SUR LES DEUX FACES DE LA COUGUE SÉPARANT DEUX HIUEUX

Si Ton affecte d*un indice i les quantités prises sur la seconde face de la couche de transition, pour les distinguer de celles qui le seront sur la première face et qu^on écrira sans indice, les deux dernières équations (89) équivaudront donc très sensiblement, en ce qui concerne la limite des deux milieux homogènes ou les deux feuillets extrêmes de la couche de transition, aux quatre relations définies

(90) \ dl dr,^/^__dn\ fÇ ^ ^ /^ f5\ nx ^ { cij^ dx \dy dx/i dx dz \dx dz) x

Mais alors les dérivées en y et z des deux rotations moyennes considérées sont constantes, comme ces rotations, le long de tout petit

chemin l dx normal aux faces de la couche de transition; et la première équation (89), interrogée à son tour, montre que son second membre n'y dépend pas sensiblement de x. Donc celte équation y prend la forme

(91) -T-j ^ J -H — T) -h - — Ç = fonction indépendante de x.

Intégrons-la sur place deux fois par rapport à t^ soit à partir d'un instant où le mouvement n*avait pas encore atteint la couche de transition, soit en déterminant les constantes dMntégration de manière que la fonction linéaire de S, t|, X, entre crochets ait, en chaque point, sa dérivée par rapport à /, et aussi sa propre valeur, moyennement nulles, vu la nature vibratoire des mouvements à considérer.

(') Il suit de l'égalité de yj, ^ en tous les points correspondants {yyZ) des faces de la couche, que les dérivées en ^, ^ de t\, ^ y ont mêmes valeurs, et que, par

saile, la troisième rotation moyenne, — -( j-^ — ^^ )» y est aussi pareille; de

sorte que Ton a encore

dz dy \dz dy)^

Dès lors, si Ton change les axes coordonnés, les rotations moyennes relatives aux nouveaux axes, et qui s'expriment linéairement au moyen des précédentes, seront encore égales chacune à chacune, sur les deux faces de la couche de transition. Ainsi, les conditions de continuité (90) signifient, quel que soit le système de coordonnées choisi, que la rotation moyenne des particules et leur déplacement tangentiel sont les mêmes {pour la grandeur et la direction) dans deux milieux contigusp en tous les points de leur sur/ace limite.

344 ÊGALITfi DES BOTATIONS MOYENNES ET DES DÉPLACEMENTS TANGENTIELS,

Le résullat exprimera que le trinôme '-^^ -k •+■ — ""i -f • s a>

très sensiblement, la même valeur tout le long du chemin / dx^

tamment sur les deux faces de la couche de transition. Ainsi, une cinquième relalion définie sera

no-

p(i-^A) p^F pE- /pd-^A) pF pE; N

Cette relation, où r^ et ^ sont respectivement égaux dans les deux membres, montre que ? y diffère, comme les coeffîcients F, E' et surtout A. Ce n'est donc pas seulement Tégalité habituelle des pressions, sur les deux faces de la couche séparative, qui est ici en défaut, mais aussi VégalUé des déplacements dans le sens normal : singulier paradoxe, à première vue, mais expliqué par le double fait d'une épaisseur un peu sensible de cette couche et de la mollesse infinie qu'on lui attribue, c'est-à-dire de sa non-résistance aux déplacements normaux très petits, qui ne provoquent pas chez elle une réaction atteignant, comparativement, leur ordre même de grandeur et qui, par suite, ne se transmettent pas d'une face à l'autre.

Enfin, les équations (89) entraînent, comme on a vu, l'intégrale (8) (p. 27^), qui, sur les deux feuillets extrêmes de la couche, là où A, B, . . ., F' sont constants, devient une relation linéaire entre les dérivées premières de ?, tj, Ç en Xy y^ z. Or, les deux premières relations (90^ et Téquation (92) relient directement, sur les deux faces de la couthe de transition, ri, IJ, ?, et, par suite, leurs dérivées en /, 5, tandis que les deux dernières (90) y relient de même les dérivées der, et X^ en x. Donc, par l'intermédiaire des deux relations linéaires dont

il vient d'être parlé, les deux valeurs de -7- à la limite des deux

milieux se trouveront rattachées l'une à l'autre : ce qui constituera la sixième condition définie cherchée. Par exemple, si les deux corps

sont isotropes, la relation (8) donnera, dans chacun, pour -7- > la

valeur — f -^ — ^ w~ )' ^"* ^®^' comme on voit, la même des deux côtés. On aura donc la sixième relation définie

(93 ) ^ ~ ( ^ ) ^^ ^* limite de deux corps isotropes).

Comme l'équation (8) rattache directement, en chaque point {x^y, z)