ÉTENDUE AUX MILIEUX HOMOGÈNES HÉTÉROTROPKS
rail à Téther une certaine force vive et puis, son équilibre intérieur atteint, rentrerait en repos et serait désormais perdue dans la masse. Des secousses analogues, imprimées à l'éther, pourraient d'ailleurs se succéder à d'assez brefs intervalles, chacune survenant dès que la force vive due à la précédente se serait presque dissipée tout autour. L'action des particules lumineuses, ou, ce qui revient au même, la communication à Téther de leur énergie vibratoire, se trouve ainsi confinée^ en quelque sorte, dans des conditions à'état initial exprïmanl que, pour ^ = o, les déplacements $, tj, Ç de l'éther sont nuls, mais
ses vitesses, ' ^' — -y égales à trois fonctions censées connues de ût,
r, z\ et les équations indéfinies ordinaires s'appliquent aux époques ultérieures, où il ne reste d'agissantes que les forces élastiques de l'éther, avec les résistances des molécules interposées du corps transparent. C'est, au fond, ou à proprement parler, traduire très infidèlement le rôle de la substance lumineuse et soustraire à TAnalyse, artificiellement, faute de savoir l'y soumelire y V introduction de l'énergie vibratoire dans l'éther, pour ne garder que l'étude de sa diffusion; car,
oesera pas fermée et comprendra une telle partie, d'étendue indéfinie, achevant de limiter le milieu.
Il y a donc, implicitement, pour compléter la détermination du problème, une condition définie, en partie A'état initial et, en partie, relative aux points très distants de l'origine, qui oblige à n'admettre, à toute époque t, qu'une demi-force vive totale négligeable aux distances infinies de rorigiue. Or, avec des déplace- "ïenis 5, T„ Ç, sur la surface d'ébranlement donnée, périodiques depuis un temps "l/?«/, cette condition ne saurait être satisfaite, surtout par la solution obtenue; <^*r, outre la contradiction de tels déplacements avec l'hypothèse du repos primitif, «ne énergie notable ne peut que s'y trouver déjà propagée, et qu'être disséminée par unité de temps, jusqu^aux plus grandes distances assignables de l'origine.
Mais on vérifiera la condition en question, en introduisant dans les formules, censées données, de Ç, Tj, Ç sur la surface d'ébranlement, un facteur commun du genre de e", avec s positif et très petit, facteur lentement évanouissant pour les valeurs négatives très grandes de sa variable, mais pouvant d'ailleurs s'écarter peu à peu de la forme exponentielle, pour devenir, par exemple, constant dés que sa variable approchera d'une valeur finie désignée. La présence de ce facteur ne complique en rien les raisonnements classiques qui légitiment la décomposition du mouvement en une infinité de systèmes d'ondes élémentaires ayant, chacun, un centre distinct; et elle assure évidemment le repos dans tout le milieu pour ^ = — X, ainsi que l'annulation asymptotique, à toute époque ^ de la demi-force TÎvc totale disséminée aux distances infinies de la surface d'ébranlement, là où la variable t^ lx — my-—nz est infinie négative dans tous les systèmes élémentaires d'ondes, et où s'évanouit le facteur c»(*-^-'"/-''*>, même après avoir été élevé à une puissance quelconque, multiplié par l'élément dx dy dz de volume et intégré dans un champ infini.
33o TENTATIVE POUR CALCULER LE MOUVEMENT VIBRATOIRE DE l'ÉTHER,
dans la mise en mouvement de l'étlier il y a, ordinairement, autant continuité d'action, sur chaque particule éthérée, de la part du corps lumineuv, que de celle des particules éthérées voisines. Et Ton ne peut pas plus y reléguer dans les conditions d'état initial Teffet d^une de ces catégories de forces que l'efTet de l'autre, tous deux se produisant en même temps et devant dès lors figurer ensemble dans les équations indéfinies.
Ce sera donc, tout au plus, dans le cas d'une simple explosion que Ton pourra accepter Thypothèse de l'instantanéité d'action de la substance lumineuse; et nous devrons nous y borner. Nous supposerons aussi homogène et isotrope notre corps transparent; et nous admettrons même que les vitesses initiales imprimées à l'éther vérifient In condition
d^ , . j. d^\ d^r, rf«Ç
^ = o, c est.a.d.re ^^ -^ ^-^^ -^ ^-^. = o,
sans laquelle interviendraient, pour limiter les déplacements (t. I, p. 5i et 52), des forces jusqu*à présent inconnues, autres que celles en jeu dans les très petits mouvements vibratoires, seuls régis par nos équations (').
(') Supposons que l'on ait, par exemple^ initialemenl, rf'Ç d^Ti d'^ , ,
où X désignera dès lors une fonction donnée, nulle hors de la région des ébran lements. Nous calculerons, pour tous les points (a7,^^ z) de l'espace, le potentiel newtonien U relatif à une masse fictive concentrée dans la région d'ébranlement et dont, en chaque point {x^,y^,z^) de celle-ci, la densité serait 7.(^1, ^1,-,), de manière à avoir une fonction U de :r, y^ z nulle pour x^ y o\x z infinis et vérifiant partout, d'après la foi'mule de Poisson, l'équation AjU =— ^':zy^{x,y^ z), K\ot?>., si nous posons
^=""'1^-^^^ -^-—'■dj^'- ^--'57^-
et
dx ~^ dy ^ dz
dV dr: r/;' .,
il viendra
^ -r-^ - t^,V •¥ ^' -- .\iztx(,x, y, z) -^^' )
et les équations régissant 8, savoir,
d' 9 //fi
(pourOo) -^,=0, (pour^rro) 0 =. 0 et ^^ = 4-X(-2^i >% -)^
DANS LES RÉGIONS ET DÈS l/iNSTANT DE SON ÉMISSION. 33 1
Enfin) pour simplifier les formules autant que possible, adoptons comme unité de longueur Fespace (u que les ondes planes franchissent par unité de temps dans le milieu étudié, de manière que les équations indéfinies du problème soient simplement
Les trois fonctions 5, f^y ï étant séparées, chacune se déterminera indépendamment des deux autres; et, par exemple, le déplacement ç suivant les a: s'obtiendra par l'intégration de Véqualion du son,
dans un espace indéfini, sous les deux conditions, à'élat initial, que, pour^ = o, ses valeurs 5o soient nulles, mais les vitesses correspondantes—» exprimées par une fonction /(j^i,j'i, 5,) donnée en tous
deviendront
rf^e' . ... d^'
( pour ^ > o ) -7— = o, ( pour / = o ) 6' = o et ~7J ~ ^'
Ainsi, 6' sera nul à toute époque / positive. D'autre part, les équations in<léfinies en ^. t„ ^,
deviendront, de leur côté,
di' c'est-à-dire
b'^-^-'-^rC-,}
dUV,r:J^')
dl-
:co^A,a',T/,n;
et les valeurs initiales de W t,', ^' seront nulles comme celles de ^, ti, !J, tandis
que leurs dérivées premières en ^, sommes de — \ '^ — et de -r- -> seront
^ dt d{x,y,z)
connues en fonction de Xy y, z. Donc, si l'on admet que les parties de Ç, ti, Ç
proportionnelles à t, c'est-à-dire —t — - » étant indéfiniment croissantes
ti non vibratoires, sont détruites par des résistances spéciales (quoique encore inconnues) se développant dans l'éther lors des grandes déformations, il ne restera que les déplacements appelés Ç', t,', Ç' : or ceux-ci correspondent à une dilatation cubique 0' nulle ou n'entraînent aucun changement de densité.
