NON SYMÉTRIQUES

5&>. Aperçu sur les lois des ondes planes, dans un milieu qui serait dépourvu de plans de symétrie rectangulaires. — Quoique les six coefficients indirects D, D', E, E', F, F' de résistance paraissent être toujours égaux deux à deux, comme dans les fluides (p. 209), et que, par suite, tous les milieux doivent admettre à cet égard trois plans rectangulaires de symétrie de contexture, je crois pouvoir néanmoins, avant dei passer à une approximation plus élevée du calcul des phénomènes, ro^arréter quelques instants aux lois qui régiraient les ondes planes, si l'on n'avait pas la triple égalité D' = D, E' ^ E, F' = F.

Les équations du mouvement seraient alors (17) (p. 276). Divisons-les par (JL, adoptons les notations (19) et posons, de plus, pour abréger,

fX |X ' fX

Elles deviendront

Substituons-y les valeurs de î, tq, Ç correspondant au système d'ondes planes, à vibrations rectilignement polarisées, défini par les formules (21), (22), (28) (p. 290). Soient, pour abréger,

Les relations (24) (p. 291), où l^-h m^-h n^= -jy se trouveront

4l4 ONDES PLANES, DANS LES MILIEUX TRANSPARENTS

remplacées par celles-ci :

IU/'-+-fm'— e/i' = — 1(11'-+- mm' -h nn'), — f/'-hV/n'H- d/i' = — /n(//'-+-m/n'-+-/i/i'}, el'— dm'-4-Wn'=— n{lF-^ mm' -+- nn').

Résolvons-les par rapport à V^ m% n', comme si les seconds membres étaient connus; et nous aurons, vu la dernière relation (i65), pour déterminer les cosinus directeurs l\ m! ^ n' de la vibration, les trois rapports égaux

/VW-4-Pd — /n.fW-4-/i.eV " mWU -+- ..." /lUV-

Les trois dénominateurs, substitués à /', m', n! dans les équations (166) homogènes en /', m', n', donnent, si l'on se rappelle encore la dernière (i65), une équation unique en /, m, n, savoir, Téquation déterminant la vitesse de propagation u> des ondes en fonction des cosinus directeurs cosa=:/a*, cosPi=/nu), cosy = /iw de leur normale :

(168) /» VW 4- m« WU -+- /i« UV -+- P* -h d«U -4- e* V -t- f«W -+- UVW = o. Ecrivons ainsi le dernier terme du premier membre : '

U VW ( /» (0* 4- /n« w» -4- n» u)« ) ;

et réduisons-le alors avec les trois premiers. Puis divisons par oj*. Elle prendra la forme, un peu plus simple,

(169) — VW4- -TT WU-h -r-UV H =0.

On Taurait obtenue aussi en se servant de l'équation (8) (p. 272), devenue ici

) a^ dx'^ b^ dy'^ c* dz \dy dz ) '^ \dz dx)

et, par suite,

, . //' mm! nn' ,, , ,. j 1, t i^ e,i 1 tt\

(171) "ï-^-tûtH j--hd(m/i— /im ) -h e(/i/ — //i) -t-f (/m— m/) = o,

où Ton aurait substitué à /', m'y n' les dénominateurs des rapports (167),

DfiPOUfiYUS DE PLAISS DE SYMÉTRIE. f\l^

55. Équations approchées , pour les vitesses de propagation et pour la direction des vibrations. — Tous les milieux biréfringenls sonl, au point de vue optique, assez peu hétérotropes pour qu^on puisse y regarder U, V, W, d, e, f comme de petites quantités, ayant leurs carrés et produits négligeables devant leurs premières puissances. Les trois dernières parties du quatrième terme de (169) étant, dans ces conditions, du troisième ordre, peuvent être supprimées devant la première partie, en P', du second ordre; et il vient, à très peu près,

(172) ir VW 4. ^ WU H- ^ UV -+- ^ = 0.

De plus, la direction {l'y m', /i') ne sera altérée que très peu, si nous substituons à /', m', n' trois autres cosinus directeurs /j, m',, /i',, ayant leurs rapports déduits de (167) par des modifications propres à mettre en vue, en les rendant rigoureuses, certaines relations simples qui ne sont vérifiées qu^approximativement. Nous multiplierons à cet effet, dans (167), les différentes parties des trois dénominateurs par

des facteurs tous peu différents de -j> et qui, par exemple, dans le

premier dénominatetr, seront -j pour le premier terme, — pour le

c . . b second, — ; — pour le troisième, enfin, pour le quatrième. Alté-

rons d^une manière analogue les deux autres dénominateurs, et, en même temps, laissant invariables les cosinus directeurs donnés cos(a, p,-f) ou l(t}, m(t}y nm de la normale aux ondes, changeons la vitesse de propagation co, de quantités du second ordre en d, e, f, de manière à lui faire vérifier exactement, au lieu de (169), Téquation simplifiée (172). Bref, nous aurons, pour définir la direction (/',, m^, n\ ), analogue à celle de désignation pareille au n** 14' (p. 292), les trois rapports égaux, avec co donné par (172) :

Ainsi modifiée quelque peu dans son orientation, la vibration est devenue rigoureusement transversale, de quasi transversale qu'elle était. Car, si l'on ajoute terme à terme les trois rapports (i73), multipliés respectivement, haut et bas, par l, m, riy il vient le quatrième

4l6 ONDES PLANES, DANS LES MILIEUX TRANSPARENTS

rapport égal

L vw H- ^ wu + ^ uv + il

Or son dénominateur est nul en vertu de (172). Donc le numérateur Test aussi; et la direction (/', ,/Wj, n\) vérifie, comme au n« 14 (p. 293 )y la condition de perpendicularité sur la normale aux ondes.

En réalité, la direction (/', m', n') de la vibration fait, avec le plan de Tonde, un petit angle, appelé e au n® 15 (p. 299), dont le sinus

/' cosa -f- /n'cosp -4- n' cosY ou w ( //'h- m/n' -f- /i/i') s'obtiendra si Ton peut évaluer sensiblement le trinôme

//'-h mm' -h nn\

Dans ce but, ou plutôt pour calculer directement sine, appelons K la racine carrée de la somme des carrés des trois dénominateurs qui figurent dans (167). L'on aura

(174) /'=;^(/VW-r-Pd — m.fWM-n.eV), m' = ..., /i' = ....

Multiplions ces équations par /to, mw, «w, et ajoutons. 11 viendra, en utilisant finalement l'équation exacte (168),

(175) sine = - ^ (UVW -h d«U -4- e«V H- f«W).

Or, dans cette expression de sine, la parenthèse est du troisième ordre de petitesse, comme ses quatre termes, tandis que K est seulement du second ; en sorte que Ton pourra, sans erreur sensible sur e, évaluer w, dont K, U, V, W sont fonctions explicites, par l'équation seulement approchée (172).

56. Ellipsoïde dit (improprement) « d'élasticité », ou ellipsoïde inverse. — Formons, à un facteur constant près, l'expression

en élevant au carré les dénominateurs des trois rapports (173) et multipliant respectivement par a*U, 6* V, c'W. Le premier des trois pro-

NON SYMÉTRIQUES : ELLIPSOÏDE INVERSE, DIT d'6LASTIGITÉ. l\\'J

duits est

/,.;;) ; ?J? da»U(mJc«\V-n.e6*V)

— r • /(/n.fc'W — n.e6*V) -h 2 --P.d/.

Ajoutons-y, terme à terme, les deux autres produits, analogues. La somme (séparée) soit des quatrièmes termes, soit des cinquièmes, sera nulle identiquement; et celle des sixièmes sera, vu la dernière

UVWP*

relation (i65), 2 ^ — > tandis que celle des premiers vaudra,

UVWP'

diaprés (172), ^ — • Nous aurons donc en tout, abstraction

faite d^un dénominateur commun («>',

■d«a«UH-e*6«V-4-f«c«W

uvw

-h-r^— -[a«U(/n.fc*W— n.e6«V)«-i-...J.

Mettons, dans le trinôme final entre CFOchets, le premier lerme sous la forme

a«6«c« UVW (-^ . fc /W ^ -eb v/vV ,

et joignons-y les deux termes analogues en observant que, si Ton

pose

a/U 6v/V cy^VV

a'=dav/ÏJ, P'=e^v/V, i=îc^^,

il suffira d'appliquer l'identité classique

( Pr - yP' )» -^ ( Ta - «t')' + ( «P' - P«' )*

= (ai-+. pi-h Y») (a'«-4- ?'«-H -f'«) - (aa'-h pp'-h yy')--

Le trinôme entre crochets vaudra donc, vu que aa'-+- Pp'4- yy' = P»

a«6«c»UVW [(^ + ï^ + ^) (<1'«'U -^ e«6«V-f-f«o« W)- P»] ;

et Texpression (178), où se détruiront les deux termes en UVWP*, B. - IL 27

/il8 MILIEUX ASYMÉTRIQUES : ELLIPSOÏDE INVERSE, EXPRIMANT LA CORRÉLAT.

acquerra le fadeur commun d^ a' U -H e* 6' V -H Pc' W, qui s'y trouvera multiplié par le premier membre, nul, de l'équation (172).

Ainsi, l'expression (176) s'annule; et, en y remplaçant U, V, W par leurs valeurs (i65), elle donne

Cela posé, à parlir de l'origine, portons, dans le sens approché (/',, m'i, n\) de la vibration, une droite, égale à l'inverse de la vitesse w de propagation, et dont nous appellerons X, Y, Z les projections sur les axes. Ces coordonnées de son extrémité seront évidemment

et il en résultera des valeurs de /'j, m\, n\ qui, portées dans (179), donneront -

(181) aîX*-T-6«Y*-4-c5Z«=:i.

Donc l'ellipsoïde exprimé par l'équation (181), indépendant des coefficients d, e, f d* asymétrie, a ses demi-diamètres im' erses de la vitesse w de propagation des vibrations orientées {sensiblement) suiçant leurs sens respectifs : c'est l'ellipsoïde dit d'élasticité, ou inverse, de la théorie de la double réfraction ordinairement exposée dans les cours de Physique (*).

(') Il résultait, dans le cas simple de symétrie, des équations (3o) (p. 29a) qui donnent les trois produits (w^ — a})l'\i (w- — 6')m'i', (w^— c-)/i'|* exacte-

cos' 01 cos' 3 ces' Y ment proportionnels aux termes — r => -s — ^î» —^ — ^» dont la somme est

nulle en vertu de (29).

La seconde propriété capitale, dont jouit alors l'ellipsoïde, d'avoir les deux axes de son ellipse d'intersection par le plan d'une onde orientés suivant les deux vibrations possibles de celle-ci, résulte de ce que les mêmes relations (3o) mettent la direction {l\, m\, n\ ) du rayon de l'ellipsoïde et de cette ellipse suivant lequel se projette sur elle la vibration, dans le plan de la normale à Tellipsoïde correspondante, qui a la direction ià^l[, b^m\y c^n\) et de la normale même au plan d'onde, à cosinus directeurs cos(a, P, Y). En effet, cette dernière direction est perpendiculaire à la normale aux deux autres, laquelle a ses cosinus directeurs proportionnels à

ou à