CONTROLE DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS, PAR L'INTÉGRALE DE POISSON

On voit par la formule (84) que si, au contraire, la cause du phénomène avait pu donner une quantité Qx de mouvement différente de zéro, la durée T des déplacements Ç de chaque particule d'élher aurait été en raison inverse de leur grandeur moyenne ^^j ou aurait rendu les déplacements d'autant plus lents à se produire et à disparaître qu'ils auraient été, en somme, plus faibles. C'est bien conforme à la prévision suggérée plus haut (p. 3o8) par notre méthode approchée d'intégration.

29. Distribution arbitraire de Ténergie des ondes dans les diverses directions, ou possibilité de pinceaux lumineux latéralement limités. — Examinons enfîn comment la formule (82) permettra de faire varier arbitrairement, quoique graduellement, le déplacement Ç sur une même onde, avec l'orientation du rayon r où on l'observe. 11 nous suffira d'imaginer pour la région d'ébranlement et pour la fonction/(jri,/i, ,3,) des formes respectives telles que l'énergie vibratoire se concentre dans un cône aigu de rayons ayant son sommet à l'origine; car, la solution correspondante une fois exprimée, la superposition de solutions analogues, où le cône dont il s'agit prendrait successivement toutes les orientations, fournira l'intégrale plus complexe demandée des équations (80) du mouvement.

Or l'énergie vibratoire se trouve concentrée, dans l'onde, autour d'un rayon unique r, quand on donne, d'une part, à la région d'ébranlement la forme d'un disque ou plutôt d'un cylindre aplati, ayant ses bases B perpendiculaires à ce rayon, et, d'autre part, a la fonction /(•^ii/i> ^i)> ^6s valeurs variables seulement avec la distance D (négative sur le rayon r, positive en deçà) à la grande section diamétrale du disque, ou uniformes sur toute section faite dans le disque parallèlement aux bases, sauf l'évanouissement plus ou moins rapide que leur impose, à l'approche du contour, la continuité admise dans les conditions du mouvement.

En effet, si l'on prend alors comme centre des sphères de rayon t coupant le disque tout point (suffisamment éloigné) du rayon r

normal aux bases B, les intégrales //( a:,, j*j, i;,) ^j seront le produit

de la valeur, que j'écrirai F(D), de/(^,, j^,, Zi) sur la section plane d'abscisse D^=z l — r, par l'aire même B de cette section, ou plutôt par une aire légèrement inférieure; et la formule (82) donnera sensiblement

y BF(D) BF(< — /•) (8G) (sur l'axe) ^ = —^ = ) S

CONCENTRATION POSSIBLE DE l'ÉNERGIE SUIVANT CERTAINS SENS. 887

expression nulle en dehors des limites t — /'=qiA, A désîgnanl la demi-hauteur du disque.

Or, quand on se place, au contraire, sur un rayon r incliné d'un angle notable par rapport au précédent, ou sensiblement oblique sur les bases du disque, les sections faites dans celui-ci normalement à ce nouveau rayon, étroites bandes comprises entre les deux bases, ont une dimension de Tordre seulement de la hauteur 2 A et sont beaucoup plus petites que B. Mais, surtout, elles découpent des aires à peu près pareilles dans tous les feuillets superposés d'éther, où /(•^i«/i>^i) reçoit ses diverses valeurs F(D), dont la moyenne est

nulle. Pour ces deux, raisons, Tintégrale f /{^ufi^ Zi)d<s s'y trouve

annihilée, comparativement à sa valeur BF(D) dans (86); et Ton a bien, très sensiblement, S = o, en dehors d'un cône aigu ayant son axe normal aux bases du disque.

d\ Si la moyenne des vitesses initiales -^ pouvait dilTérer de zéro et

que, par exemple, F(D) fût constant dans une région discoïde d'ébranlement à bases circulaires de rayon R, le mouvement ne serait plus à beaucoup près, comme on voit, aussi concentré, dans l'onde, suivant l'axe prolongé du disque. On aurait, d'après (86),

FB FR*

sur cet axe, à la distance r du centre. Mais, les sections planes faites dans le disque normalement à un axe perpendiculaire, ou pour un point du plan équatorial du disque, étant des rectangles de hauteur 2A, de base ay/R*— (f — r)*, et de surface 4A\/R* — (^ — 9')'. on aurait, pour ces points du plan équatorial, à la même distance r du centre, (88) ^^Yhy/K^-(t-rl^

valeur dont le rapport à la précédente (87), * 0 V/ ' ~" ( ~r~) ' peut atteindre - 5 ou est seulement de l'ordre de petitesse du rapport

même de la hauteur 2 A du disque à son diamètre 2R. Celle valeur existe d'ailleurs, ou diffère de zéro, entre les limites t — rz=±:H, tandis que la précédente (87) n'existe qu'entre les limites beaucoup plus rapprochées t — r=:àzh. Autrement dit, les déplacements les plus petits durent le plus longtemps, comme la formule (84) nous l'avait indiqué.