POUR LES ONDES DE TOUTE ORIENTATION

degré (172) quand P y est pris nul, transforment Tensemble de ses trois premiers termes en un carré parfait, affecté d'un coefficient évidemment positif. Donc le premier membre de (172), y compris son quatrième terme, qui est également un carré, ne peut devenir égal au second membre, zéro, pour des valeurs réelles de co, que si Ton a

alors P=ro, ou cosç=:o, <p= -• L'axe d'asymétrie doit donc être

perpendiculaire sur les deux normales aux sections circulaires et, par suite, sur leur plan, qui est celui des zx. En d'autres termes, on devra avoir d = o, f = 0; et l'axe d'asymétrie coïncidera, en direction, avec l'axe moyen de r ellipsoïde.

Dès lors, si l'on choisit convenablement les noms et les sens des coordonnées positives, on pourra poser aussi e =1 v, ^ = P, sans cesser d'avoir a > 6 >• c.

L'équation (172) ordonnée par rapport à to*, après substitution

à /, m, n de ^^^(""^^^^^ et à U, V, W, P des expressions (i65),

sera

!(»,* — [(6* -4- c») cos'a-f- (c'-^a») cos*p H-(a«-f-6«)cos«-f — v«a«6»cîcos«P]u>« V -+■ (6'c«cos«a -»-c*a'cos*p -+- a«Z>'cos*Y) = o.

Le troisième terme, produit des deux racines a>', étant essentiellement positif, les deux racines to* sont de même signe. D'ailleurs elles ne peuvent être que positives, si elles sont réelles; car leur somme, coefficient de — w* dans le second terme, est voisine de sa valeur (somme de carrés) pour v = o, vu que sa dernière partie,

— ^^a^b^c^ cos*p,

se trouve, à cause du facteur v*, beaucoup plus petite que les parties précédentes ('). Ainsi, les conditions de réalité, pour w, sont les mêmes que pour w*.

Or il vient, en résolvant et négligeant dans 2(o' un terme

qui est du second ordre :

(186) 2to« =(6«-+-c«)cos*a-h(c«-4-a»)cos«3 -f-(a*-i- 6«)cos«Y=h R,

(') On remarquera que cette petite partie, négative, est sensiblement le produit de la somme tout entière, peu diiïérente de 26^ (ou de 3a', ou de ac'), par — ^v'a'c^ cos^p, ou par — i'^^a^c^ cos'9. L'effet de l'asymétrie sur la grandeur des deux racines u' est donc, sans changer leur produit, de réduire leur somme de la petite fraction {v'a'c' cos'9 de sa valeur, fraction variable seulement avec l'angle 9 de la normale aux ondes et de l'axe d'asymétrie.