coseVsin*e — W

Nî(i-i-N*)--(i-h

> NMsin*/

N«(,-Nî)-(,-

N*)sin«4

2N* cos*Vsin'* —

[Mî(i— N«)— (I— N*)sin*i'

quantités dont les carrés ont bien pour sommes respectives Tunité. Tandis que la partie réelle de /{t -— Ix — m j) sera le déplacement dans le rayon incident

(ni) ^ = cosk(t — la: — niy)y

le déplacement dans le rayon réfléchi sera évidemment celle de P/(t -h Ix — my) ou de Q/(^ -^ Ix — my), savoir

(lia) 8'= soit cos[a-hA:(<-H/a?-— m^)], soit cos[p-HA:(/-+-/iF — m^)].

La réflexion totale produit donc les aisances de phases respectives exprimées par les deux angles généralement inégaux a, p. Les formules (i 10) définissant ceux-ci sont dues à Fresnel, qui les a déduites, par une sorte de divination, des précédentes (109) de P, Q, et en a contrMé de curieuses conséquences par Tobservation. De nombreuses

k{t~-my), plus ua terme constant, />ro/7re à \^, ou à y\,, ou à Çp Sur chaque feuillet X = coQst. de la couche superficielle du second milieui s^observeront donc (si i onde incidente est latéralement indéfinie et d*amplitude uniforme) des déplacements fonctions de ^ — my^ ou paraissant s'y propager, dans le sens tangentiel

des/ positifs, avec la vitesse —•

De même que le coefficient d'amplitude à introduire comme facteur commun, dans les expressions de tous les déplacements (incidents, réfléchis, réfractés), est non pas absolument constant, mais variable lentement et à volonté d'un point à Tantre d'une même onde, de même aussi on peut le prendre fonction arbitraire du temps, pourvu que son changement soit insensible pendant une période vibratoire. Rien n'empêche donc qu'il s'évanouisse asymptotiquement pour /= — oo, de manière à annuler, aux distances infinies de la surface, les mouvements tant réfléchis que réfractés, et même aussi pour / = oo, si l'on désire annuler également aux distances infinies de l'origine le mouvement incident.

expériences ultérieures les ont, depuis, vérifiées encore plus complètement.

Le problème de la réflexion totale ne se trouve ainsi résolu, il est vrai, que dans le cas de mouvements pendulaires (et dans celui de vibrations périodiques, qui lui est réductible). Pour que la méthode suivie pût fournir de même sa solution générale, il faudrait savoir décomposer toujours la fonction arbitraire

définissant les mouvements incidents, en deux fonctions imaginaires conjuguées qui jouiraient des propriétés analytiques des fonctions usuelles, et que Ton manierait comme celles-ci dans les calculs.

3^. Problème de la réflexion et de la réfraction cristallines : sa mise en équation. — Le problème des mouvements, tant réfléchis que réfractés, produits par l'arrivée d'un pinceau lumineux (*) à la surface séparative de deux milieux transparents hétérotropes, conduit à des calculs beaucoup plus compliqués. Mais il se traite par les mêmes principes, c'est-à-dire au moyen des conditions définies (90), d*une mise en œuvre relativement facile grâce encore aux hypothèses consistant à supposer planes, du moins dans des étendues de dimensions comparables à la longueur d'ondulation, les ondes réfléchies et réfractées, comme le sont sensiblement les ondes incidentes et la surface séparative elle-même, et à admettre la proportionnalité au déplacement incident 8, en tous les points de cette surface et à tous les instants, des déplacements soit réfléchis, 8', S'', . . ., soit réfractés, 8,, o'j, .... L'ensemble des équations indéfinies du mouvement, propres aux deux milieux respectifs, et des relations définies obtenues déterminant la suite des vibrations consécutives à un système donné de vibrations incidentes^ il suffira qu'on parvienne ainsi à vérifier toutes ces équations, pour avoir leur solution unique et, par conséquent, les lois eflectives de la réflexion et de la réfraction cristallines.

Comme le déplacement 8, ou 8', 8*^, . . ., 8,, 8',, . . .,aflecte, dans un milieu hétérotrope, une direction invariable pour chaque système d'ondes planes ayant sa normale d'orientation donnée et l'une des deux vitesses de propagation, w, ou w', w*', ..., Wj, w',, ..., correspondantes, les cosinus directeurs de ces déplacements, cosinus que j'appellerai (X, |x, v) pour 8, (X', jx', v') pour 8', (X', |x', v") pour 8', . . .,

(') Venu d'assez loia pour pouvoir être supposé parallèle ou constitué par des ondes planes.

BÊFLKXION totale; RÉFLEXION ET RÉFRACTION CRISTALLINES. 869

(^1) 1*1» ^1) pour 8,, (Xj, jjl'i, v',) pour 8',, . . ., seront des constantes, c^est-à-dire des paramètres, fonctions, dans chaque milieu, des trois quotients respectifs, (/, /n,«), ou (/', m', n'), ou (l'^ m'y n'')^ ..., ou (/,, /n,, «i), ou (/j, m[y n', ), . . ., des trois cosinus directeurs des normales aux ondes par la vitesse de propagation, &>, ou eu', u>'', . . ., ou <Di, (i)|, . . . , de celles-ci.

Cela posé, adoptons toujours la surface séparative pour plan des j^, la normale qu'on lui mène dans le second milieu, à partir du point où aboutit Taxe du pinceau incident, comme axe des :r, enfin, pour axe des /, la projection, sur la surface séparative, de la perpendiculaire tirée de Torigine aux ondes incidentes, dans le second milieu ou suivant le sens de leur propagation ; de manière à avoir, i désignant Tangle aigu positif de cette perpendiculaire avec Taxe des Xy

La proportionnalité admise des déplacements soit réfléchis, S', o", . . ., soit réfractés, 8,, 8,, . . . , à 8, sur la surface séparative ^ = o, oblige encore à prendre, pour ^ = o, fonctions de la variable unique t^my, tous les déplacements réfléchis el réfractés 8', 8", ..., 84, 5',, . . ., qui se trouvent avoir les formes respectives

çp(< — /'a? — w'^ — n'z), -/^{t — l" X — m" y — n' z), ..., i|/(^ — /lor— /ni7— ni-s), xs{t — l\x^ m\y—n\z), ...,

ou dépendre, chacun, d^une seule variable, analogue à celle dont dépend 8. Et Ton y a, par suite, si P, Q, . . ., Pi, Qi, . . . désignent des constantes,

(pour^ = o) | = P, Ç = Q, ..., |=P„ y = Q., .-m

c'est-à-dire, d'abord {n étant nul),

n'=o, /i'=o, ..., /i| = o, ni = o, ..., , w , sini^

el, ensuite,

8' = P/(< — /'ar — m^X 8' = Q/(i-rar-m^), 81 = Pi/(^ - hx-my), 81 = Qi/(< - l\x-^my),

Telles sont donc les formes des déplacements réfléchis et réfractés,

36o RÉFLEXION ET RÉFRACTION CRISTALLINES :

OÙ /', /",..., /j, /',,..., P, Q, .. ., P,, Qi, . . . restent seuls disponibles ; et il vient enfin, pour les projections totales (, t), (, ou S|, r^i, Ci des déplacements dans les deux milieux respectifs, les formules générales suivantes :

I*» Dan9 le premier milieu,

T, = ^/(t ^ix—my) -h ii'Pfit — l'x—my) -+- fi'Q/(/ — Ta:— m^)-i-..., Ç = ^/(t—ix — my) f v' P/(f — /'jT— /n^) -+■ v" Q/(<— Tar— /n^) -+-...;

2^ Dans le second milieu,

^ = h Pi/{t — liX - my) 4- X; (lif{t^l\x—my)-\-. . .,

Çi =v, P,/(f-/|;r-m7)-t-v;Q,/(/-/;a7-m/)-h....

Ces expressions de Ç, y^, Ç et de ïi, irji, Ci vérifieront les équations indéfinies respectives du mouvement dans les deux milieux, pourvu que se trouve satisfaite la relation existant, dans chaque milieu, entre les trois paramètres (/, m, /i), ou (/|, /Wi, /i|), et qui existe aussi soit

entré {l'^m'ya'), ou (l" , m\ n" ) ^ ..., soit entre (^i, /Wj, /ij ),

Car, dès que cette relation sera vérifiée (grâce à des valeurs convenables de /', /', . . . , /|, /'|, . . .)> ^^^^ n'empêchera de prendre les rapports mutuels des cosinus X, [a, v, ou X', p.', v', ou X', p.', v*', . . ., par lesquels seuls figurent ces cosinus dans les formules précédentes (à raison des facteurs arbitraires P, Q, ..., ^i» Qi> •••)> ^^^^ <î**® Texigent les lois des ondes planes dans chacun de ces milieux.

Or la relation en question, qui, lorsqu'on y introduit les cosinus directeurs proportionnels des perpendiculaires aux ondes et les vitesses de propagation correspondantes

devient Téquation du second degré en (i>* propre à chaque milieu, est bicarrée en /, m, /i, ou en /', m', n', . . . , dans le système d'axes coordonnés constitué par les axes principaux de symétrie du milieu. Car elle se déduit alors de Téquation (27) en o) (p. 292), par les substitutions de /(»), ma>, 710) à cosa, cos^, cosy et de /* -H m* -+