RÉFLBXION ET RÉFRACTION; FORMULES DE FRE6NEL

Donc, à cette première approximation que nous avons actuellement en vue, la réflexion et la réfraction obéissent, même lorsqu'on adopte les nouvelles conditions (14^)) aux lois de Fresnel et à leurs conséquences établies dans les numéros précédents, quant aux phénomènes existant aux distances sensibles de la surface de séparation des deux milieux. C'est seulement tout près de la surface,

aux distances ±x inobservables de Tordre de -r^ ou de —, et très

inférieures à une longueur d'onde —77"' ^"^ seraient comparables

aux autres les vibrations exprimées par les termes complémentaires (189 bis) et {i[\o bis).

Comme les valeurs (io4) et (io5) de 5, tj, Ç,, •f\x vérifient d'ellesmêmes la relation surabondante (98), identique à la seconde (i44)« les termes complémentaires {iZ^bis) et {\({obis) devront aussi, à eux seuls, y satisfaire. Cela donne évidemment RI= — R|I|, ou, très sensiblement, vu (187) et (i38), R=r— NRi. Enfin, la dernière condition, ^ = ^t (pour 07=0), devient, en supprimant partout le facteur commun /(^ — my)^ c'est-à-dire e*^'-'"^')*^,

— 771 10(1-- Q)-+- R = — mtoiQi-+- R|.

On en tire, après substitution, d'une part, à /nw, de sine et, à/na>i,

de -rr-j d'autre part, de — NR, à R :

(.45) R. = ^^-j-^(^,Q^j; dou R = ^^(,Q V.j.

Il ne reste plus qu'à remplacer Q, Q, par leurs valeurs ( ro6) (p. 354). Si, par exemple, /, N sont réels, ou qu'il ne s'agisse ni de réflexion totale, ni de réflexion sur un corps opaque, R, Rj seront réels aussi ; et, Tonde incidente ayant son déplacement S exprimé par la partie réelle de e*('-'*-'"J^>v^, c'est-à-dire par cosit (t — -^^Qst -|-j^sint\

les deux ondes évanescentes réfléchie et réfractée auront les leurs exprimés de même par les parties réelles de (189 ^w) et (i4o bis)^

'esl-à-dire (vu que I, Ii seront sensiblement — et — ) par les deux

formules

(.46) {'=Re^cos/t(<-'>lîii^), U=^,e--^cou(t-y^). Telle est, à peu près, Texplicalion de la réflexion et de la réfraction

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DÉMONTRÉES DANS LES IDÉES DE Gi.UGHT. SSj

à laquelle paraît s^ètre arrêté finaieraent Cauchy. On peut ainsi, par rintroduction des deux ondes condensées ou dilatées évanescentes, vérifier les six conditions de continuité (14^)) 6t se dispenser d^attribuer à la couche de transition une épaisseur tout à la fois très supérieure aux distances intermoléculaires des corps pondérables et très inférieure à une longueur d^onde lumineuse. Ces deux hypothèses, que nous avons dû associer pour arriver aux conditions (90),. ne sont assurément pas contradictoires. Mais, à cause des phénomènes de dispersion, dans lesquels la longueur d^onde lumineuse n'apparaît pas comme excessivement grande par rapport aux distances intermoléculaires des corps, il y aurait peut-être quelque difficulté à les faire simultanément, à moins d'admettre que les conditions (90) sont seulement approchées, comme les formules mêmes de Fresnel en résultant. Et alors il faudrait, à une approximation plus grande, supposer sensible l'épaisseur des couches de transition.

U. Particularités que présente la réflexion sur les corps transparentSy au voisinage de l'angle de polarisation : défauts de leur explication par Thypothèse des vibrations longitudinales localisées. — C'est précisément ce que M. Potier a montré, dès 1872, qu'il convenait de faire, pour expliquer les particularités, échappant aux formules de Fresnel, de la réflexion vitreuse d'un pinceau à vibrations parallèles au plan d'incidence, sous les angles i voisins de celui de polarisation pour lequel ces formules indiquent une extinction complète. En réalité, l'extinction, comme on le sait depuis de délicates expériences de Jamin, n'y est pas totale ( ' ) : preuve que, dans les équations du mouvement, de petits termes, masqués sous les autres incidences par les termes principaux, deviennent sensibles grâce à l'annulation exceptionnelle de ceux-ci.

Pour contrôler la théorie de Cauchy, demandons d'abord ces termes de seconde approximation à la légère influence que les valeurs cidessus de R et Ri ont sur Q et Q,, par leur présence dans la première relation (i43). En tenant compte, efiectivement, des petites composantes (189) et (i4o) que donneraient, suivant les j', les déplacements longitudinaux évanescents, cette première relation (i43)

(*) Tout en paraissant bien, néanmoins, beaucoup plus près de Pétre que ne rindiquaient les expériences de Jamin, où les anomalies aux lois de Fresnel se trouvaient, sans doute, fort accrues par Tétat d'impureté des surfaces; car des couches presque imperceptibles de matière étrangère ont ici une influence notable.

388 EXPLICATION, d'après gaugbt,

devient y vu, finalement, les valeurs approchées (i^S) de R|, R, et

I N celles, — > — ) de I et de L :

eo) ect)

La seconde relation (i43) continuant à exprimer la proportionnalité de i — Q et Q, à o) et (0|, ou Tégalité de i — Q à NQ,, nous aurons donc

/ r^^ ' r^ f / (N— i)«(Nh-i) . ,.1

(i-+-Q)cosi = Qi cosr-i- ^—i&- ^^ ^sin«i .

Pour éliminer Qi, multiplions cette équation par N et remplaçons, dans le résultat, NQi par i — Q; puis effectuons les calculs du second membre, en observant que la petitesse de Q, dans les circonstances dont il s'agit, rend négligeable le produit eQ. La résolution par rapport à Q donne ensuite

- cos r — N cos i / —

cosr-t-Ncosi ^ N* cos r -i- N cos t '

ou, sensiblement, vu que, dans le phénomène étudié, cosr diffère peu de Ncosi, et que, par suite, sini (ou Nsinr) et cos< sont voisins

deiM.:

, ,«v ^ V^N«-+-l, ,vr -v / — (N— l)«(N-f.|)

(i48) Q= ,1V (cosr ~N cos t)-^v^-'£^ — {A ^

Si donc on pose, pour abréger, pareillement à ce qu'on a fait dans la théorie de la réflexion totale (p. 357),

<'49) 2^-^^^ (cosr -Nco8t) = B cos?, t^ — ^J. =Bsin?,

ou que p désigne Tangle aigu, compris de zéro à tc ou à sinus positif, défini par la tangente

tan.^ - e(N-i)»(N + i)

^angP- (N«H-i)(cosr— Ncost)'

et B un module de l'ordre de petitesse de v^e*-i- (cosr — N cost)*, les

DES AlfOHÀLIES DE LA RÉFLEXION VITREUSE. 889

deux déplacements vibratoires symboliques, incident et réfléchir seront

donnant comme déplacements effectifs correspondants,

8 = cosk^t — lx — my)^ 8'= Bcos[p -4-A:(^-t- Ix — my)],

Ainsi, d'une part, p exprimera Tavance de phase prise, à la surface réfléchissante, par la vibration réfléchie sur la vibration incidente, avance variable de tc, aux environs de Tincidence de polarisa-

tion, qui annule cosr — Ncosi et pour laquelle p vaudra -• Quant

à B, ce sera le petit coefflcient d'amplitude vibratoire, minimum sous cette incidence (sans s'annuler), du rayon réfléchi.

Telle est Texplication résultant, pour les phénomènes en vue, de la théorie de Cauchy. Il lui a manqué, pour être acceptée par les physiciens, de rendre compte de deux circonstances. En premier lieu, elle ne fait varier le minimum d'amplitude du rayon réfléchi, avec la période de vibration, que dans la faible mesure où en dépend (*) l'indice N, tandis que l'expérience semble indiquer un rapide accroissement de ce minimum quand la période diminue. En deuxième lieu, pour une période vibratoire donnée, mais sur des surfaces séparatives

(N — i)«(N-i-i) difierentes, elle attribue à ce minimum l'expression e ^ , .

^ 2Nv/N*-i-i

Or, l'observation, autant qu'on peut en juger, n'a pas confirmé celle-ci, non plus que l'expression un peu moins précise à laquelle conduisent les mêmes calculs, quand on attribue aux éthers des divers corps des

coefficients e différents ou qu'on fait du rapport -,- = — un indice N'

distinct de N; ce qui donne, pour B sinp, f e — =^ j (*).

(*) A raison de la dispersion dont il sera question plus loin.

(') Si Ton appelle û le produit eu dans le premier milieu et ûi le produit analogue dans le second milieu, le coefficient ^ — jr, figurant dans cette formule de

BsinS deviendra — "^ — i-» et l'expression de Bsinû sera (Û — û,) ,

Le coefficient de ==: y est û — Ûp Soient alors, par exemple, û^, û,, û^

Sgo EXPLICATION, SUR LES BASES POSÉES PAR H. POTIER,

të. Leur explication effective, par le fait d'une certaine épaisseur de la couche de transition. — Il convient donc plutôt d'annuler Te de Caucby, mais d^observer que, les conditions (90) et (9a) (p. 343

et 344) étant seulement approchées, les valeurs de -1 -7^> de li et

de — varient un peu quand on passe, de la surface a?=:o du premier

milieu, aux divers feuillets a7=const. de la couche de transition (dont nous appellerons maintenante Tépaisseur totale), pour atteindre ainsi la surface a::=t du second milieu. Nous représenterons, dans celui-ci, para:, les abscisses comptées à partir de sa surface j? = e, c'esl-à-dire les excédents positifs a: — e. Â.lors la seconde équation du mouvement, celle à laquelle nous avons demandé les deux relations définies ici indispensables, sera, d'après (89) (p. 339), avec un dénominateur a* fonction rapidement variable de x entre les limites a? = o et a: =: e,

' a* dt* '~ da;\dx dy )

Multipliée par dx et intégrée, le long d'une parallèle aux x, depuis a: = o jusqu'à un feuillet quelconque de la couche de transition, cette équation donne très sensiblement, vu la graduelle variabilité de t^ avec j:, et si Ton affecte de l'indice zéro toute quantité prise à la limite du premier milieu :

^ ^ dx dy ~" \dx dyji^ dt^ J^ a« '

/^ dx — j y produit de e par la valeur moyenne

de — r dans la couche de transition ; et affectons de l'indice i les quan-

tités prises pour x=zzy ou pour j7i=io, c'est-à-dire à l'entrée du second milieu. L'équation (i5o) deviendra, en y faisant J7 = e, notre première relation définie :

(.5.) (^-Û\ -(dn dl.^,d^\.

les trois valeurs de Q pour l'air, l'eau et le verre : ce coefficient sera respcctÎTCment û^ — û^, û^— û^, û^— û^ dans les trois réflexions aux surfaces air-eau, eau-verre, air-verre; et sa troisième valeur devra être la somme des deux premières. Or c'est précisément ce que l'expérience ne parait pas avoir confirmé.

DBS ANOMALUS DE LA RÉFLEXION VITREUSE. 89 J

Actuellement, isolons, dans (i5o), le terme —y et, multipliant

par dxy intégrons de même entre les limites j? = o, a? = e, sans tenir compte du dernier terme, qui donnerait visiblement une intégrale de

Tordre de e*, mais en observant que Ç, écrit ( — j a*, a son premier

facteur presque indépendant de x, en vertu de (9a) (p. 344)* Si nous

appelons e' l'intégrale / a} dxy produit de e par la valeur moyenne

de a* dans la couche de transition, nous aurons notre seconde relation définie :

11 reste à porter, d'une part, dans les seconds membres de (i5i) et (f52), où a sera eu, les expressions symboliques, spécifiées finalement pour x-=o,

qui comprennent les deux rayons incident et réfléchi, mais sans oublier que le coefficient Q propre au rayon réfléchi est, ici, assez petit pour rendre négligeables les produits e'Q, e'Q, eQ; d'autre part, dans les premiers membres, les expressions, symboliques aussi, et finalement spécifiées pour 0?,= o,

qui définissent le rayon réfracté. On aura, après division de la première équation par — Ary/— le^^'"'"^^*^, de la deuxième par gk{t'my)^i^ et après avoir remplacé /*h- m*, /J -h m* par les inverses de Cl)* et de to* :

§i = i:^?-e'A:/coV^i, ' /,a>,Q, = /co(n-Q)-(6-e'/n«)^ /^TT.

Multiplions la première par /jco} et puis retranchons-la delà seconde, pour éliminer Q,. Si nous observons finalement que /eu = cosi.

Sga EXPLICATION, sur les bases posées par m. potier,

/iWi=z cosr, — z= N, m= > Téquation en O obtenue donnera

/ e' sin*i -, . , *» £ — e cowi cos t ces r ^r-

(l53) Q= rj ..i-/l ;--i •

Cette expression n'étant évaluée, du moins avec sa petite partie en e, e', e', que pour les valeurs de / voisines de celle qui donne

cosr=:Ncosi etsin/, cost respectivement égaux à !__> on peut la

remplacer par

(>54)Q = ^j(cos.-NcosO+/=:7^[e-(eW.+;;^jj^]j.

Si donc on a, pour la vibration incidente, 8 = cosA:(^ — Ix — my)^ la vibration réfléchie sera

8'= Bcos[p4- A:(^-4-/a7 — /n^)],

à la condition de poser la double égalité

B(cosp, sinp) = ^-^ — :r7 — J(cos/' — Ncost),

On voit quUci l'amplitude B de la vibration réfléchie aura, conformément à Texpérience, son minimum rapidement variable en sens inverse de la longueur d'onde (à cause du facteur k réciproquement proportionnel à la période), et, de plus, fonction, à l'indice N près,

des trois coefficients e, s'cdw., y propres à la couche de transi-

tion, et non d'un simple coefficient spécifique de l'éther (appelé e au numéro précédent), comme dans la théorie de Cauchy.

Vu la valeur — de N, la nature de la couche de transition est repré-

sentée en définitive, dans le phénomène étudié, par l'expression

e— (e'(0(i>tH ) -; — ^ = e — e' . ^ \ = r,

\ 0)0)1/ o)* -h 0)} al-\-a\ aj-t-aj

équivalente, en raison des significations de e, e', e'', à l'intégrale dé-

DBS àNOMALIBS de LA RÉFLBXION VITREUSE. 898

finie

(*) Le produit B sinp étant ainsi

2<«> 7o (a;-ha;)a»

si on le compare à l'expression de la note précédente (p. 389),

plus familière aux physiciens, que donne pour le même produit la théorie de Cauchy, il vient comme relation entre les coefficients des deux théories, pour passer de i*une à Tautre,

c*est-à-dire, en remplaçant N par — > qui n'est autre que -^y

' Jo (a;-a;)a'

On se souviendra que A: y exprime le quotient de aie par la durée de la vibration. Admettons, à titre d'hypothèse approximative la plus simple, une variation linéaire de a} dans l'épaisseur c de la couche de transition; et faisons alors

x = tu, a» = aj — (a; - a; ) M = aï [N*— (N»- 1) w]. Nous aurons, si C désigne provisoirement le rapport —^ •>

û-û,= «A: f ^!;^^da=£^r— -h(C — i)i«4-C(C-i)log(C-M)]""' J^ y^ — u L 2 Jm=o

On arrive exactement à la même formule de Û — Û„ en supposant fonction linéaire de u non pas le carré a', mais son inverse; ce qui, comme il vient alors

Hi=. + (N'-.)« et g = ji-H(.-jL)„,

donne presque immédiatement

7^ a -h D où D désigne le rapport •snZT" ^^ ®" résulte

û - û.= tA:[^- ^' +(D 4-i)w- D(D 4-1) log 5^j\ c'est-à-dire l'expression ci-dessus, après des réductions immédiates.