EMRE LA DIRECTION DES TIBRÀTIONS ET LA VITESSE DE PROPAGATION

L'emploi d'un pareil ellipsoïde, ayant ses diamètres en relation simple avec la vilesse de propagation des vibrations de même sens dans des ondes planes, fournissait le moyen le plus naturel de passer, par voie d'induction ou de généralisation, du cas des cristaux uniaxes, anciennement traité par Huygens, à celui des cristaux biaxes; et c'est à peu près ainsi qu'ont été découvertes les lois générales de la double réfraction. Fresnel, en effet, déduisit d'abord une telle propriété représentative, pour les uniaxes, de la construction d'Huygens relative au rayon réfracté extraordinaire du spath, combinée avec l'hypothèse que l'inclinaison de la vibration sur l'axe déterminait la vitesse de propagation et avec les considérations de symétrie, aussi simples qu'ingénieuses, qui venaient de lui apprendre les directions respectives des vibrations, supposées transversales, des deux ondes, Tune, à vilesse constante, l'autre, à vitesse variable, ayant une inclinaison commune quelconque par rapport à l'axe : car de là résultait, pour un certain ellipsoïde de révolution déduit de celui d'Huygens, la double propriété de donner, par les deux axes de son ellipse d'intersection avec le plan d'une onde, les directions mêmes des deux vibrations possibles pour celte onde et leurs vitesses de propagation. Puis il eut l'inspiration géniale, dans le cas de cristaux moins symétriques, de rendre simplement inégaux ses trois axes, tout en lui conservant les deux mêmes propriétés ( * ). Il est vrai qu'il supposait les diamètres directement et non pas inversement proportionnels aux vitesses de propagation ; mais il se trouvait assez sur la voie pour qu'une rectification ultérieure lui permît bientôt d'atteindre complètement le but (^).

ou enfin, d'après (3o), à

cosa cosp cosy *

car les produits respectifs de ces expressions par cos(a, p, y) ont visiblement la somme zéro. Donc le rayon à direction (/p/Wp n\) coupe bien normalement Fellipse et en est un axe.

(') Œuvres complètes de Fresnel, t. II, p. 261 : Premier Mémoire sur la double réfraction (19 novembre 1821): voir surtout p. 274 à 288.

(^) Cette rectification revenait à remplacer chaque ellipse diamétrale de Tellipsolde (181), resté malheureusement inconnu de lui, par la courbe du quatrième degré obtenue en inversant séparément tous ses rayons suivant leur propre direction; ce qui lui laisse ses axes de symétrie.

Alors les coordonnées que j'appellerai X, Y, Z, de la courbe en question, ou même de la surface propre à remplacer, quoique peu avantageusement, TellipsoTde inverse, sont /'jW, m'i w, /ijW, avec w = yj\}-^ Y^-h Z'; et la relation (179),

420 MILIEUX ASYMÉTRIQUES ! PROPRIÉTÉS DE L'eLLIPSOÏDE INVERSE;

La démonslration précédente montre que Tune des deux propriétés de l'ellipsoïde, celle de représenter les vitesses co par Tinverse de ses demi-dianoètres, subsiste encore quand la contexture du corps considéré a perdu toute symétrie. L'idée, qu'avait eue Fresnel, de faire dépendre uniquement de la direction de la vibration, dans chaque cristal, la vitesse de propagation des ondes planes, était donc non seulement vraie, mais plus générale qu'on ne l'aurait supposé.

Seule, l'autre propriété, celle qui concerne l'orientation des vibrations suivant les deux axes de l'ellipse d'intersection de l'ellipsoïde par le plan de l'onde, disparaît. Car on devra, pour avoir la direction approchée (Z^, m',, n\) de la vibration, prendre, dans cette ellipse (supposée construite autour du centre de l'ellipsoïde), un des deux diamètres dont la moitié aura pour longueur l'inverse d'une racine w de l'équation (172); or la grandeur de cette racine variera avec P, c'est-à-dire avec les coefficients d'asymétrie d, e, f.

multipliée par w', donne, pour le lieu des points (X, Y, Z ), la surface de Fresnel (dite à tort surface d^ élasticité)

a^\^-\- 6«Y2-hc2Z»= (X^-h Y' -h Z')'.

L'identité usuelle qui nous a conduit (p. 417) à la formule (179) prend, en y posant

a = aX, ?=^»Y, y = cZ et a'= -, ?'= r» r'= -'

la forme

= (X.-^ r+Z')' + (5 - -y'Y'Z.-.(î - f/z'X' + g - ^y VY:

Comme, ici, a, 6, c différent peu, les trois derniers termes sont du second ordre de petitesse et négligeables. Donc l'identité, divisée par a'X*-+- &'Y'-+- c'Z^, devient sensiblement

Xî Y2 Z^ (X^-f-Y^+Z^)^

a' "^ 6^ "^ c' " a^X'-HÔ'Y'-i-c'Z»*

Or la surface précédente de Fresnel est, par son équation môme, le lien des points où notre second membre se réduit à i. On peut donc la confondre avec l'ellipsoïde

C'est celui-là que Fresnel avait d'abord considéré. Il mérite de rester dans l'Histoire de la Science; car il a eu effectivement le rôle, qu'aurait mieux rempli l'ellipsoïde inverse, de moyen de généralisation ou ^instrument de découverte, pour passer des uniaxes aux biaxes. La notion, pourtant simple, de l'ellipsoïde inverse (181) n'est venue qu'un peu plus tard.

DIRECTION DBS VIBRATIONS DANS CET KLUPSOÏDE. 4'^I

On peut, dès à présent, reconnaître sans calcul que, dans le plan d^onde diamétral donné, les deux vibrations possibles feront, chacune avec l'axe de Tellipse qui en sera le plus voisin pour la direction, deux angles sensiblement égaux. Car la forme de Téquation (172), où U, V, W, P sont définis par (i65), et qui est ainsi homogène en /, m, /i, montre que, pour les rapports mutuels de /, m, n, P correspondant au plan d'onde donné, le terme du premier degré, seul, contient P, dans

l'équation du second degré en — • Donc le produit des deux racines — j j ~ est indépendant de P, c'est-à-dire des coefficients d'asymétrie d, e, f; et ce produit garde sa valeur relative au cas où, d, e, f s'évanouissant, les racines sont précisément les carrés des demi-axes de l'ellipse. Ainsi, les carrés des deux rayons suivant lesquels se font les vibrations ont pour produit le produit même des carrés des demiaxes; ou, encore, les carrés des inverses de ces rayons ont même moyenne proportionnelle que les carrés des inverses des demi- axes. Mais nos ellipses étant, par hypothèse, de faible excentricité, cette moyenne géométrique ne diffère pas sensiblement de la moyenne arithmétique correspondante; et l'on peut dire que les carrés des inverses des demi-diamètres considérés ont même somme que les carrés des inverses des demi-axes. Or on sait que, dans une ellipse, ce sont les demi-diamètres également inclinés sur les deux axes respectifs qui jouissent de cette propriété.

A chaque racine de l'équation (172) il correspondra, de part et d'autre de l'axe voisin, deux diamètres différents de l'ellipse, quoique un seul des deux satisfasse aux proportions (173) ou donne la direction cherchée de la vibration. La raison de cette ambiguïté est dans le fait que l'équation (172) en a> contient d, e, f (dans P*) au second degré : ainsi les vitesses de propagation sont communes au milieu proposé et à celui qui n'en diffère que par les signes de d, e, f. Donc notre construction était tenue de fournir à la fois les directions des vibrations pour ces deux milieux (*); et elle resterait incomplète, si nous ne trouvions pas quelque moyen de discerner le diamètre convenant à chaque milieu pour la direction de ses vibrations. A cet effet, nous considérerons ce que nous pouvons appeler Vaxe d'asymétrie du milieu.

(') On remarquera l'analogie de ces milieux avec ceux qui seraient inverses l'un de Tautre, ou à ellipsoïdes communs, dans la théorie de la conduclibililé (t. I, p. 147).

4^2 AXE d'asymétrie; obliquité mutuelle

57. Axe d'asymétrie : obliquité mutuelle des deux plans de polarisation. — Cet axe sera la droite ayant pour projections sur le-* axes coordonnés les trois coefficients d'asymétrie d, e, f; nous appellerons V sa longueur et cp Tangle, aigu ou obtus, que fera avec elle la normale aux ondes données. Nous aurons donc

(182) v = y/d*H-e«-4-fS V=^-^^^.

'tu

Si la longueur v de Taxe d'asymétrie est assez petite, les deux racines

—5 de l'équation (172) seront réelles et positives. Car, à part le cas tout

exceptionnel de perpendicularité de la normale aux ondes sur Tune des deux sections diamétrales circulaires de Tellipsoïde, ces racines sont positives et inégales dans les milieux symétriques, ou quand v = o.

Or il est clair qu'une légère variation du coefficient de — j dans le

premier membre de Téqualion, au moment où v cesse d'être nul, n'empêchera pas ce premier membre de changer de signe, pour une

valeur de — voisine de chacune des deux précédentes qui l'en faisaient changer à la limite v = o.

Nous supposerons, pour fixer les idées, les axes des j?, y, z choisis de telle manière que, d'une part, on aila>^>c, et que, d'autre part, un observateur ayant les pieds à l'origine, la tète du côté des y positifs, enfin l'angle des zûc positifs devant lui, voie à sa gauche l'axe des z, à sa droite l'axe des œ.

Imaginons d'abord que l'axe v d'asymétrie ait la direction des y positifs, ou que d=:o, e = v, f=z:o, et que, de plus, l'angle o soit très petit, ou que l'on ait sensiblement, à des écarts négligeables près du

second ordre, P=— > /n=r-, l et n étant du premier ordre de peti— tu w '

tesse. L'ellipse d'intersection de l'ellipsoïde par le plan de l'onde se confondra donc, presque, avec la section principale ayant respectivement pour demi-petit axe et pour demi-grand axe, suivant les a? et les z positifs, les deux inverses de a et de c. Dans ces conditions, le premier et le troisième des rapports (173) donneront, en divisant par V les deux dénominateurs,

(i83) \ — -. ^ 7 4— T' ou

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