CONDITIONS DE CONTINUITÉ, POUR UN ÉTHER ADMETTANT

dans le cas de vibrations normales au plan d^incidence, ou réduites aux. composantes C) ^i; mais que, dans le cas de vibrations parallèles au plan d'incidence, leur superposition aux expressions (io4) et (io5) (p. 353) introduira deux paramètres de plus, R, R,, disponibles pour vérifier deux conditions de plus aux limites, savoir, six en tout, au lieu des quatre (90) (p. 343). Et, en effet, c'est l'hypothèse e-=o, écartée maintenant, qui, seule, avait entraîné entre Ç, tj, Ç la relation linéaire (8) (p. 272) et réduit à deux seulement le nombre des fonctions S, 7), C bien distinctes, puis, par suite, à quatre le nombre des conditions essentielles, spéciales à la surface limite.

VI. Relations définies très simples qui conviennent alors. ~ Les

considérations exposées au n® 30 (p. 338) et qui, dans le cas d'un éther indifférent aux vibrations longitudinales, nous avaient fait rejeter les conditions définies ordinaires, relatives à la surface séparative de deux corps élastiques, montrent d'ailleurs que, maintenant, ces conditions ordinaires s'appliqueront. Trois d'entre elles, notamment, consisteront dans l'équilibre des pressions exercées, suivant chaque axe, sur les deux faces de la couche de transition. Cela entraînera l'égalité, de part et d'autre, des trois expressions (*)

Les trois autres conditions se formeront immédiatement, en observant que l'éther est un milieu unique, où Ç, tj, Ç ne doivent pas varier brusquement d'un point à l'autre, même dans l'hypothèse, que Ton peut faire maintenant, d'une épaisseur infiniment petite de la couche de transition, ou de l'absence totale d'une pareille couche de matière pondérable entre deux corps. Donc, Ç, rj, Ç seront les mêmes des deux côtés de la surface séparative ^=0 supposée; et, par suite, dans les expressions (i40» '^^ dérivées de Ç, ti, C en y et z auront, séparément, les mêmes valeurs. Or, en supprimant, de part et d'autre, les termes ainsi communs, il n'y subsiste plus que les dérivées de S, 7;, ^ en a:. Donc, les six conditions à poser seront, en définitive,

(142) {=Çi, Trj = 7),, Ç = ^i,

dr^ //ti,

dx dx '

dx dx *

dx djc

(*) En effet, les trois composantes, suivant les x^ y^ z, de la pression exercée sur un élément plan matériel d'éther, normal aux J7, auront les expressions respectives

DBS VIBRATIONS LONGITUDIlfÀLES ÉVANBSGBIITBS. 385

Ce sont précisément les conditions de continuité auxquelles Cauchy avait fini par s'arrêter, probablement comme étant les plus simples, mais sans avoir pu, comme nous, les ramener aux relations définies ordinaires delà Mécanique physique ('). Elles expriment, on le voit, ({xxHl y a un contact du premier ordre entre les déplacements ï, r,, Ç, considérés de part et d'autre de la surface.

Dans le cas de vibrations normales au plan d^ncidence, où ^, t), $i,

Ti, s'annulent, ces relations se réduisent à ï = ïi, -p- = -j-^> comme

les précédentes (90); et il n'y a rien à changer à la solution donnée plus haut. Mais, dans le cas de vibrations parallèles au plan d'incidence, où ^ = 0, (Ii = o, et où les conditions (90) étaient

043) lî-Ti,, -___-,

on voit que les nouvelles relations (i^^), tout en obligeant à vérifier celles-là (i43), donnent, de plus.

C'est Tadjonction de ces dernières, ou du moins de la première d'entre elles, que rend possible Tadjonction même des termes (i39), (i4o), ou {i^g bis) et {1^0 bis)y dans |, t), Ii, t)).

W. Leur vénûcation. — Observons que les termes (i39), (i4o) correspondent à des rotations moyennes nulles, par le fait même qu'ils représentent des mouvements longitudinaux, où {, t), 2^, proportionnels aux coefficients de or, /, z dans Texponentielle de la solution symbolique, sont les dérivées en x, /, z d'une même fonction. En efiet, annuler les rotations moyennes, c'est justement exprimer l'intégrabilité de la somme \dx -^r^dy -^^dz. Donc, quels que soient R et R,, les termes (139) et (i^o) ne donnent rien dans la seconde relation (i43). Or, on voit, sur la forme approchée (i39 bis) et (i4o bis) des mêmes termes, qu'ils ne donnent non plus rien, qui soit, en général, perceptible, dans la première relation (i43). Ainsi, les formules (io4) et (io5) (p. 353) de ï, tj, Ç, et t), devront très sensiblement, telles qu'elles sont, ou sans les termes (139) et (i^o), satisfaire aux conditions de raccordement (i43), c'est-à-dire (90).

(*) Car il attribuait à l'éthcr des coefficients d'élasticité différents dans Jes dïTers milieux.