TMANSPARBNT ISOTROPE : LOIS DE FERMAT ET DE FRESNEL

des deux angles de réflexion et d'incidence, et la loi de Descaries ou de Fermât sur la proportion des sinus d'incidence et de réfraction.

Enfin, les relations définies (90), réduites à la deuxième et à la quatrième, deviennent

i-4-P=P„ /(i — P) = /,Pj; et elles donnent successivement

i-P "" // i-hli '" /-+-/,

Passons au second rayon, où les déplacements auront comme composantes S, T^. Les réflexions qui nous ont conduit aux formules (99) et (ici) s'y appliqueront sans changement et continueront à donner, en particulier, /' = — /, m'^zzm^ m^^=:m.

La transversalité des vibrations imposera d'ailleurs pour les cosinus directeurs du déplacement, compté positivement suivant le sens qui fait un angle aigu avec les j' positifs : i® — sin/, cost, zéro, ou — /?ï(d, /w, 0, pour le rayon incident; 2® sine, cosi, zéro, ou /nto, /to, o, pour le rayon réfléchi; 3® — sinr, cosr, zéro, ou — mto, /|(i>, o, pour le rayon réfracté. Soient, d'ailleurs, en appelant ici Q, Q, les coefficients d'amplitude de ces deux rayons,

8'= qfit-^Vx - m» = Q/(/ -H /ar - my),

les trois déplacements incident, réfléchi, réfracté (*). Nous aurons, pour leurs composantes respectives suivant les axes : — mtoS, /a)8, o; mu)8', /u)8', o; — ma>,8,, /i(i)|8,, o.

Les déplacements totaux seront donc : dans le premier milieu,

15 = — nnùf{t — Ix — fny) -h nnùÇl/{t -}- Ix — my)^ T^ = loif(t — ix-- my)-h /toQ/(f -f- Ix — my), C = o;

et, dans le second,

/ îi = — /ntu,Qi/(/ — /,ar — mj),

(io5) ' r„=/,co,Q,/(/ — /,ar-.m7-),

(') Il va sans dire que la fonction arbitraire / figurant ici n*a aucun rapport oéeessaire avec celle qui exprimait les déplacements C dans le premier azimut. B. — n. 23

Les conditions (90) se réduisent à la première et à la troisième, qui) vu les dernières relations (97) et (98), deviennent, en divisant Tune par io^ et multipliant l'autre par o),

N/(i4.Q)=/iQ„ i~Q = NQ, (t).

Or, de celles-ci il résulte successivement, au lieu de (102) :

33. Lois de Fresnel pour la réflexion et la réfraction vitreuses. — Distinguons maintenant les deux cas : i^ des réflexion et réfraction ordinaires; 2^ de la réflexion totale.

Le premier est celui où la proportion des sinus donne une valeur réelle à l'angle r de réfraction et où, par suite, il existe un véritable rayon réfracté. 11 se présente donc, d'après la dernière formule (101), quand le sinus de Tangle d'incidence n'excède pas Tindice N de réfraction. Alors on peut, dans les formules (102), (106), où

, cos/ , , cosr Ncosr ., sin/ ,, . ,

/ = > remplacer /. par =: et N par -: — • Il vient les

w *^ '^ (t>i CD *^ sinr

formules de Fresnel, bien connues et confirmées par l'observation (a

de très petits écarts près, rarement accessibles même aux expériences

soignées et explicables, comme on verra, par l'existence de couches

de transition d'une épaisseur un peu sensible) :

p ^ cosi — Ncosr __ sin(i — r) ~cos«-hNcosr sin(t-f-r)

icosi 2costsinr

CCS t H- Ncosr sin(tH-r)

cosr — Ncosf ian<r(/ — r)

ces r -i- N ces t ~" lang(e-f-r) 'xcosi 2costsinr

cosr -h Noos* sin(t-i- r) cos(t — r)

(t) Observons que, multipliées membre à membre, ces deux relatioas, tout comme les deux analogues du cas précédent, n-Ps= P„ /(i— P) = /, P,, donnent, au changement près de P et P^ en Q et Q,,

/(i-q») = /.q; ou iq^+i,q\ = i.

Celle-ci, ainsi commune aux deux cas, a éié obtenue par Fresnel, en exprimant que les rayons réfléchi et réfracté contiennent toute la force vive du rayon incident; et elle lui a tenu lieu, comme nous avons dit (p. 3^5), de Pégalité des rotations moyennes.

TBAI^SPARENT ISOTROPE : LOIS DE FRBSNEL. 355

Dans le second cas, où m,, égal à > excède — > et où, par con-

(jt> Cl)

séquenl, la dernière relation (98) conduit pour /i à la double valeur imaginaire

, , , . v/sin«e-— N* /

les expressions respectives (97) ou (io4), (98) ou (io5), de Ç, ?, tj et ^^ ^ti £i> ^i> deviennent imaginaires, savoir, celles de S, t), ^, à raison des valeurs alors imaginaires (102) ou (106) de P ou de Q, et, celles ^^^11^1) ^11 à raison, tout à la fois, des valeurs imaginaires (102) ou (106) de P| ou de Q,, et de celle de la fonction f{t — liX — rny). Les solulions obtenues, tout en satisfaisant analytiquement aux équations du problème, n^ont donc plus de signification physique.

Maison pourra évidemment composer des solutions réelles et applicables, en superposant, vu la forme linéaire des équations du problème, les deux solutions analytiques conjuguées que donnera, pour une infinité d^expressions imaginaire^ de la fonction /, Temploi successif des deux signes db que comporte Pimaginaire y/ — 1. Il faudra, toutefois, associer des solutions conjuguées à la fois pour les déplacements incidents, réjléchis et réfractés. Cela reviendra à mettre pour/ une fonction analytique appropriée à la nature du mouvement vibratoire que Ton veut étudier, et à adopter ensuite pour 5, yj, C, Ç,, T,,, Çj les parties réelles respectives de leurs expressions complexes ; car la suppression des parties imaginaires équivaut à faire la demisomme de la solution analytique obtenue et de sa conjuguée.

Du reste, comme tontes les équations à vérifier, indéfinies ou définies, sont linéaires (à coefficients réels) et homogènes en £, t^, C> ii, T„, Ç, ou leurs dérivées, la substitution, à Ç, yî, C, îj, t„, Çj, d'expressions imaginaires, s'y effectue en ajoutant simplement ce qu'y donnent les parties réelles de Ç, tj, Ç, Çj, tij, Çj, et qui est réel, à ce qu'y donnent les parties imaginaires, et qui se trouvera affecté du facteur y/— i. La vérification des équations par certaines expressions imaginaires des déplacements (dits alors symboliques)^ tant pour les mouvements incidents que pour les mouvements réfléchis et réfractés, entraîne donc leur vérification séparée par les parties réelles de ces expressions ; et ces parties constituent par conséquent, à elles seules, un «X^^^/ite r^e/ d'intégrales des équations. Comme nous savons que le problème de la réflexion et de la réfraction défini par ces équations est entièrement déterminé (p. 349)> îl suffira que les mouvements incidents y soient ceux que l'on propose, pour que les mouvement^

réfléchis et réfraclés y soient également ceux qui se produiront en effet.

Cela posé, les déplacements à exprimer dans les phénomènes optiques devant être pendulaires, du moins à une première approximation, la fonction /(0> ^^ pl"s simple qui soit propre à les représenter par sa partie réelle, dans le rayon incident et à Torigine des coordonnées, sera (sauf un facteur constant) Texponentielle imaginaire e*'^, avec A:, réel, positif et inversement proportionnel à la période. D'ailleurs, l'absence de rayon réfracté confirme bien un tel choix de e*V-* pour/(/). Car ce choijt fait très simplement exprimer par nos formules (98), (io5) Textinction asymptotique du mouvement à une distance de quelques longueurs d'onde de la surface x = o, pour les valeurs positives de x. En eff*et, f{t— l^x — my) et, par suite, $,, Y)i, Cl, ne contiendront x que par le facteur r^e/ e~^'i V-»", évanouissant aux distances x croissantes pourvu que la valeur {10%) de /, soit prise avec son signe inférieur (ou /, avec signe contraire à celui de y/— i). Il serait impossible de la prendre avec l'autre signe, qui rendrait Indéfiniment croissants avec.x ce facteur exponentiel et, par suite, les déplacements de l'éther dans le second milieu : circonstance incompatible avec l'hypothèse du repos initial de ce milieu (^).

(*) Il ne faut pas oublier que le coefficient d'amplitude des mouTements incidents, réduit ici à i pour plus de simplicité, mais généralement variable (avec une lenteur relative) d'un point à l'autre d'une même onde, c'est-à-dire d'un rayon incident élémentaire aux rayons voisins, multipliera aussi les parties réelles de Çp r^p Ç, et sera, par conséquent, dans les mouvements réfractés, variable, près d'une même onde incidente suivie sur la surface de séparation, comme il l'est quand on se transporte sans cesse aux parties toujours nouvelles de cette onde qui atteignent successivement la surface séparative. Il n'y a donc, pour une onde incidente de petite étendue^ qu'un rudiment d'onde réfractée : d'où il suit que les rayons incidents n'ont vraiment pas de continuation dans le second milieu.

Sans cette remarque, on serait tenté de regarder les mouvements produits dans la couche superficielle du second milieu, non comme l'aboutissement à^une infinité de rayons incidents qui s^y réfléchissent en entier, mais comme constituant un véritable rayon réfracté, couché sur la surface séparative et s'y propageant, dans les

feuillets superficiels du second milieu^ avec la vitesse même — = -. — . = -: — -. «, •' -^ "^ m sint sini

(inférieure à la vitesse normale ^ù^) qu'a l'onde incidente, co/i«icferee dans la surface séparative x = o dont elle ébranle successivement les diverses bandes normales à l'axe des y. En effet, Çp t^p Ç, auront dans leurs parties réelles, expression des déplacements effectifs de l'éther du second milieu, outre le facteur

évanouissant e ^ , le cosmus d un arc comprenant le terme commun