DU BAYON R6FLÉCHI ET DÉDOUBLEMENT DU RATON RÉFRACTÉ

reclan gtilaires diflTérentes (dont Tune reste arbitraire), ou être, par exemple, soit normales, soit parallèles au plan d'incidence. Or cela suffit évidemment pour rendre le rayon réfléchi ou réfracté, devenu unique, équivalent à deux distincts, polarisés à angle droit et ayant chacun leur coefficient d'amplitude propre P ou Q, P, ou Q,. Rien n est donc changé aux conclusions précédentes.

3^. Proportion générale des sinus , pour les perpendiculaires ans ondes tant réfléchies ou réfractées qu'incidentes, et construction d'Huygens pour les rayons correspondants. — Imaginons un observateur capable de voir autour de lui, aux très petites distances, les mouvements incident, réfléchis et réfractés, mais astreint à rester sur la surface séparative a: z= o, où il sera, d'ailleurs, librement mobile. Pour lui, les déplacements 8, S', $*', 8j, h\ correspondant à des rayons réels auront en commun leur unique facteur variable $ ou /(/ — ^y)\ ils se trouveront donc tous, partout, proportionnels à ce facteur, constant à Tépoque t le long des parallèles à Taxe des z^ et qui sera même invariable sur chacune d'elles, pourvu qu'on la suppose animée, suivant les y^ d'une translation uniforme de vitesse — >

y rendant justement invariable le binôme t — m y. C'est dire : i* que chaque onde incidente, et les ondes réfléchies ou réfractées qui en dérivent, ont trace commune sur la surface séparative a? =: o, ou, en particulier, leurs normales respectives, tirées de Torigine, comprises dans un même plan contenant la normale à la surface séparative; et 3^ que cette trace commune, suivant laquelle il faudra mener leurs plans respectifs, chemine sur la surface séparative, vers les v

positifs, avec la vitesse —• m

Mais m exprime, dans chaque onde, le quotient du cosinus de

l'angle de sa normale avec les y positifs, par sa vitesse de propagation,

(D, ou a>', isi'^ ci)|, a)'|, suivant la normale même. Comme ce cosinus est

le sinus de Tangle aigu positif, i ou /', ou i', ou l'i, ou i',, fait par la

normale à l'onde considérée avec la normale, tirée de part en part, à

la surface séparative, il en résulte que m exprime la valeur commune

des rapports

sini sin<

' sini'

' sin/, to,

sin,

ou q

to,

proportion.

dite des

sinus,

. sini

pîn i' to' ~

sint*

to" ~

sini'i

sinT,

Ainsi, les angles faits avec la normale à la sur/ace séparative^ menée au point où la perce Taxe du rayon incident, non parles divers rayons incident, réfléchis, ou réfractés, mais par les perpendiculaires tirées de ce point aux ondes correspondantes, ont leurs sinus proportionnels aux vitesses mêmes de propagation de ces ondes.

Voilà comment se généralise la loi élémentaire de la réfraction, due à Snellius, Descartes ou plutôt Fermât, pour s^étendre à la réflexion et à la réfraction par les surfaces des milieux hétérotropes.

Mais, prolongeons (en idée), dans leurs propres plans, une onde incidente et ses dérivées réfléchies ou réfractées, assez pour qu'elles ne cessent pas de marquer leur trace commune sur le plan de la surface séparative, durant toute une unité de temps après l'arrivée du centre de Tonde incidente sur cette surface, à Torigine même des coordonnées. Puis souvenons-nous que ces ondes sont, comme des ondes planes quelconques de chaque milieu passées en même temps qu'elles à l'origine, constamment tangentes à une onde courbe, de dimensions uniformément grandissantes, décrite autour de la même origine comme centre et se confondant, après une unité de temps, avec l'onde courbe de Fresnel propre à ce milieu. De là résultera immédiatement la construction suivante, pour les diverses ondes, incidente, réfléchies, réfractées, et pour les rayons soit réfléchis, soit réfractés.

Autour du point où le plan séparatif des deux milieux (prolongé indéûniment) est percé par l'axe du rayon incident donné, lieu des centres des ondes incidentes, on décrira l'onde de Fresnel relative au premier milieu, et celle qui est relative au second ou, du moins, sa moitié contenue dans le second milieu* Puis, on prolongera idéalement, dans le second milieu, l'axe du rayon incident donné, jusqu'à la rencontre de la nappe d'onde, relative au premier milieu, à laquelle se rapporte ce rayon Qt que fait connaître son mode de polarisation, également donné. Alors, par le point obtenu, on mènera le plan tangent, représentant, prolongé dans le premier milieu, l'onde incidente^ une unité de temps après son passage au centre de l'onde courbe. La trace de ce plan tangent sur la surface séparative étant, dès lors, celle des ondes réfléchies et réfractées, on mènera les plans de celles-ci, suivant cette trace, tangentiellement aux moitiés d'ondes courbes de Fresnel situées dans leurs milieux respectifs, savoir, en général, un plan, et un seul, tangent à chaque nappe des ondes courbes, du c6té de la surface séparative où le milieu existe, et pourvu que la trace commune des ondes planes possibles soit extérieure à la. nappe en question ou ne rende pas imaginaire le plan tangent demandé. Alors la

LOI GÉNÉRALE DES SINIS; CONSTRUCTION d'hUTGENS. 365

droile joignant le centre au point de contacl sera le rayon cherché correspondant, réfléchi ou réfracté.

Telle est la construction dite c^Huygens, du nom de Tilluslre et génial physicien du xyii* siècle qui en a eu Fidée pour expliquer la réflexion et la réfraction et, en particulier, pour obtenir, dans le spath, le rayon réfracté extraordinaire^ qu'il supposait constitué par des ondes planes tangentes à une onde courbe ellipsoïdale. Seulement, tandis que ces ondes planes s'offrent à nous comme enveloppées de l'onde courbe, il se représentait, au contraire, chacune d'elles comme Tenveloppe d'une infinité d'ondes courbes semblables, de dimensions décroissantes, ayant leurs centres respectifs échelonnés le long du trajet de l'onde incidente sur la surface séparative. Car, par analogie sans doute avec l'onde liquide rectiligne qu'on voit, à droite et à gauche d'un bateau en marche, dessiner le sillage en se détachant sans cesse, diagonalement, de la proue ou arête antérieure du bateau, et qu'on peut supposer résulter d'une infinité d'ondes circulaires grandissantes engendrées sans cesse par le choc de cette proue contre l'eau (*), il considérait toute partie de Tonde lumineuse incidente qui atteint la surface séparative, comme instantanément génératrice d'une onde courbe, et chaque onde réfléchie ou réfractée eflective, comme formée par les parties concordantes, ou s'intersectanl mutuellement sous des angles infiniment petits, de toutes ces ondes courbes nées successivement, depuis celle qui, ancienne déjà d'une unité de temps, est justement ici la surface de Fresnel, jusqu'aux ondes naissantes à

(' ) Les ondes élémentaires constituant, de chaque côté du bateau, le sillage^ ou principale vague rectiligne qu'on y observe, sont plus visibles encore quand le bateau est à rames et que chaque coup de rame donne une de ces ondes, bien distincte de tontes les autres avant sa fusion avec elles sur leur enveloppe commune.

Cet exemple emprunté à l'Hydrodynamique ofTre, à c6lé de circonstances très complexes, l'avantage de ne donner à superposer qu'une série simple d'ébranlements, ayant leurs centres échelonnés le long d'une ligne, au lieu de la série double qu'on a lorsque les centres d'ébranlement couvrent une sur/ace, comme font ceux des ondes d'Huygens en Optique. Aussi la série des termes qui évaluent, en ckaque point de la nappe liquide, les mouvements envoyés par les divers centres, converge-t-elle beaucoup plus vite que ne font, par exemple, les intégrales définies exprimant les effets des diverses zones d'Huygens : c'est au point de rendre la théorie de Fresnel applicable à la diffraction des ondes liquides périodiques, même quand l'amplitude des ondes élémentaires est pareille sur toute leur circonférence, ou n'éprouve aucun décroissement à droite et à gauche du rayon normal à l'onde excitatrice générale. On peut voir à ce sujet le Mémoire sur les Onde$ liquides périodiques, cité plus haut (p. SaS ), à propos de la théorie de la diffraction.