TENTATIVE POUR CALCULER LE MOUVEMENT VIBRATOIRE DE L*ÉTBER

les points (a7,,yi, :;,) de la région d'ébranlement. Il résulle immédiatement de rinlégrale classique de Poisson (*), pour le déplacement Ç à l'époque t et au point quelconque {x^y^ z) soit intérieur, soit extérieur à la région d'ébranlement, la formule très simple

où a désigne Taire t^iit^ d'une sphère de rayon t décrite autour du centre (a:, y, 5), et où l'intégration / s'étend à tous les éléments de

cette aire, <fa, dont (j?,, y,, z^) sont les coordonnées.

Chaque vitesse initiale /(a:,, /,, z^) influe donc, au bout d'un temps / quelconque, sur les petits déplacements $ des points {x^y^z) dont la distance au siège (-Pn/i,5,) où elle s'était produite égale justement t\ ce qui montre que l'influence de tout ébranlement élémentaire se propage autour de son siège avec la vitesse un (c'est-à-dire avec celle même to des ondes planes, prise pour unité), mais en ne se faisant sentir, dans notre milieu à trois dimensions, qu'à cette distance précise, ou pas plus en deçà qu'au delà. Enfin, on voit, sur le troisième membre de (81), que le déplacement $, en un point (j:,y, z) quelconque, est le produit, par le temps écoulé ^, de la moyenne des vitesses initiales correspondantes /(^i,/i,-3j) y exerçant actuellement leur influence, ou dont les sièges sont les divers éléments d^ de la sphère de rayon t décrite autour de {oc^y, z) comme centre, ceux d'entre eux qui seraient hors de la région d'ébranlement (et où y=o) devant/a//*e nombre comme les autres.

II est clair que l'état primitif de repos se trouvera rétabli au centre (de gravité) de la région d'ébranlement, au bout du temps qu'emploierait une onde plane à franchir perpendiculairement son plus grand rayon; et qu'il le sera sur tout le contour de la même région, non moins que dans l'intérieur, au bout du temps nécessaire pour le parcours analogue de son plus grand diamètre par une telle onde.

28. Lois du mouvement aux grandes distances de la région d'ébranlement. — Mais n'insistons pas sur les conséquences qu'on pourrait tirer de la formule (81) pour ce qui concerne la région d'ébranlement. Tâchons plutôt d'en déduire les lois du mouvement,

(') Voir, par exemple, mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Méca nique et la Physique (t. II, Compléments^ p. (\\h*).

DANS LES RÉGIONS ET DÈS L'iNSTANT DE SON ÉMISSION. 333

aux grandes distances r du centre de cette région, sur un même rayon Jixe en émanant prolongé à Tinfîni, afin de contrôler, du moins dans le cas étudié ici d'un milieu isotrope, les résultais de notre méthode d^ntégration par approximations successives exposée précéliemment.

11 faudra donc, après avoir pris comme centre le point de ce rayon situé à la grande distance r, d'ailleurs quelconque, de Torigine, mener des sphères d'un rayon, t, assez peu différent de r pour qu'elles inlerseclent la région d'ébranlement, et évaluer, sur chaque coupe

ainsi obtenue, l'intégrale 1 /(^nViy ^i)d^. Mais r et, par suite,

t étant très grands à côté des dimensions de la région d'ébranlément (c^r c'est justement ce que l'on suppose en admettant la grandeur de r), la coupe en question se confondra sensiblement avec une section plane perpendiculaire au rayon r. Appelons X une abscisse comptée positivement suivant le prolongement du rayon /• en deçà de l'origine et mesurant la distance de la section à cette origine. On

sera

aura ^ =: r -T- X ; et l'intégrale correspondante 1 /(^uyn Zi) d^

une certaine fonction de cette abscisse X, «p (X), produit de Taire de la section plane par la valeur moyenne qu'y a reçue la vitesse initiale

/(wTj, >',,;;,). Le second membre de (8i) donnera donc $= -^^ — > ou

bien, en n'altérant que dans un très petit rapport le dénominateur ty

Ce déplacement ; sera évidemment nul en dehors des limites t — r^Xo et /--r=:X,, valeurs des abscisses X, la première, négative, la seconde, positive, des deux sections extrêmes faites par les plans menés, perpendiculairement au rayon r, tangents à la région d'ébranlement. Mais on voit qu'entre ces limites, si l'on suit une même onde le long d'un rayon r, ou que, cheminant avec la vitesse î, on y maintienne invariable la diflerence t — r r=z X, $ sera bien inverse de r, conformément à la loi établie plus haut (p. 32^) (M-

(') Dans la question, plus générale, où Ton considérerait non pas seulement l'effet d'une explosion instantanée, mais le mouvement consécutif à un état initial quelconque, il y aurait, outre les vitesses initiales f{x^, y ^^z^), des déplacements Ç im/xrtMX, exprimés par une fonction donnée Xoi^iy y^ ^\)i """*-*

334 CONTROLE DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS, PAR l'iNTÉGRALE DE POISSON :

Prenons, pour une même particule d'éther, située en {:r,y,z) sur notre rayon donné et à la distance /• de l'origine, l'intégrale f^dt,

ou / 5^X, entre les deux limites X^ et X,, où $ y diffère de zéro. Nous aurons

(83) f^di^-^ r\(X)d\ = -^ f 'd\ff(xuyu^^)d^.

Or, ici, rélément /(a:,,^!, Cj) d/aûHC de Tintégrale du dernier membre est le produit de chaque élément d^ dX, ou dw, de la région d'ébranlement, par la vitesse initiale /(J^i» JKi, -i) qui s'y observait dans le sens des x au\ premiers instants du phénomène étudié : et, à un facteur constant près, il mesure la quantité de mouvement, suivant les x', créée à l'époque t =zo dans cet élément dw d'espace. En eiîet, la quantité de mouvement, suivant chaque axe, de la matière pondérable a, dans un corps isotrope transparent vibrant lumineusement, un rapport constant, par unité de volume, à celle de l'éther ( t. 1, p. 78 ) ; d'où il suit que la quantité totale de mouvement suivant

(comme/) en dehors d'une étendue limitée analogue à notre région d'ébranlement. El l'on sait que le second membre de (81) s'accroîtrait alors du terme

Or il est clair que l'intégrale / $o("2?nJKp'5j ) c?ff y serait, sur les coupes sensi-

hiement planes faites, perpendiculairement à un grand rayon /*, dans cette éten> duc, une certaine fonction ^{\) de leur distance \ à l'origine; en sorte que Ton aurait alors, à très peu près,

L'expression de Ç, encore inverse de /• dans la même onde suivie le long d'un même rayon émané de l'origine, sérail donc, au lieu de (82),

11 est clair que cette intégrale plus complète s'appliquerait au calcul des mouvements consécutifs non pas à une simple explosion, mais à une action chimique d'une certaine durée^ pourvu que les produits qu'elle aurait donnés ne trou« biassent pas sensiblement, d'une manière durable, la transparence, rhomogénéité et l'isolropie du milieu, ou ne fussent pas un obstacle à l'emploi exclusif des équations de mouvement (80).

NATURE PtlIBHENT OSCILLATOIRE DU IIOUVEMENT. 33>

les X, en jeu dans r unité de volume^ est bien proporlionnelle à la

vilesse ^ de Téllier. Si donc on appelle, d'une part, Q^^, au même

facteur constant près, la quantité totale de mouvement suivant les x introduite initialement dans le milieu, d'autre part, T la durée du mouvement en (x,y,5) et ^^n la valeur moyenne que le déplacement^ y reçoit pendant ce temps T, la formule (83) deviendra

J^dt ou UT=^^.

Or le phénomène étudié ici est dû à une explosion^ c'est-à-dire à des actions de très courte durée essentiellement intérieureSy ou incapables d'imprimer aucun mouvement au centre de gravité général de la matière ébranlée.

La quantité totale Q^ de mouvement suivant les x est donc nulle ('); et Téquation (84) donne simplement

Ainsi le mouvement produit par Vexplosion est purement oscillatoire ou vibratoire; et, supposé qu'on le calcule par notre méthode d'intégration à approximations successives, il n'y donnera pas de ces petits déplacements résiduels, lents à s'évanouir, qui, prolongeant le phénomène après la disparition des déplacements principaux, mettaient en défaut la méthode (-).

(') Nous admettons, comme on voit, que ses éléments, les uns, positifs, les autres, négatifs, s'emploient tout entiers en petites vitesses régies par nos équations ou, s'il s'en produit d'espèce différente, que celles-ci s'éteignent à peu près sur place et correspondent ainsi, séparément, à une quantité algébrique de mouvement égale à zéro.

(^) Quand on étudie les mouvements de l'éther consécutifs à une action chimique de quelque durée, ou que la formule (82) fait place à (82 615), le terme ,x,

4''(X)rf\ s'ajoute au second membre de (83). Mais il a pour valeur

—, — I-i— îi| c'est-à-dire zéro, vu que \q et, à plus forte raison, ^ s'annulent

à chacune des deux limites X,, X, de la région totale ébranlée à la fin des phénomènes chimiques. Ainsi, la formule (8)) reste applicable. Par suite, la quantité Q^ de mouvement étant encore nulle (toujours comme due uniquement à des actions- intérieures), rien n'est changé à nos conclusions; et \c mouvement, en chaque point, est purement oscillatoire.

JTrL