RÉFLEXION ET RÉFRACTION DES ONDES LUMINEUSES

d'où, aussi, d'après (i56),

dç ^ ^.

dt "" dti^

Donc, dans les équations (6) du mouvement (p. 272) les termes en A, B, C, D, E, F, D', E', F', ou qui proviennent des résistances de la matière pondérable, garderont leur forme monôme simple; mais

les termes p — ^J ^* exprimant les forces motrices de l'éther deviendront, si Ton se dispense d'y écrire les indices.

Les équations du mouvement étant ainsi transformées, rien ne sera changé aux raisonnements du n^ 31, qui nous ont conduit aux conditions (90) (p. 343), spéciales à une surface séparative de deux milieux transparents; car, s'il figurera, aux premiers membres des deux der-

nières équations (89) (p. 339), ^^s termes, en V^. ,^ '!//^ ^^ entre

une dérivée en j?, ces te rmes seront négligeables, à une première approximation, en raison de la petitesse du facteur V^c, et, à une approximation plus élevée, par suite de la variation graduelle, dès lors établie à très peu près, de tj, î à la traversée de la surface. Ainsi, les conditions spéciales aux surfaces séparatives consisteront toujours dans l'égalité^ de part et d'autre, des déplacements tangentiels de l'éther et de ses rotations moyennes.

Il en résultera, comme on a vu, pour les ondes planes réfléchies et réfractées qu'engendre une onde plane incidente, l'identité de leurs traces sur la surface séparative, supposée plane, avec la trace même de l'onde incidente, et, par suite (p. 364), la construction d'Huygens, avec ondes courbes de Fresnel, relatives aux deux milieux, dépla-

cées de ^ par rapport à la surface séparative, ou construites non pas

autour du point où la surface séparative est percée par le rayon inci-

dent, mais autour d'un centre situé à la distance^ de ce point, à

l'opposé du sens de la translation eflective V. Les rayons incident (prolongé), réfléchis et réfractés aboutiront, sur les surfaces de Fresnel ainsi menées, aux points de contact des plans respectifs des ondes incidente, réfléchies et réfractées, considérées une unité de temps après leur passage à leur centre commun sur la surface sépara-

P4R LES CORPS ÀlflMfiS D'uNB TRANSLATION RAPIDE. 4o3

tive ; mais ils partiront de la situation où sera venu ce centre commun, entraîné, avec la surface sépara tive elle-même, dans le mouvement des axes.

49. Extension^ à ce cas, des formules régissant les amplitudes des vibrations réfléchies et réfractées. — Quand il s^agit de milieux isotropes transparents, les formules des amplitudes relatives, P, Pj dans le premier azimut et Q, Qi dans le second, des deux vibrations réfléchie et réfractée comparées à la vibration incidente, restent simples malgré V excentricité subie par les surfaces d*onde, alors dphériques.

Seulement, il faut y remplacer les angles ordinaires «, «', r, d'incidence, de réflexion et de réfraction, fixant les directions des rayons, et qui seront, en général, dans des plans un peu différents, par les angles, i, i', p, que font, toujours avec la normale Ox à la surface séparative, au point O où aboutit le rayon incident, les perpendicu" laires co, eu' et b>| abaissées de ce point, dans un plan commun choisi pour celui des xy, sur les ondes planes incidente, réfléchie et réfractée, tangentes aux ondes sphériques, Tangle aigu i' étant d'ailleurs compté, comme Tangle V de réflexion, à partir de Taxe des x négatifs. Comme les vibrations sont transversales, arbitrairement orientées dans le pian d'onde correspondant (^) et que Ton aura encore (p. 363) la proportion des sinus

sini sin t' ^ sinp

les équations des n*»* 32 et 33 (p. 35o à 354) s'appliqueront, à cela près que co' différera légèrement de o> et que le paramètre /' aura une valeur, — X, un peu autre que — /.

(*) Ce sont ces deux circonstances, plutôt que des considérations de symétrie (ici en défaut), par rapport au plan d'incidence, qui permettent la réduction des déplacements à deux systèmes distincts, déplacements parallèles, dans un système, à Taxe des z, c'est-à-dire aux traces des ondes sur la surface séparative, oi| n'ayant que leur composante Ci ^i Cp et déplacements perpendiculaires, dans l'autre système, à ces mêmes traces, ou comprenant seulement les deux composantes respectives \ et t\y X et tj', ^, et tj,. Ces deux systèmes de vibrations se produisent et se propagent d'ailleurs sur un rayon unique (incident, réfléchi ou réfracté), la surface courbe d'onde n'ayant qu'une nappe, ou l'équation en caadmettant deux racines égales pour toute direction des ondes planes.

On remarquera que le plan normal commun aux ondes incidentes, réfléchies et réfractées garde ici le rôle appartenant, dans les cas plus simples, au plan d'incidence.

4o4 RÉFLEXION ET RÉFRACTION DES ONDES LUMINEUSES

Les équations de condition donnant, en effet, immédiatement,

i-t-P = Pi, / — XP = /iPi,

/ù> -4- Xu>'Q = /,a)iQ„ L^% = 9l,

(a) il vient

(a') { et

^~ w /|(oî-+-Xfa)'*' ^*"" fa) Xfa)'«+/,fa)î'

, !.. , f ^ # 1 cost cosi' cosp . .

ou bien, par la substitution a L X, /,, de > — r-y > P"^^ à fa),

' '^ fa) fa)' fa),

fa)', fa),, des quantités proportionnelles sin t, sini', sinp, et, enfin, par la réduction à i, dans Q,, du facteur cos(t' — t), sauf erreur négligeable de Tordre de ( t' — t )* :

P — 8'P^'sin(p — i) ~ sini sin(p H- i')

p sinpsin(t'-4- t) ^ * ~ sini sin(t'-h p)'

^ sini'sin(p — t) cos(p -4- i) __ p cos(p -4- i) ^ "" sini sin (p-M')cos(p — t') ^ cos(p — i')'

^ __ sinp sin(t'-h i) cos(i'— t) Pi

^*~' sint sin(t'-4- p) cos(i' — p) ~ cos(t' — p)

Par exemple, si la vibration incidente est rectiiigue et fait, à Forigine des coordonnées, dans le plan de Tonde, un angle a avec la trace Oz de ce plan sur la surface séparative, ses deux composantes dans les deux azimuts principaux respectifs seront entre elles comme cosa, sina; et les deux composantes analogues du rayon réfracté seront entre elles, par Tintroduction des facteurs correspondants d'amplitude F,, Q„ comme F, cosa, Q, sina. Far suite, Tazimut a, de polarisation du rayon réfracté aura pour tangente ^ tanga; et Ton aura, pour le calculer, la formule extrêmement simple

/ X cota, P, / / X

(c) = 7^ =cos(i' — p).

^ ^ cota Q, "^ ^^

50. L'aberration astronomique est indépendante de la nature du fluide remplissant la lunette d'observation. — La construction d'Huygens indiquée tout à Theure (p. 4o2) conduit à la même figure, quand le rayon incident prend la direction qu'avait d'abord le rayon

pàb les corps ÀifiMÉs d'uni tbànslation rapide. 4o5

réfracté et quand on suppose en outre intervertis les deux milieux, ou le premier remplacé par le second et vtce versa. Seulement, alors, la direction du précédent rayon incident devient celle du rayon réfracté. Ainsi un milieu à faces parallèles, participant au mouvement des axes coordonnés, donnera lieu ^Mcctsûytxntnly sur ses deux faces, si on rînterpose entre la source lumineuse et Tobservateur, à deux réfractions exactement inverses, après lesquelles tout rayon qui Paura traversé aura repris sa direction relative première et comportera, par suite, la même aberration qu'avant de pénétrer dans le milieu.

Donc, comme c'est, en définitive, toujours dans Pair, que Tastronome observera les rayons issus d'un astre, une couche d'eau ou d'un autre fluide remplissant la lunette employée pour Tobservation ne modifiera pas l'aberration actuelle des rayons lumineux issus d'une étoile fixe, en ce sens, du moins, que l'œil devra être orienté de la même manière, pour percevoir suivant son axe les ondes émanées d'une étoile, soit après, soit avant le remplissage de la lunette par un liquide plus réfringent que l'air. Ainsi, pour Vœil, l'aberration de l'étoile sera pareille dans les deux cas.

Mais il y a plus. La direction même qui, donnée à la lunette, permet de voir l'étoile au croisement des fils du réticule, n'aura pas été changée par l'interposition de la couche transparente à faces parallèles. Cela résulte du double fait que, dans la lunette en repos, une pareille interposition n'aurait nullement altéré la direction des rayons et que, d'autre part, la translation Y ne modifie pas la construction, à l'intérieur de la lunette, des rayons réfractés (ou même réfléchis) dérivés d'un rayon incident venu suivant une direction apparente assignée, comme il va être démontré au numéro suivant.

Et l'on peut en dire autant de l'œil. 11 devra, pour que les rayons émanés d'un astre l'impressionnent au centre de la rétine, s'orienter, eu égard aux milieux réfringents qu'il contient, delà manière dont il devrait le faire, au repos, pour des rayons incidents de même direction apparente ; car le cheminement relatif du mouvement vibratoire à son intérieur se construira comme dans ce cas, ainsi qu'on va le voir.

51. Les rayons réfléchi et réfracté ont, avec le rayon incident

et avec la normale à la surface séparative, les mêmes rapports de

position qu'à Tétat de repos* — Au degré d'approximation considéré

ici, où nous négligeons dans les formules les termes non linéaires en

- et ceux de l'ordre du produit de - par Je pouvoir biréfringent, les

4o6 RATONS RÉFLÉCHIS BT RÉFRACTÉS, DANS LB MOUTEMBNT RELATIF,

rayons soit réfléchis, soit réfractés, issus d'un rayon incident dont on donne la direction apparente, se construisent, dans un corps fin mouvement, comme si les ondes participaient entièrement à la translation V de ce corps et que tout le système {matière pondérable et éther)fût en repos.

Prenons, en effet, comme plus haut (p. 4ot2), pour plan des yz, la surface séparative, pour origine, le point où elle est percée par le rayon incident ; et soient x^y, z les coordonnées du point où le rayon incident prolongé atteint la surface de Fresnel relative au premier milieu.

Puisque nous faisons ici abstraction de la biréfringence, cette surface est une sphère, d^un rayon R égal à -j^ (*)) et dont le centre,

ayant subi, à partir de l'origine, le déplacement^» aura acquis de

petites coordonnées a, b, c. Son équation sera donc, en négligeant les carrés de a, b, c,

(a) a7*-h^*H-^*— 2(aa7H- 6^ -+- c«) = R*.

Quant à Fonde courbe relative au second milieu, ce sera de même

une sphère, mais d'un rayon R' égal à ^, ou au produit de R par le

N rapport /i=^™, et dont le centre aura pris les petites coordonnées n*a, n^b, n*c. Son équation, en y appelanfa?', ^', -s' les coordonnées variables, sera donc

Cela posé, le plan de Tonde incidente, tangent en {x, y, z) à la sphère («y, a pour équation, si ^i,/i, ^i sont les coordonnées courantes,

(a: — a) a?i -+- ( j^ — b)yi -^(z-c) zi = x(x — a) -h y (y — b) -hz{z — c) = R*-hax-hby -^cz;

et sa trace sur la surface séparative â?i = o est exprimée par la

relation

z — c R*-i- aa?-t- ôr-+-c^

^«+5^-. = yzrf

Or, si {a:', y', 5') désigne, sur la sphère (a'), le point de contact de

(*) On voit que u désigne ici, comme aux n** 46 et 47, la vitesse de propagation de la lumière dans Féther libre.

INDÉPENDANTS DE LÀ TRANSLATION DU SYSTÈXB OPTIQUE. 4o7

l'onde plane réfractée correspondante, la trace de cette onde sur te plan des yz est, de même,

et son identité à la trace précédente donne, pour relier {x'^y^z') à (^>/} ^)> Id double proportion

y'—ii^b z' — 71* c n*(R*-h aa?'-4-^j^'-4- cz') ^ — ^ "" z — c "~ R*-+- aar-h 6j^-h c-5

Égalons chacun des deux premiers rapports au troisième, en remplaçant

y'—n'^b^ y — b^ R*-+- aa?'-+- ô^'-h C5', K^-\- ax -\-by -^rcz^ ..., respectivement, par

t.'jx^'"*''^,^"'). R.(,.|."^-*f-^")

et en observant que la petitesse de a, 6, c permet de réduire à sa partie linéaire toute puissance ou tout produit des facteurs entre parenthèses. La première des deux formules obtenues sera

Quand on néglige a, 6, c, cette formule donne y'=in}y^ valeur approchée qui, substituée dans le dernier terme (très petit) du second membre, réduit la formule, sauf erreur négligeable, à

/ûx r . r a(a?'— a?) -h 6(y— r)-i-c(V — -»)!

On aura de même

Appelant 8 et l' les longueurs y/j?' 4- j* 4- 5* et sjx''^ -h /'* + z'^ des rayons correspondants, incident et réfracté, émanés de Torigine, cherchons à rattacher de même h' à 8. L^équation (ot) peut s'écrire

8« = R« -t- i{ax -4- ^►^ -^ c-s) = RM I -+- 2 ^^- j

4o8 AZIMUT DE Lk VIBRATION RÉFRACTÉE,

et donne, à très peu près, par une extraction de racine carrée, L^équation (a') donne de même

Il vient donc, sensiblement, par la comparaison des deux valeurs

de 8' et 8,

(p') 8'=/i8ri

aix'— x) -4- b(y—y) -¥■ c(z'— z)l R« J

Divisons maintenant les deux formules (P), (P') par celle-ci (p') ; et, appelant (a, p, y), («'»?'» y') ies cosinus directeurs respectifs des deux rajons incident et réfracté, quotients de j?, /, z par 8 et de x', y y z' par 8', nous aurons enfin : •

Ces formules détermineront P', y' ^^> P^'' suite, la direction du rayon réfracté; car le troisième cosinus directeur, a', égal à

±/i — (p'*H-f*), OU à ±v/i — n«(p«4-Y*)»

doit être de même signe que a. Or on voit que les petits déplacements, {a^b^c), {n^a^ n*bf n*c), éprouvés par les centres des deux ondes courbes à raison de la translation V, n^y figurent pas.

La démonstration s'étend au rayon réfléchi : il suffit, pour l'y appliquer, de prendre la deuxième onde courbe identique à la première, ou de faire n = i, mais en attribuant au cosinus a' la valeur de signe contraire qi v^i — (P*-l-Y*)> ^" ~" *•

52. Influence de la translation du corps transparent et de Tob -

serrateur, sur la rotation que la réfraction imprime au plan de

vibration de la lumière polarisée rectilignement. — Si les excen-

. . , V V tricités ^ et ^^ subies par les deux surfaces d'onde courbes ne

modifient pas d'une manière sensible les directions des deux rayons

. réfléchi et réfracté, elles paraissent avoir, au contraire, une influence

un peu moins négligeable sur d*autres circonstances du phénomène.

Telle serait^ par exemple, d'après de mémorables expériences de

IMFLUClfCÉ PAR LA TRANSLATION DE LA LAME RÉFRINGENTE. 4o9

Fizeau (^), la rotation du plan de polarisation par la réfraction, rotation que permettra de calculer la formule (c) obtenue tout à l'heure (p. ^o^),

Fizeau lançait à travers plusieurs piles de glaces un rayon rectilignement polarisé, qu'il dirigeait tantôt en sens inverse de la translation V du globe terrestre, tantôt dans le même sens; et il tâchait d'apprécier la différence introduite parce rntournement dans Tazimut final de polarisation du rayon. Comme on passe du premier cas au second par un simple changement de signe de V, il nous suffira d'établir la formule convenant au premier cas. Nous supposerons seulement, pour plus de généralité, que la translation V fasse, dans le plan d'incidence, un angle 6 quelconque (pouvant donc différer de Tangle d'incidence i) avec la normale aux surfaces séparatives, tirée du côté d'où vient le rayon incident, ou, par conséquent, un angle quelconque 0 — i avec ce rayon.

Les excentricités ^y -z^ se construiront pour là première réfraction, à partir du point O où le rayon incident perce la surface séparalive correspondante, sur la droite inclinée, par rapport au prolongement même de ce rayon incident, de l'angle ô — /, ou bien, par rapport à la normale Ox tirée dans le second milieu, de l'angle 6, du côté où est le rayon réfracté. Ces excentricités feront donc l'angle :r — i — 6 avec le rayon réfléchi et Tangle 6 — r avec le rayon réfracté.

La première, tt^» projetée sur la perpendiculaire au rayon réfléchi

émanée de l'origine, y donne Vécart d*aberration ^sin(6-h/),

entre ce rayon et la normale R := |^ à l'onde courbe, normale menée

par le point de contact de cette onde avec l'onde plane réfléchie qui lui est tangente à l'extrémité du rayon. L'aberration /' — i' du rayon

réfléchi est donc j~^ ou ^ -; et, i' égalant /,

l'on a

. y sin(e-+-0 a> N

De même, l'excentricité, ■j^j> de l'onde courbe relative au second

(*) Comptes rendus de r Académie des Sciences, t. XLIX, p. 717 (i4 novembre 1859), et Annales de Chimie et de Physique, 3» série, t. LVIII, p. 129 à i63 (février 1860).