DISPERSION DKS RADIATIONS A COURTE PÉRIODE

63. Termes exprimant la plus importante de ces corrections. —

On se perd au milieu d^une pareille complication; et il est difficile

de n'y pas sacrifier quelque chose de la rigueur. Comme il s'agit,

en somme, d*exlraire d^une multitude de variations confuses des

moyennes intelligibles et simples, nous admettrons qu'on ait fait choix,

pour établir les équations du mouvement, d'éléments de volume

dont les dimensions soient un peu comparables aux longueurs d'onde;

de manière que leur composition soit celle du milieu lui-même, et

d'il T O que, par suite, leur force motrice suivant les axes, p — ~7~r — P^'

unité de volume, admette directement, dans son expression, les dérivées secondes en t de déplacements Ç, tj, Ç tout uniformisés.

Il est vrai qu'alors les pressions élastiques exercées sur les faces de l'élément de volume varieront un peu trop, d'une face à son opposée, pour que leurs différences correspondantes soient complètement assimilables à des difTérentielles; et, de plus, les déformations dont dépendent ces pressions pourront bien n'être pas très exactemeot exprimées, même en moyenne, par les dérivées premières des déplacements uniformisés (quoiqu'il fût impossible d'y employer celles des déplacements réels, affectés d'inégalités peut-être aussi courtes que les dimensions d'une face). Toutefois, comme les complications qu'il s'agit d'étudier ou mieux d'éliminer n'existent pas dans l'éther libre,

mêlées, du premier ordre par rapport aux différences finies et du premier par rapport aux différentielles, qu'il s'agit alors d'intégrer. Elle se transforme en une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants et à second membre rapidement variable (de forme implicite, mais très petit et sensiblement nul en moyenne), quand on y introduit, au lieu de la fonction qui y figure, la même fonction uniformisée. Or, quoique ce second membre reste inconnu, on peut voir, aux pages 535 à 544 <le mon Volume intitulé Applications des potentiels à Vétude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques ^ etc., que toutes les circonstances importantes du choc se déterminent facilen)ent et d^une manière fort approchée, tandis que l'emploi de l'équation exacte aux diffé^encc^ mêlées, ou de la fonction prise avec ses inégalités successives de plus en plus complexes, conduit à des calculs presque inextricables dès que ces inégalilé5 deviennent un peu nombreuses.

Dans l'étude des ondes liquides de translation, ou appartenant au type de Vonde solitaire, c'est une sorte d* uniformisation des deux composantes horizontales a, V de la vitesse, peu variables, il est vrai, du fond à la surface, qui permet d'établir les équations de seconde approximation (aux dérivées partielles) les plus simples dont le problème paraisse susceptible : elle consiste à choisir comme fonctions inconnues, au lieu de m, v, leurs moyennes U, V le long de chaque verticale {x,y). Mais il s'agit alors d'éliminer une variable, la coordonnée Zf et non pas de courtes inégalités, fonctions de cette variable.

PRINCIPAL DES TERMES QUI l'bXPLIQUENT. 4^9

qu^elles sont introduites uniquement par la présence de la matière pondérable et par ses résistances Jl^., t^R^, A^ au mouvement vibratoire, il est assez naturel, dans une évaluation approximative, de négliger reflTet, indirect, de l'existence de cette matière sur les seconds membres des équations (6) (p. 272), uniquement dépendants des forces élastiques de Téther et restés, jusqu'à présent, de mêm-e forme dans les corps que dans l'élher libre.

Ne touchons donc pas à ces seconds membres, censés contenir également les Ç, T), Ç moyens ou sans irrégularités; mais contentons-nous, pour saisir le gros des phénomènes en vue, d'uniformiser les déplacements 5, 7), Ç, dans Texpression (i) (p. 269) de la résistance (R^, Ry, Rs) des molécules que contient l'élément de volume. Les quantités 5, r,, Ç, qui y figurent par leurs dérivées secondes en t, sont les déplacements effectifs de l'éther entourant la molécule; et une formule approchée de calcul intégral, donnée tout à l'heure en note (p. 4^7)) montre qu'on peut les rattacher aisément aux déplacements uniformisés. Si £ désigne le rayon de la petite sphère d' uniformisation, rayon en rapport de longueur avec les intervalles moléculaires mais beaucoup plus grand qu'eux, les Ç, tj, C réels seront sensiblement, d'après cette formule, les excédents des Ç, tq, Ç uniformisés, sur les trois produits

g'* des paramètres A, de ceux-ci par — • 11 n'y aura ainsi qu'à remplacer

Ç, T,, Ç, dans les expressions (i) de R^, Ry, R^, puis dans les suivantes, (4), des résistances moyennes cR.;^, Ay, A^, respectivement par

avant de porter les expressions de Ji^) Ay, ai- dans les équations (6 ) du mouvement.

Comme l'hétérotropie est assez faible, chez tous les corps transparents, pour que les coefficients indirects de résistance, D, E, F, soient petits à côté des coefficients directs A, B, C, et pour que ceux-ci soient presque égaux, ou pourra négliger les termes qui contiendraient à la fois le facteur e* et Tun des facteurs D, E, F, B — C, C — A, A — B. Si alors on pose, par exemple,

(.00) p ^ --=XK,

où X désignera un coefficient spécifique positif en rapport de petitesse avec 6*, les premiers membres des équations (6) s'accroîtront' simplement du terme

rf»A,J û^îAjT, d^l^ti

<^oi) -'^î^-Sïi-' ""'^«"^Ti-' -""^-di^'

44o DISPERSION DES RADIATIONS A COURTE PÉRIODE :

6&^. Dispersion soit dans les corps en repos , soit dans les corps en mouvement. — Supposons qu'il s'agisse d'une lumière simple, où 5, r^, Ç et, par suite, leurs paramètres difTérenliels A, seront, comme au n" 61 (p. 433) de la forme

P cosX'f -h Q sinA/.

Alors on aura

^^i — — ^^^îv;» ^<>;)>

et les termes (aoi) des équations (6) de mouvement se grouperont tout naturellement avec ceux des seconds membres, où ils deviendront — xX:*{xA2(Ç, 7j, Ç). Vu d'ailleurs les faibles valeurs qu'aura toujours la dilatation cubique 6, il est permis, à cause du très petit facteur x, d'écrire ces termes

et leur effet sur les équations du mouvement se réduit à y multiplier le

coefficient (j. par le binôme i — xA*, fonction de la période vibratoire.

En conséquence, le carré de Ja vitesse de propagation dans un corps.

isotrope, qui était — - — ^ , = a*, deviendra a-li — xA:'): et cette

vitesse, si on l'appelle to, sera sensiblement ( 2o3 ) to = a(i— -A:»].

Comme k est en raison inverse de la période (ou de la longueur d'onde dans le vide), cette vitesse croit avec la période^ conformément à la formule simplifiée de dispersion qu'on doit à Cauchj et qu'emploient les physiciens.

Le terme, inversement proportionnel à A'*, qu'y ajoute l'action moléculaire (p. 433) et qui est sensible surtout lors des périodes les moins petites, permet de compléter la formule précédente, ou celle, corrélative, de l'indice N de réfraction. Alors l'expression du carré w* de la vitesse de propagation, développé finalement en série, prend la forme

(ji(i -f- A — y.a) / I xA* \

p ( I -h A /2 I a 1 xa I

PRINCIPAUX DES TEBMES QUI L'eXPLIQUKNT. 44 >

Sous cette forme, elle devient presque suffisante, pour Tensemble des radiations caloriques et lumineuses, dans les corps transparents, c'est-à-dire quand on peut négliger les phénomènes d'absorption, comme nous l'admettons ici.

Mais nous avons supposé notre corps en repos. S'il était animé d'une translation rapide (Va-, Vy, V-), les dérivées secondes de A,Ç, A,T), Ajî par rapport au temps devraient être prises, comme on a vu (p. 397), en faisant croître t de dt et Xy j, z de V^,.^^, \ydly Nzdt, Alors, dans le cas d'ondes planes, non évanescentes et se propageant, où Ç, Y}, Ç, AjÇ, . . . sont presque uniquement fonctions de la variable principale t — Ix — m y — nz considérée souvent au cours de cette étude, chacune des dérivations complètes en t dont il s'agit donne évidemment la dérivée partielle en t correspondante, ou prise sur place, multipliée par le facteur constant

(,-/V,-^VV nV,= ,-V-'">^" + VrCosP + VzCosr (2o5) \ y,

en désignant par V la vitesse de transport du corps, estimée suivant

le sens de la progression des ondes.

Les deux dérivations à effectuer sur A,^, AjT), A^Ç multiplieront

donc ces paramètres différentiels non plus par — â:*, mais par

— Â:*f I I • Et, le terme principal de dispersion étant justement

le terme — xA:', la propagation se fera sensiblement comme si, toutes choses égales d'ailleurs, le mouvement avait, dans le corps supposé en repos, non pas sa période vraie, inverse de /r, mais une période inverse du coefficient, un peu différent,

(206 j k' = k(i—^\=zk

Ainsi, la dispersion se produira presque comme dans le même corps en repos, mais où la lumière proposée aurait une période vibratoire

égale à sa période vraie multipliée par le rapport ^« Or <o — V

est la vitesse des ondes par rapport à un observateur entraîné avec le corps. Pendant une unilé de temps, un tel observateur compte, ou voit passer à côté de lui, seulement les ondes qui le dépassent ou qui, au commencement de cette unité de temps, occupaient derrière lui la longueur o) — V. Elles y étaient moins nombreuses que sur la lon-