ORCES VITES ET DU TIRIEL, PAR LE CARRÉ DE LA ROTAT. MOYENNE
<ç'i devenait nécessaire, dans certains cas, pour y compléter la dé- V ^'nation des problèmes, d'adjoindre, aux équations indéfînies, des
^> ou avec signes contraires, les trois binômes purement algébriques r^cosy — !^cos^, (^cosoi — ^cosy, Ç cos? — t, cos«.
"ans les équations (f) et («") des forces vives et du viriel (p. 280 et 286),
énergie potentielle élastique / {jl4> da prend alors une forme très simple, pour
*^tberd*un ensemble quelconque de milieux transparents, si on les suppose jux- ^Posés sans couches de transition, mais astreints i vérifier, à leurs surfaces ^^P^ratives, ces conditions définies.
|*«r exemple, les seconds membres des équations indéfinies (6) (p. 272 ), a.u!ti-
plies par Télément de volume dm, s'écriront, en leur donnant la forme des seconds
membres de (89),
(diù di»i\ / d'^r d^x\ fd^c ^*^A
^ travail des forces élastiques par unité de temps, somme des produits res-
P^cf/Ts de ces expressions par les vitesses correspondantes — *.^* > intégrée
^45 Coûte retendue cj de chaque milieu, deviendra immédiatement, grâce à la 'liocJe <ie transformation des intégrales de volume qui nous est familière, et appelant ff la surface limite du milieu considéré,
cf.T, cosy— Çcos^ ûf.Çcosa — Çcosy
dt -^""y dt
rf.Çcosp— TicosaN ' dt J
rf<T
dr\ dz)
dxa.
'^^^^^nd on fera la somme de toutes les expressions pareilles, les éléments dfsinL^^^^^l^g / relatifs aux deux faces d'un même élément dv de surface limite,
seroot vcrw cl«
^aux et de signes contraires; car les facteurs (i>^, &) , &>,, communs en
premières conditions définies, y multiplieront des binômes en
dt
^S*'* ^*^ valeur absolue, mais opposés de signe, en vertu des dernières.
^ ^^^t.ons d'ailleurs qu'on étudie les transformations d'un mouvement vibra-
^oif* » irrité dans l'espace, c'est-à-dire laissant en repos les points de notre sys-
^cio* '^^^t.ériel situés à des distances infinies de l'origine; en sorte que les élé-
K»*^^^ ^'intégrale se rapportant à de tels points soient négligeables. Il ne restera,
^aï^* * expression précédente du travail, par unité de temps, des forces élastiques,
^t *^ partie en / , étendue à tout le volume du système, savoir Ç ( dta^ dui rfw\ ^ ^
Vénergie potentielle fournissant ce travail, ou seule en jeu dans la question
348 ROTAT. MOY. ET DÉPLAG. TANGENT. : LEUR ÉGALITÉ DE PART ET d'aL'TRE,
conditions spéciales aux portions de Féther très éloignées du théâtre des phénomènes, ou relatives, asymptotiquement, aux valeurs dea:,^, z
comme énergie potentielle élastique, aura donc la forme simple, essentiellement positive,
{b) / 2îx(6)3. ^wjr-h w|)rfnj.
De même, dans le théorème du viriel, où les seconds membres, déjà multipliés par </o, des équations indéfinies (G), doivent être multipliés encore, respectivement, par i(Ç, Ti, Ç), puis ajoutés et intégrés, il y a à évaluer, d'abord pour chaque milieu, l'intégrale
qui donne
- / |jl[u)^(7j cosy — Çcosp) H-<i)^(;; cosa— Ç cosy) + w^(Ç cos^ — t, cosa)] d»
— / 2 îx ( (i)i -h wj- -I- u)|) rfn.
L'addition des résultats relatifs aux milieux contigus fait encore disparaître, comme on voit, les éléments de l'intégrale / relatifs à leur surface séparative; et,
si le repos règne aux distances infinies de l'origine, Vénergie potentielle que cette équation du viriel introduit comme valeur moyenne de la demi-force vive
totaley aura encore l'expression simple ci-dessus, / 2 ji ( wi- 4- wj. -+- wî ) du.
La forme ainsi obtenue (6) a l'avantage de ne contenir, comme facteur variable, pour chaque élément dm de volume et par unité de cet élément, que le carré wi-H- wj -4- o)J de sa rotation moyenne totale^ c'est-à-dire une quantité que nous savons être, partout, non seulement variable graduellement, mais aussi de gran* deur modérée et, par suite, négligeable dans les couches de transition, comme l'est leur volume.
Il n'en serait pas de même avec la forme j \l<P des (p. 280), suggérée par la
théorie de l'élasticité, ou appropriée, par conséquent, au cas de couches séparatives subissant, sur leurs deux faces, mêmes déplacements et, au sens prés, mêmes pressions. L'expression (p) de4> (p. 380) contient, en effet, tous les éléments de la déformation des particules, éléments susceptibles de devenir, avec la dilatation linéaire suivant le sens normal, très grands dans les couches de transition, dont on ne pourra plus dès lors faire abstraction comme on le désire. Cette expression ( p ) de «I> est donc à rejeter ici, en tant que manquant de continuité, et même analytiquement infinie, à la traversée des surfaces séparatives. Elle excède notre expression actuelle, 2(<i)i. 4- wJ-H- u)|), de
\dz dy dy dz) \dx dz dz dx) "^ \dy dx dx dy)
AUX SURF. SfiPARATlYES, SIFFIT POLR DÊTERMIKBR L£S PROBLÈHES. 349
infinies, on s'y donnerait, par exemple, rimmobililé, c'esl-à-dire $z=o, Ti = o, Ç==o. Car Tobscurité, le froid, Tabsence ou Textrême
Or cet excès s^écrit, par exemple, identiquement,
Multiplié par dus et iotégré dans l'étendue o de chaque corps du système, il donne
> A(|:cosT-Ècos?)rf,4-...,
expression dont rien ne garantit la neutralisation par les expressions analogues relatives aux corps voisins; car Ç, Ti, ^ et leurs dérivées en x, y, z ont des valeurs généralement diflférentes sur les deux faces de chaque surface 9. Il faudrait donc rétablir les couches de transition, cVst-à-dire supposer Ç, t^, Ç et leurs dérivées premières en x, ^, z continues partout, pour rendre l'expression (p) de 4», dont il s'agit, équivalente i 3((>)2;+ (o^-h (>>c)) toujours, d'ailleurs, sous la condition de l'annulation de ^, tj, ^ aux distances infinies.
Appelons, pour abréger, Y ce que devient le polynôme homogène et du second degré, essentiellement positif, U, défini par la formule (a) (p. 277), quand on
y remplace les vitesses J}^ par les déplacements correspondants Ç, irj, Ç;
et, si l'on observe que les travaux extérieurs sont ici nuls, les deux formules (y) et (e*) des forces vives et du viriel (p. ?8o et 286) deviendront
^^^ XK^ "*" 5i^ "^ ^ -t-U^c/o-Hj 2îx(«i + oî,+ a)î)rfcj = const.,
de (rf)
Chacune d'elles, utilisable sans tenir compte des couches de transition autrement que par les quatre conditions définies admises pour l'établir, permet de démontrer la détermination complète du problème de la réflexion et de la réfraction, supposé traité au moyen des trois équations indéfinies de mouvement propres aux divers milieux et des quatre conditions spéciales dont il s'agit. En d'autres termes, ce système de relations n'admet qu'une solution, un seul système de fonctions ^, y\, ^ de x, y y Zy t ayant, à une époque initiale assignée t^^ des valeurs Ç, yj, C données et des dérivées premières en t données également; de sorte qu'il détermine toute la suite des mouvements réfléchis et réfractés consécutifs à un mouvement incident défini.
En effet, s'il y avait deux solutions distinctes pour ^, t^, !^, leurs difi'érences respectives, que j'appellerai %', t\', ^', en exprimeraient, vu la forme linéaire des équations, une nouvelle, pour le cas de mouvements incidents nuls où se réduiraient à zéro dans tout le système, i l'époque / = /«, les déplacements iXt f\\ ^')i
les vitesses — *' > et, par suite, l'énergie totale du système, second membic
afTaiblissementdu mouvement lumineux et calorifique, paraissent être le fait dominant ou général dans TUnivers, la lumière et la chaleur ne s'y trouvant sensibles qu'au voisinage, pour ainsi dire, des soleils ou des groupes stellaires.
32. Réflexion et réfraction de la lumière par les corps transparents isotropes : formules générales. — Considérons un pinceau ou rayon de lumière qui, après avoir cheminé dans la région des x négatifs, c'est-à-dire dans notre premier corps, parallèlement au plan choisi pour celui des xy^ atteint, à l'origine des coordonnées et tout autour, la couche de transition des deux milieux.
Attribuons-lui un centre d'émanation assez éloigné de la surface séparative pour que les ondes incidentes puissent, à leur arrivée sur cette surface, être supposées sensiblement planes et d'amplitude uniforme, sur des étendues de dimensions comparables à une longueur d'onde, de même que sera supposée plane aussi, au même degré d'approximation, et confondue avec son plan tangent x:=.o mené à l'origine des coordonnées, la surface séparative.
Admettons d'abord l'isotropie des deux milieux, y compris le
second, occupant la région des x positifs; et soient <*, { les deux
angles, aigus et positifs pour (ixer les idées, du rayon incident (Activement prolongé) avec les x et les j^ positifs; de sorte que les coefficients /, w, riy dans la variable principale t — Ix — my — /i^ des déplacements ^, y], Ç, y aient les valeurs
, ,, , cost sini
coostant de Téquation (c). Les termes, tous incapables de recevoir des valeurs négatives, composant le premier membre de cette équation, seraient donc nuls à toute époque; et l'on aurait sans cesse Ç'= o, V= o» îî'= o.
Quant à Téquation (c/), appliquée aux fonctions \\ V* (;', elle aurait son second membre réductible au dernier terme (essentiellement négatif), au moment où X- Ti', Ç' s'écarteraient de zéro. Car les rotations moyennes w,, w , m^ y seraient alors, pour la petitesse, au moins de l'ordre des déplacements (, t^, (^, dont lesdénvées en x^y, z les forment et qui, seulement naissants^ ou exprimés par les intégrales / ^/ dt prises durant un temps j dt infiniment court, s'évanouiraient, comparativement aux dérivées mêmes — ' *' > en train de s'écœ--
ter de zéro. Donc le second membre de (^) ne pourrait cesser d'être nul qu'en s'abaissant au-dessous de zéro, tandis que le premier, alors essentiellement positif, ne le pourrait qu'en grandissant. Ils resteraient ainsi nuls tous les deux; et il viendrait nécessairement, quel que fût /, X~Oy t/= o, Ç = o.
TRAIfSPÀRENT ISOTROPE *. LOIS DE FERMAT ET DE FRESNEL. 35 f
Nous substituerons enfin à notre rayon incident ses deux composants rectilignement polarisés, dans Tun desquels le déplacement 8 se fera perpendiculairement au plan d'incidence, ou se réduira à la composante ^t tandis que, dans Tautre, il se fera dans le plan d^incidence et comprendra les deux composantes Ç, y).
Occupons-nous d'abord du premier rayon, où Ton aura ainsi C= ^> avec 8 fonction rapidement changeante de la variable t — Ix — my, mais à variations â très lentes relativement aux autres variables x, K, z. Nous pourrons donc, dans des étendues de quelques longueurs d'onde en largeur, mais indéfinies (du côté des x négatifs) suivant le sens du rayon, prendre simplement 8 de la forme /(/ — Ix — /w/). Cela nous donnera, pour le rayon incident,
(95) î==o, r^=o, ti=^/{t — lx — my).
Par une sorte de raison de symétrie, les rayons que fera naître la couche de transition à l'arrivée de ce rayon incident auront, comme lui, leur axe dans le plan des xfj et leurs vibrations normales à ce plan, ou réductibles à la composante 2^. Nous appellerons cette composante : d'une part, Ç' pour le rayon réfléchi, c'est-à-dire pour celui qui, faisant un angle obtus avec les x positifs (ou donnant /< o), se dirigera vers l'intérieur du premier milieu et comprendra ainsi les mouvements dits réfléchis; d'autre part, IJ,, pour le rayon réfracté, celui qui comprendra les mouvements produits dans le second milieu, où la vitesse de propagation recevra une valeur, toj, différente de to. Soient, de même, /', m' les valeurs de /, m pour le rayon réfléchi (*), /i,/nj les valeurs analogues pour le rayon réfracté. Si P, P| sont deux coefficients d'amplitude à déterminer pour ces deux rayons, nous pourrons essayer de prendre, comme déplacements correspondants,
Alors nous aurons comme déplacements totaux : dans le premier milieu,
Ç =/( / - /x - my) H- P/( f - l'x - m'y),
ave«
(') On remarquera que /', m', n' ne désignent plus, ici, les cosinus direcleu de la droite suivant laquelle se font les vibrations.
et, dans le second milieu, en y afTectant \, y), ^ de Tindice f ,
(()8) ' avec
oii N désigne V indice de réfraction relatif
Les équations indéfinies seront ainsi satisfaites dans les deux corps homogènes transparents; et, le problème étant déterminé, comme nous savons, il nous suffira de vérifier les conditions (90) (p. 343) à la limite commune j7=zo, pour que la solution obtenue soit la vraie et unique.
Or les termes de ces relations (90) auront comme facteurs respectifs, dans les unes, les trois fonctions /(/ — my), /(/ — ^^^f)i /{t — /w,j), et, dans les autres, leurs dérivées premières. Comme il faut y satisfaire quels que soient t et j, on devra d^abord réduire à un seul dans chaque équation, pour pouvoir ensuite le supprimer, les trois facteurs/ ou/', et poser, par conséquent,
(99) /n'=m, mi = m.
Les quotients respectifs, m', mj, par les deux vitesses de propagation (Oy (Oi, des cosinus des angles que font avec les /positifs le rayon réfléchi et le rayon réfracté, sont donc positifs; et ces deux rayons se trouvent situés du même côté de la normale à la surface séparative que le prolongement du rayon incident.
Soient : i' Tangle de réflexion, c*est-à-dire le supplément de Tangle obtus fait par le rayon réfléchi avec les x positifs, et r Tangle de réfraction (s'il y a un rayon réfracté proprement dit). On aura, pareillement à (94 )»
cosi* , sin/' , cn«r sinr
^ ' tu tO tO| (Ui
et, les angles /', r étant aigus comme {, les deux formules (99) deviendront, avec adjonction de ce que donnent finalement les premières (94) et (100) comparées :
,, , sïïii sinr sin t m .
(loi) t = I, l=—i = ou -: — = - = N.
to u>i sinr u)|
Ainsi se trouvent démontrées, notamment, Tautique loi de Végalilé
