VIBRATIONS DK L'ÉTUER DANS UN CORPS TRANSPARENT DISSYMÉTRIQUE
dont elles ont les formules (à un facteur constant près). Si, par exemple, une rotation quelconque des axes amène les a: dans une direction définie (relativement aux x^ y, z primitifs) par trois cosinus directeurs donnés a^ b, c, la résistance suivant ce nouvel axe sera, comme on sait, aAx-\- b^y-^ cSi^, ou, quant à sa partie dépendant des dérivées de i\ t/, ;%
Or Texpression qui y multiplie pa est justement la composante, relative au nouvel axe, d'une rotation moyenne dont les composantes
, . . . ., . , dfi' dx: dx: dt," dk' dr^"
relatives aux axes primitifs seraient -; j— ? -; r- > -7 r- >
^ dz dy dx dz dy dx
car les rotations moyennes se composent et décomposent, tout comme
les rotations, à la manière des forces.
Les nouveaux termes (218) disparaîtraient, si la contexture du corps admettait un plan de syméLriej celui des xy^ par exemple, ou qu'on pût renverser le sens d'un axe, de l'axe des z^ sans changer les expressions de ^j., ^y, êi^- Car, par exemple, ce renversement du sens des js, qui altère le signe de la première expression (218) en y changeant Ç en — ^eldz en — dz, devrait cependant ne pas modifier ê^^^- On serait donc forcé de poser a = o.
Ainsi, un liquide contenant en dissolution, orientées indifféremment dans tous les sens, soit des molécules symétriques (pourvues d'un plan de symétrie), soit, par égales quantités, des molécules dissymétriques (sans plan de symétrie) et les symétriques de celles-là, ne pourra donner lieu à des résistances où figurent les termes (218). Et les parties de la résistance, qui dépendent des petites inégalités de la phase des mouvements aux divers points de leur surface, s'y évanouiront, quoique ces molécules puissent être aussi étendues ou même plus étendues que celles des corps où ^^î» ^yi ^z manifestent de telles différences de phase.
69. Ondes planes à vibrations circulaires. — Supposons d'abord isotrope le corps considéré, ce que l'on pourra admettre si c'est une dissolution fluide. Alors divisons par jjl les équations (6) du mouvement (p. 272), où A, B, C seront égaux, D, E, F, D', E', F' nuls, et aux premiers membres desquelles on aura joint les termes (218). Puis posons, comme plus haut,
p(i-+-A) I pa 7.^
(-210) — -= — » et, en outre, '— = — >
^' (1 a* ' ' IX a
458 MILIEUX TRANSPARENTS ISOTROPES, MAIS DISSYMÉTRIQUES :
OÙ g désignera ainsi un nouveau coefficient spécifique dérivé de a. D'ailleurs, rien n'empêche, s'il doit être question de vibrations pendulaires, que A et {X comprennent implicitement leur petite partie, dont il a été parlé plus haut (p. 4^3 et 44o), proportionnelle, directement pour A et inversement pour [x, au carré de la période. Les trois équations, condensées en une, seront alors :
iit^ [a^ a \dz dyj'
^ ^ \ a* a \dx dz J
^ ^ V \dy "- d^)\ " ^'^^' ^' ^) " d{x.y,z{
On pourra supprimer, aux seconds membres, les termes en 0; car ces trois équations (220), différentiées en x^ y y z et ajoutées, donnent
-pY == Oj comme dans le cas ^r=o; et il en résulte de même, pour
les catégories de mouvements que l'on étudie,
/ f N A d^ dri dïi
(220 bis) 6 -= o ou -r -H -r* -+- T7^ = o.
^ ^ dx dy dz
Bornons-nous au cas d'ondes planes se propageant, à vibrations pendulaires; et choisissons le sens de leur progression pour celui des z positifs.
Les déplacements Ç, t), C y seront fonction, à une première approximation, de la variable unique ordinaire t — Ix — my — nz^ ici réduite à t — 72^ ou à t — -> et qui, à une approximation plus élevée, devient seulement leur variable principalcy a:,/, z pouvant alors figurer comme variables accessoires, corrélatives à des variations lentes. Ces déplacements Ç, t), Çont ainsi la forme A cos[a 4- k{t — /i^)], avec/', n constants et communs aux trois, mais avec A et a propres à chacun et
w/i/?ew fonctions de J7, y, 5. Reculons-y de —T> vers le passé, l'origine
des temps, ou remplaçons ht par kt : ils constitueront alors une
deuxième solution particulière des équations (220), mais avec des sinus au lieu de cosinus. Et si enfin nous ajoutons ces nouvelles expressions de Ç, yj, Ç, multipliées par y/ — i, aux proposées, les trois sommes respectives fourniront encore une solution, mais symbolique, de la forme
