le long de tout rayon rectiligne émané de ce centre.

Celle fonction F peut donc varier arbitrairement d'un point à l'autre de Tonde, considérée dans une de ses positions, et, par exemple, ne différer de zéro qu'à l'intérieur d'un cône étroit quelconque ayant pour sommet l'origine; mais ses valeurs décroissent, à mesure que l'onde s'éloigne du sommet, de manière que le produit F r se conserve.

25. Conservation, par toute onde, de sa force vive, dans chaque pinceau ou rayon de lumière émanée d'un centre. — Les valeurs

324 LUMIÈRE ÉMANÉE d'uN CENTRE : TRANSMISSION DE LA FORCE VIVE;

de F réalisées les unes après les autres, à des intervalles dt égaux, sur une première surface d'onde fo=consl., se succéderont aussi, par suite, en chaque point d'un rayon r, à des intervalles dt tout pareils, mais réduites dans un même rapport inverse de r; de sorte que le^

déplacements o, exprimés par -7- ou F', et les vitesses vibratoires 0',

exprimées par F', y seront encore inverses de r.

Cela posé, considérons, pour la suivre dans son mouvement, une onde courbe infiniment mince, figure variable comprise sans cesse entre deux surfaces d'onde tQ-=zcot\si,y et dont chaque rayon émané de l'origine croîtra avec une vitesse constante. La tranche d'éther, sans cesse changeante, qui occupera ou remplira l'espace de cette figure aura donc toujours même forme (superficielle), et sa direction, ainsi que son épaisseur, seront invariables à l'intérieur d'un cône quelconque infiniment aigu ayant le centre d'ébranlement pour sommet. Si d(j désigne l'aire d'une de ses deux faces comprise dans un tel cône à la distance r du sommet, le volume et la masse de la tranche d'éther y seront représentés proportionnellement par c/j, tandis que la demi-force vive vibratoire le sera par \d^V^ ou \d^¥"^. Or le facteur F''* est, d'après (79), en raison inverse de r*; mais le facteur d<s, par contre, est en raison directe de r*. Donc le produit \d<s¥''^ reste constant; et chaque onde élémentaire^ tout en s*étendant ou se disséminant de plus en plus autour du centre qui remet, conserve intégralement, comme nous l'avions annoncé (p. 287), sa demi-force vii'e, le long de chaque rayon émané de ce centre, c'est-à-dire à V intérieur de tout cône décrit du centre comme sommet,

26. Léger écart de la forme rectiligne, imposé aux déplacements par leur variation d'amplitude d'un point à l'autre d'une môme onde et par la courbure des ondes. — Grâce à la relation (79), régissant F et qui exprime, comme on a vu, la compatibilité de Téqualion (78) et des deux autres analogues, ces trois équations linéaires en ^, /, ^ n'en constituent que deux distinctes. En les joignant à (75), on aura donc le système du premier degré en cp, y, ^ nécessaire et suffisant pour déterminer ces trois composantes du léger écart ou déplacement correctif, en fonction linéaire des petites

dérivées r> figurant aux seconds membres, des produits /'F,

mT, /^'F, (/, m, n){l'y m', ai')F. Ces produits, où /, m, n, l\ m', n' ont leurs valeurs, invariables le long d'un même rayon r, déjà connues en X, y y z, se trouveront entièrement connus eux-mêmes, dès que l'on donnera F sur chaque onde, en ses différents points, à l'in-

LÉGÈRE INCURVATION DBS TRAJECTOIRES. 3'j5

stant OÙ elle coïncide avec une surface unique ^^^const., choisie à volonté, puisque F, inverse de r sur chaque rayon, sera dès lors déterminé dans toutes les autres positions des diverses ondes.

Il y a lieu de remarquer que, si l'on suit chaque onde dans son expansion, le long d'un même rayon r, toutes les dérivées — >

^(^> y y ^) figurant aux seconds membres de (78) et des équations adjointes,

seront inverses de /•'. Elles s'expriment, en effet, linéairement,

au moyen des trois dérivées analogues des mêmes produits prises,

par exemple, suivant le prolongement du rayon /*, à cosinus direc-

{.oc v« z ^ leurs — ^-^ — , suivant la vibration 8 perpendiculaire à ce rayon, ou

ayant comme cosinus directeurs ( /', m', /i'), enfin, suivant Télémenl ds de la direction (X, jx, v) rectangulaire aux deux précédentes. Or, dans le sens de r, où tous les produits en question sont inverses de r, leur

dérivée sera comme celle de -j c'est-à-dire comme -— • Et, suivant les

deux autres directions, où le facteur - sera constant, celle de ds^ par

exemple, l'autre facteur du produit considéré, invariable le long de chaque rayon /*, aura sa dérivée inverse de r\ car on pourra prendre celle-ci, quelque soitr, entre deux mêmes rayons voisins, de manière à obtenir une variation d de ce facteur constante, mais divisée par un dénominateur ds^ écart des deux rayons à la distance r du centre, proportionnel à r, La dérivée contiendra donc encore deux facteurs, inverses, chacun, de r.

Les petites perturbations cp, ^, i}^, éprouvées par le mouvement vibratoire hors de ses trajectoires rectilignes d'orientation (/', m', /i'), décroîtront donc, aux grandes distances r du centre, beaucoup plus vite que le déplacement principal ou polarisé 0, savoir, comme le carré de celui-ci, puisque 8, ou F', est inversement proportionnel à r, alors que o, )r, ^ le sont à r' ( * ).

(') Cas particulier d'un milieu isotrope. — Les formules de \, t^, ;, qu'on n'a plus alors besoin d'exprimer en fonction de 6 et de 9, x, ^y deviennent très simples quand le milieu transparent est isotrope, cas où, grâce à la relation 6 = 0, rfs déplacements Ç. t„ Ç sont séparés^ dans les équations du mouvement deve-

n«c5 ^?î^|^ - o.'A,(?, Ti, ï) = 0.

L'équation en Ç, par exemple, se réduit immédiatement à

Ox dx oy ôy oz oz

326 LUMlfcRB DIVERGENTE : LÉGÈRE COURBURE DES TRAJECTOIRES;

Supposons le mouvement, en chaque point (^,j, ^), de brève durée et, en outre, purement vibratoire (p. 3o8), ou tel que la valeur moyenne générale du déplacement y ait été nulle, une fois le point (^, /, z) franchi par les ondes. On aura donc, si t excède

ou bien, en multipliant par dt et intégrant sur place à partir de IVpoque t = /.,

âx dx dy oy Oz oz

Or celle-ci, multipliée elle-même par Ç, devient identiquement

d.lV à.m\'' d.nX' ox ây dz

c'est-à-dire, vu qu'ici /, = - et (/, m, ;i) = 1-1 -i-î — ^,

Ox

{'^hm)-^w^)-

Traitée à la manière de (79) (p. 333), elle donne, comme valeur du produit Çr, une fonction arbitraire de ^ — /o (nulle pour t < t^), mais lentement

( X V *» ) variable, en outre, avec les cosinus directeurs — *-^ — du rayon r.

On aurait des valeurs analogues pour les produits t,/-, ^r.

Appelons respectivement F, F,, F^ les fonctions primitives, par rapport à / — /^i ^^

ces valeurs de Çr, Tir, î^r, c'est-à-dire les intégrales / (^r, tir, Çr) dty nulles

pour t < tf. Nous aurons donc, en nous rappelant que les dérivées par rapport à la variable principale t - - t^ s'indiquent au moyen d'un accent ',

Il en résulte, par exemple, pour -> - ( premier terme de 0 ), la valeur — l\' -4- —'

ax ox

— l\ ■+■ — - J ; et l'équation 0 = o devient

ll — mr^^n^i I- -. i- "T " -+- T" ^" = o-

Ox r Oy /• Oz r

Enfin, cette relation, multipliée par iù dt et intégrée sur place à partir de l'instant t — tf^ où le repos régnait encore en {x.yyZ)^ conduit, vu les valeur* ci-dessus de /, m, w, à l'expression de la petite composante longitudinale ou

radiale. — Ç H- -- t\ H — î^, des déplacements :

x^ y z- / r) F f) F, 0 FA

/• r /• \0x r Oy r Oz r j

PRIIfCIPB d'hUTGENS dans LES CORPS BIRÉFRIIfGENTS.

assez t^ pour que le repos soit rétabli en (^,/, 5), / o.dt. c'est-à-dire, vu (77)., F = o, et, par suite.

rrO,

ÔF

à(a:yy,z)

Les valeurs non seulement de S, mais aussi, d'après (7$) et (78), de <p, y, ^, seront donc nulles en (:r,y, 5), une fois l'onde passée.

On voit que, dans de telles conditions, les formules (74) donneront 4 (, 7], 2;, dès que t excédera sensiblement zéro, des valeurs nulles aux petites distances de l'origine et, en particulier, dans la région où s'étaient produits les ébranlements à l'instant ^ =: o. admettons que notre corps transparent hétérotrope existe même dans cette région, ou que les ébranlements y aient eu pour cause, par exemple, les transformations d'une petite quantité de matière, insignifiante une fois son équilibre chimique atteint. Rien alors n'empêchera, si l'on veut, de considérer, pour les valeurs positives et sensibles de t, les expressions (74) de ?, tj, Ç, où 8, <p, )^, ^ auront les valeurs en F obtenues, comme des intégrales particulières des équations indéfinies du mouvement, c'est-à-dire de (76) et de ses analogues, étendues à tout l'espace, intégrales valables même dans la région centrale pour laquelle elles n'avaient pas été démontrées, puisqu'elles s'y réduiront à 2éro(«). ^

(*) Justification de la méthode de Fresnel pour le calcul approché des phénomènes de diffraction. •— Quand, au contraire, le repos ne se rétablit pas au centre, comme, par exemple, quand les ébranlements sont périodiques et Ç, T„ Ç parioui pendulaires^ relativement à la variable l — ^0, nos intégrales (74)» iofiDies pour r = 0, restent évidemment inapplicables aux distances, /', du centre, comprenant trop peu de longueurs d'onde pour motiver les raisonnements qui nous les ont fournies. Mais rien n'empécbera de se servir de ces intégrales et même, pour obtenir des intégrales approcbées plus générales, d'en superposer une infinité, à centres des distances r coïncidants ou diiïérents à volonté y pourvu que l'on situe tout ces centres assez en dehors des régions de Véther où l'on aura à étudier le mouvement vibratoire^ par exemple, sur une surface construite à une dizaine de longueurs d'onde, en arrière de la limite des régions dont il s'agit, limite qui sera une onde excitatrice ou, plus généralement, une surface choisie comme lieu de petits déplacements \, 7;, 1^ donnés, à suivre dans leur propagation ultérieure. En prenant les déplacements fictifs 0, dans chacune de ces intégrales particulières et sur la surface correspondante d'onde qui touche Tonde excitatrice, proportionnels aux déplacements effectifs donnés devant se produire, un quart de période après, sur l'onde excitatrice elle-même, à son point de contact avec cette surface, et en admettant d'ailleurs, sur celle-ci, un évanouissement gradue de la fonction 8 aux distances sensibles du même point de contact, la supcrposi-