COS

3LCOSICOSV L

= cosv ;-. = cosv sin

Lo cosvo

' ' '+LÎ .

Ucosv.'

■COS't COS'I

( 1 arc tang — ^ — J = col/,

2LÎLcosicos(2Vû— v) , ^ Lîcosi — 2-=-; ,. : Ti = cos(av» — v) 5-^-5 —

'"^ LJcos't

= cos(2Vg — v) sin (2 arc tang r-^ -. j = col y.

Les expressions (p) de A^ et de B^ deviennent donc simplement

(P-) A'=Mj=Li=tangfx-rV B^ = î^^^^^^ = tangfç- ^V i+tangx *\^ 4/ i-+-tang? *\^ 4/

Dans le cas particulier de Tincidence normale^ f s'annulant, les formules (a) et (a') se réduisent à v = v^, L = Lo; et x» ? résultent des relations (P'), dont la forme est alors

(T) col( X ou ç) = cosvp sin (2 arccolLp) = cosv, sin (2 arctangL^).

Cauchy ne donne pas explicitement les formules (127) à (i3i), même avec ses notations (différenles des nôtres); mais on voit, tant par son article, cité ci-dessus, du i5 avril iSSg, que par un autre du 17 juin iSSg {Observations de M. Cauchy sur la lettre de M, Mac-Cullagh, au même Tome VIII des Comptes rendus^ P* 9^^)i <iu'il les avait obtenues.

38o HYPOTHÈSE DE GÀUGHY, SUR UN ÉTHER

et l'on voit, sous cette forme, qu'il se rapproche de l'unilé, ou grandit, quand la fraction — — =-~ diminue. Or celle-ci varie visiblement

en sens contraire de v^; et, Lq étant supérieur à Punité, elle varie aussi en sens contraire de Lo, car son inverse a sa dérivée de même

signe que i — yi' T^onc le pouvoir réflecteur croît, en somme, avec

Lq et vq, c'est-à-dire, d'après les formules (i25) de Lq et de tang2Vo, avec le paramètre K, lui-même variable, en général, comme on vient de voir, dans le même sens que la période de vibration. Ainsi, le pouvoir réflecteur des métaux doit généralement grandir du violet au rouge et à l'infra- rouge. C'est bien, en effet, ce qu'indique l'expérience.

Remarquons enfin que, pour des radiations d'une période donnée, l'absorption croît, d'après l'exponentielle réelle figurant dans (128), avec le produit Lsinv (réduit ici à Losinvo) et, par conséquent, avec K ou avec H. Donc le pouvoir réflecteur est, toutes choses égales d'ailleurs, d'autant plus grand que le pouvoir absorbant l'est luimême.

40. Mômes problèmes, dans l'hypothèse d'un éther se prêtant à des mouvements longitudinaux localisés. — On arrive sensiblement aux mêmes lois en supposant, comme l'a fait Cauchy dans plusieurs de ses Mémoires, l'éther non plus tout à fait indifl'érent, mais légèrement favorable, aux petites déformations normales de ses couches; en sorte que toute cause étrangère y amenant, par exemple, un léger écart de deux feuillets parallèles et voisins provoquerait, entre ceux-ci, non pas une traction qui tende à les rapprocher, mais une très faible pression propre à les éloigner encore. Ne nous préoccupons pas de rinstabilité qui peut en résulter pour le milieu à l'état naturel (*); mais voyons seulement les conséquences en résultant pour les petites vibrations à la surface limite de deux milieux.

(') Peut-être l'instabilité n'y sera-t-elle pas à craindre autant qu'il semblerait à première vue; car, outre que nos équations des mouvements vibratoires de l'éther, tombant en défaut dès que les déformations deviennent sensibles, ne nous apprennent rien pour un tel cas, l'hypetlièse de très petites valeurs, même négatives, du paramètre i défini ci-après n'introduira sans doute qu'une production de mouvements longitudinaux fort réduite, au point qu'il puisse toujours subsister eflectivement, dans l'éther, assez d'ébranlements transversaux pour en masquer l'influence sur l'état stable ou instable du milieu vibrant et maintenir partout positif le potentiel d'élasticité.

ADMETTANT DBS YIBRATIONS LONGITUDINALES LOCALISÉES. 38 1

Alors, si t désigne une petite fraction constante, supposée donnée,

de Tunité positive, les équations du mouvement de Téther libre seront

celles de la note de la page 5i (t. I), où Ton ferait i=z — e*; et les

équations du mouvement vibratoire pour Téther d^un corps isotrope

transparent deviendraient^ par suite, au lieu de (i8) (p. 276), en

p(i-hA) I divisant par jx et posant ^-^^ =: — »

Différentiées en ^, y^ z et ajoutées, elles donnent, si le corps est homogène ou que a soit constant, Féquation qui régit la dilatation cubique 0 :

Or celle-ci montre Timpossibilité d'ondes planes se propageant et à mouvements longitudinaux, où ô serait proportionnel à une fonction delà forme y (^ — Ix — my — nz) avec /, m, n réels; car une pareille expression de 0, portée dans Téquation (i33), la transformerait, après suppression du facteur/", en cette relation évidemment impossible,

Mais celle-ci devient, au contraire, résoluble, si Ton prend, par exemple, / imaginaire (m, n étant donnés) et que la fonctiony*(/) soit, comme dans de précédents exemples, Pexponentielle e^^>f~^ d'une solution symbolique représentant par sa partie réelle des déplacements effectifs. En effet, alors Ix sera de la forme ±: \x\j — i, avec X très grand, comme Tinverse de e ; et la dilatation cubique 6, dépendant de x parle facteur à variation rapide e-^^^^f^ •=^ e^^^ ^ s'évanouira à une très petite dislance qi ^ du plan des yz^ si le milieu considéré a ce plan pour limite et se trouve situé du côté soit des ^^négatifs, soit des X positifs. Ainsi, un pareil éther admettra des ondes condensées ou dilatées évanescentes.

Il est aisé de voir que, dans ces ondes, les déplacements symboliques î, T), Ç seront entre eux comme /, m, n. Car, si l'on pose \ = A/, T, = B/, Î = C/, où/ désigne la fonction e*('-''-'«J^-«-Jv^^, les équa-

382 ONDES ÉVANESCBNTES DE GAUCHT,

lions (i32) du mouvement deviennent

!/'/i-i-,nî-h/i> -\ A = (i-H£2)(A/-hB/in-C/i)/, //îH,nî-i-/tî -\ B=(i-t-E»)(A/4-B/n-+-Cn)m, fl^-hm^-i-ni îjj G = (i-f-Ê«)(A/-4-B/nH-Gn)/i.

Or, ces trois équations homogènes en A, B, C, multipliées respectivement par If m, n et ajoutées, donnent la condition de compatibilité entre elles :

r^-4-e«(/»-f-/n«-h/i«)l (A/H-Bm-hG/i) = o.

Et celle-ci oblige soit d'annuler A/-4-Bm-4-C/i, ou 6, et, par

suite, de prendre /* -h m' -h /i* = -j> c'est-à-dire de supposer les ondes

transversales, avec les lois que nous leur connaissons, soit de poser entre /, m, n Téquation (i34); el, alors, les trois formules (i35) expriment, comme nous voulions le démontrer, la double proportion de A, B, C à /, m, n,

hi. Ondes évanesoentesy l'une réfléchie , l'autre réfractée, qui deviennent possibles, avec condensations et dilatations cubiques. — Donc, dans le cas de Tonde incidente exprimée symboliquement par une exponentielle de la forme e^('-'«-'»r-'»5)/-i et arrivant, de la région des X négatifs, contre la surface commune j? =: o de deux milieux séparés par le plan des yz, la perturbation due à cette surface pourra maintenant, grâce au petit coefficient positif &% donner naissance à une onde condensée ou dilatée évanescente dans chacun des deux milieux, Tune, réfléchie^ l'autre, réfractée. Si l'onde incidente a sa normale dans le plan des xy^ on aura évidemment, d'après les raisonnements qui ont conduit aux formules (99) et (loi) (p. 352),

/ir^o et m=^ y dans ces deux ondes, comme dans l'onde ou

réfléchie, ou réfractée, ordinaire; el, cela, quelles que soient les relations définies homogènes à poser en î, tq, X, ou leurs dérivées premières, des deux côtés de la surface.

La formule (i3/|), où a = soit u), scitu>|, donnera comme expression de /, vu le signe à prendre pour que le facteur réel e~*W-i des déplacements symboliques s'annule aux distances sensibles de la sur-