TROISIÈME PARTIE
30. Recherche de conditions spéciales à la limite des corps : impossibilité d'admettre celles de la théorie de l'élasticité» dans un éther indifférent aux mouvements longitudinaux. — Nos équation> du mouvement de Téther paraissant propres à représenter la propagation de la lumière dans un corps homogène, il y a lieu de voir si elles réussiront aussi bien à exprimer ce qui se passe à la surface de séparation de deux corps homogènes distincts. Cherchons donc à traiter ce nouveau problème.
Pourvu que l'épaisseur de la couche de transition, ou hétérog-ène, située à la limite commune des deux corps, ne soit qu'une fraction insensible de la longueur d'onde, on sait qu'il suffira de mettre en œuvre les équations de mouvement, à coefficients constants, des deux milieux homogènes contigus, à la condition, toutefois, de connaître six relations distinctes, entre ce que deviendront dans les deux milieux respectifs, à leur limite commune, les trois petits déplacements {, r^, !^, bien continus dans chacune, et leurs dérivées partielles premières en a?, y^ z. En effet, ces sortes d'équations, dites relations définies ou conditions à la surface séparative, dont l'adjonction aux équations indéfinies propres aux deux milieux est nécessaire pour déterminer les problèmes, sont au nombre de deux pour chaque fonction inconnue comme S, ou 7^, ou C, quand les équations indéfinies sont du second ordre en Xy /, z.
Si Téther agissait lors du rapprochement de ses couches parallèles, ou que la vitesse de propagation des ondes longitudinales n'y eût pas son carré nui, ces relations définies se baseraient, comme dans les autres problèmes de la théorie de l'élasticité, sur l'égalité des pressions supportées par les deux faces de la couche de transition. Mais, à raison de la nullité de la pression normale, sur chaque face d'une couche, quand cette couche varie légèrement d'épaisseur, les trois
dérivées secondes directes ^— > -^j, -r;- disparaissent des équations
indéfinies du mouvement, comme on le voit dans (6) (p. 27a), en
INAPPUCÀBIUTÉ DBS CONDITIONS DÉFINIES ORDINAIRES. 33g
développant les seconds membres. Ces équations, divisées par p., sont effectivement
d^ pF^d^ pE' ^; rf /cg cg7)\ <^ /di:, dl\ rf7« "*■ |ji é/f« "^ |ji dt* " dj^\d;y dx) dz\dx dzj*
'^^ I |i é//î "^ jx €/^* "*■ |ji t/r« ■" dz \d3 dy) dx\dy dx]' IpErf»! P2^^ p(i-f-C) rf»; d^ ld(^ (^ d^ Idr, gg^X 1 [X £//» "^ |x c?^« "^ |ji </f» '^ dx\dx dz) dy\dz dy]'
et les trois dérivées secondes directes de ?, t,, Ç en j?,/, 5 n'y figurent pas. IJ résulte de là que, dans le cas où Tétat physique varie très rapidement, pour ne pas dire sans continuité, avec x (par exemple), comme il arrive à la traversée d'une couche de transition, normalement à laquelle nous admettrons qu'on ait choisi Taxe des j?, la déri-
d}\ vée seconde -r—^ peut devenir relativement très grande sans que Taccé-
d'^X lération correspondante —ri cesse d'être finie. Or les lois naturelles
paraissent ne garantir ici de valeur finie ou modérée qu'aux déplacements vibratoires $, tj, Ç (vu la facilité de translation de l'éther) et, en outre, comme dans toutes les autres questions de Mécanique physique, qu^aux vitesses et aux accélérations; car les vitesses varient graduellement, sauf, parfois, à des moments très exception-
nels. Donc la dérivée -7—5 pourra devenir très grande sans contredire
ces principes; et, si elle le devient assez, sur presque toute l'épaisseur de la couche (supposée tant soit peu comparable à la longueur
d'onde), rien n'empêchera la dérivée première -7- d'y devenir grande
elle-même, quoique Ç, alors très vite changeant avec Xy reste modéré ou, plutôt, petit comme le sont d'ordinaire $, t), Ç. Dès lors, il y aura, dans la couche de transition, des pressions relativement très fortes suivant les j^ et les ^ ('), à côté d'autres, de mêmes sens, très rapidement variables avec a? (*); etles plus fortes, figurant dans deuxéqua-
(') Savoir, sur les éléments plans normaux aux y et aux z, les tractions (') Celtes qui s'exerceront suivant les^ et les z sur les éléments plans normaux
34o CONDITIONS DE CONTINUITÉ, R£LAT1YES
tions du mouvement par leurs dérivées en y ou en z^ à côté des pressions rapidement variables qui figureront par leurs dérivées en Xy neutraliseront en majeure partie les efTels de celles-ci, de manière à permettre de notables variations, entre les deux faces de la couche, à ces dernières pressions considérées à part (* ).
L^égalité d« ces pressions dans les deux milieux sera donc en défai^t et ne pourra pas servir de base aux conditions définies cherchées.
31. Formation des conditions aux limites, dans llijrpothèse d'une épaisseur suffisante de la couche de transition. — Ce qui rend plausible Tobjection précédente à Thypothèse de Tégalité des pressions de Téther, dans deux milieux homogènes contigus, sur leur surface commune, c^est que la couche hétérogène de transition les séparant ne paraît pas être infiniment mince, en quelque sorte, par rapport à une longueur d^onde lumineuse. Certains phénomènes ont permis de Tapprécier : ceux, par exemple, de réflexion sur une lame vitreuse, recouverte d'un léger dépôt d^argent dont on accroît peu à peu Tépaisseur, jusqu'à ce que le rayon réfléchi observé en devienne indépendant.
11 est, dès lors, naturel de chercher cfan^ le fait même d* une épaisseur sensible de la couche de passage, qui, avec celui de non-résistance de Téther aux petits rapprochements de ses feuillets parallèles,
ea a:
aux X, savoir T.= |x ^^ 4- ^j, T^= |j.^^ 4- ^j, dont les dérirécs
coutiendront -— différentié.
dx
( *) On sait, eo effet, que les seconds membres des deuxième et troisième équations (6) (p. 272) sont respectivement
e/T. d\ rfT,
dT^ dT, rfN.
dx ' dy ' dz'
dx dy dz
Or, il y aura, dans ces seconds membres, tout à la fois les termes en T, et en N , en T^ et en N,, susceptibles d'être très grands : et Ton ne pourra pas, malgré la valeur finie de leur somme, qui est de l'ordre des premiers membres ou des inerties de l'unité de volume suivant les y et les z, conclure à une valeur/?nie des
dérivées -r- > -7— ; d'oîi se déduiraient les quasi-égalités soit de T,, soit de T ,
sur les deux faces de la couche de transition. On voit que ce qui rend ces égalités admissibles dans la théorie de l'élasticité,
c'est l'impossibilité, pour des dilatations comme ;j^» 77^» 3z» ^'J devenir très
grandes, les corps réagissant avec une .énergie croissante contre toute déforwrta^ tion qui s'exagère.
AUX SUHFACES 8ÉPARAT1VES DES MILIEtX. 34 1
met ainsi en défaut les habituelles conditions dé/inies ou relatives aux limites, notre point de départ pour établir celles qui doivent les remplacer, El, en effet, si Ton admet que la couche de transition comprend, dans son épaisseur (cependant petite à côté d'une longueur d*onde), un grand nombre de parallélépipèdes élémentaires juxtaposés, permettant d^appliquer dans tout son intérieur les équations générales (89) du mouvement (déduites de Téqnilibre dynamique de pareils parallélépipèdes), avec coefficients A, B, C,D, E, F, D', E', F' fonctions rapidement variables sans doute, mais pourtant continues, de j:, ces équations (89) conduiront facilement aux relations définies cherchées. C'est ce qu'avait entrevu ou même exprimé, dans une foule de travaux basés sur des hypothèses diverses, Cauchy, qui, sans arriver cependant à une clarté suffisante, a donné aux relations dont il s'agit le nom de conditions de continuité; et c'est ce qu'a heureusement dégagé M. Henri Poincaré, aux pages 336 à 3^0 de son Cours sur la théorie de la lumière, professé à la Sorbonne dans le premier semestre de l'année scolaire 1887-1888 (>).
(') En 1889, année même où M. Poincaré publiait le Volume cité ici, M. Potier distribuait aux membres de l'Académie des Sciences, pour sa candidature dans la Section de Physique, une Notice sur ses travaux, dans laquelle se trouve indiquée avec détails la même manière de traiter le problème de la réflexion et de la réfraction. D*après cette Notice, M. Potier, ayant, dès 1876 {Journal de Phytique, t. V, p. io5), jugé acceptables et très naturelles mes idées, sur Videntité réelle de Téther des corps à l'étber du vide et sur Taccroissement apparent de sa densité par la résistance des molécules, qu'avait fait connaître dès 187a aux physiciens Texposé synthétique de Barré de Saint- Venant {Annales de Chimie et de Physique, 4* série, t. XXV), avait vu parfaitement qu'il convenait d'appliquer jusque dans Tintérieur des couches de transition les équations indéfinies du mouvement, et qu'il en résultait les lois approchées de Fresnel sur la réflexion et la réfraction vitreuses, à la condition d'annuler la vitesse de propagation, dans l'éther, des ondes longitudinales. Or cela revenait à poser les conditions définies (90) ci-après, qu'il donne d'ailleurs explicitement dans la Notice citée.
Même les petites anomalies qui échappent aux lois de Fresnel, ou relatives à Vimparfaite extinction des rayons réfléchis sous l'angle de polarisation et à vibrations orientées dans le plan d'incidence, avaient été, en 1873, notamment dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (t. LXXV, p. 617 et 674), déduites par M. Potier de principes analytiquement équivalents, en tenant compte do fait que la couche de transition a son épaisseur un peu comparable à la longoeor d'onde, et expliquées ainsi de manière à éviter une grave contradiction, avec ce que semble indiquer l'expérience, où tombe la théorie donnée anciennement par Cauchy, dans l'hypothèse, exposée plus loin ici même (n* 40), d'un fther où ne s'annulerait qu'à peu près le carré de la vitesse de propagation des codes longitudinales. En effet, cette explication de M. Potier, où figure l'épaisseur, dès lors non négligeable, des couches superficielles, comparée à la Ion-
