POUR LES ONDES DE TOUTE ORIENTATION

deux carrés pouvant s^annuler séparémeot, eldontrun, proportionnel à I — cos'a — cos*Y, c'est-à-dire à cos'P, est susceptible de se réduire avec le terme en v*. Cette décomposition s'effectue par l'identité

„ [ i — cos»U'— cos»U''-f-cos2U'cos*U''

( = (cosaO — cosU' cosU")'-!- sin*'20 (i— cos'a - cos'y) •

on la vérifie en développant, effectuant d'abord les réductions évidentes, puis recourant, pour les réductions plus cachées, aux deux dernières formules (189). Or, si, considérant le trièdrequi a pour faces respectives l'angle aO des deux normales aux sections circulaires et les deux angles U', U^de ces normales avec la normale aux ondes, on appelle *I> le dièdre des deux dernières faces U' et U'', la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donnera

ces 2 0 = cosU'cosU"'-!- sinU'sinlj'cos*; ce qui change l'identité (igS) en celle-ci: (194) sinîlI'sin«U' = sin2U'sin*lI''cos«*-f-sin*2Ôcos«p.

Et l'expression (192) devient enfin

Rï =:r ( aî - c* )» sin« U' sin« U' ces» *

^'^^^ \ -h [(a«— c«)« sin«2Ô — v*a«c»(a«-h c»)*] ces» p.

Le premier carré figurant au second membre s'annule, sans que le dernier terme en fasse autant, quand * est droit; ce qui arrive une fois dans chaque demi-rotation de la normale à Tonde autour de la normale à une section circulaire, d'un même côté du plan des zx, du moins lorsque l'angle U ou U', constant dans ce mouvement, est inférieur à 26; car *I> y varie visiblement entre les deux limites zéro et -ïT. Comme alors le dernier terme, en cos*p, seul subsistant, ne doit pas être négatif, une condition nécessaire de réalité sera

qj et

(19G) *^ac<^—r- — -sin20.

Cette condition suffira d'ailleurs pour que R et co soient réels; car, dès qu'elle est vérifiée, l'expression (195) de R', somme de deux carrés, ne peut plus devenir négative.

Lorsque ^^ac atteint sa grandeur maxima rsinaô, l'expres-

sioD de R est, quant à la valeur absolue,

(a*— c*) sinU'sinU'cos<I>, ou (a*— c*)(cos26 - cosU'cosU');