ONDES PLANES A VIBRATIONS CIRCULAIRES

pour chaque déplacement, solution où la partie réelle ne sera autre que la fonction proposée Ç, tj, Î elle-même.

Ainsi, les vraies expressions û^e ?, r,, Ç correspondant à des ondes planes, propagées dans une direction donnée et à vibrations pendulaires, pourront toujours s'obtenir par la formation d* intégrales symboliques, dont elles constitueront la partie réelle, et oà î, tj, ^ seront les produits respectifs de trois fonctions imaginaires L, M, N, lentement variables, de a?, y, z, par une m^ême exponentielle de la

/or/ne e*^'-'*-"*^'-"*^^^-^, réduite ici à ^^{'-«-'V^ ou à e \~^^ ~ , /, m, /i, (I) étant réels et constants, comme k. Nous prendrons, par conséquent,

(m) $ = Le*('-i)'^, , = M/('-Sh'-, ; = Ne*('- s) >'-■■;

et, abstrayant d'abord les lentes variations de L, M, N, ou supposant latéralement indéfinies les ondes, nous ferons L, M, N constants.

Or ces expressions imaginaires de $, r,, 2^, portées, en premier lieu, dans (220 bis)y donnent

('iii) N = o ou Ç = o,

relation indiquant la transversalité du mouvement vibratoire.

En substituant ensuite les dçux premières, ?, tq, dans (220) et multipliant les résultats par a*(o', il vient

, ^ , (a>^— a*)L— (a^^aojv/— T) M = o,

{igkatù /— i)L-T-(a>2— a*)M = o.

Ajoutons celles-ci, multipliées respectivement par — M et par L. La suppression du facteur commun igka(ù\j — i donnera L*-hM*-=o, ou MzzidbLy — j. C'est dire que Ton a

(224) soit M = — L/— 1, soit M = Lv/— i.

Les deux vitesses 10,, a>j de propagation correspondantes, essentiellement positives par hypothèse, sont données ensuite par les équations (228), réduites à

(225) tof — a^Âraioi = a-, (i>| -1- 2^A'a(ui= a*.

Leur expression est donc ai^ài gk -\' \Ji-\- g^k^\ ou, très sensiblement et en les séparant,

(226) u), = a(i-f- ^A), îMi=a{\ — gk).

46o MILIEUX TRANSPARENTS ISOTROPES-DISSYHËTRIQUES :

Laissons subsister L comme coefficient arbitraire (de la forme C W-*), dans les deux solutions simples ainsi obtenues. Les parties réelles des expressions (221) de Ç et tj donneront alors, pour les déplacements effectifs des molécules dans ces deux systèmes d'ondes planés, à un facteur constant près et en choisissant convenablement, dans chacun, Torigine des temps :

(227) 5 = CCS (A:/ )» r\ = sinl kt )•,

( xoM ) { ~ ces l kt ) , T. = — sin ( kt ) •

On a, dans tous les deux, Ç*H-7i*:=:const. : donc les molécules y décrivent des cercles. Mais ces cercles sont parcourus, dans le premier système d^ondes, en tournant suivant le sens que nous appellerons direct et qui, dans l'angle des xy positifs, va des x positifs vers les y positifs, tandis qu'ils le sont en sens inverse dans le second système.

70. Polarisation rotatoire, pouvoir rotatoire des dissolutions. — La superposition des deux solutions simples donne une nouvelle solution, où les vibrations sont rectilignes, savoir :

( Ç — 2 CCS - (- î- )^ cos A:< (— -4- ~ Mh

c=2sin -( ] z\ ces \kt ( i ] z\ \

ou, vu les formules approchées (226),

[ . gk^z /. kz\ l t = 2 ces CCS [kt 1 ,

(229 bis) ^ L^ r L s

j . gk^z kz\ [ T) — 2 sm CCS I kt 1 •

La vibration s'y fait dans le plan dont l'azimut (p a pour tangente ^ > c'est-à-dire tang^^ — ^» et a, par suite, la valeur

L'azimut de polarisation varie donc proportionnellement au

POLAKISATION ROTATOIKE ET POUVOIRS ROTATOIRES. 46 1

chemin parcouru z. C'est en cela même que consiste la rotation du plan de polarisation, ou H polarisation rotatoire.

D'après la formule (aSo), cette rotation, dans les dissolutions transparentes considérées ici, est, conformément à la loi expérimentale approchée de Biot, proportionnelle à X:*, c'est-à-dire inverse du carré de la période, quand on regarde a comme indépendant de A:, ou que Ton néglige la dispersion.

Nous avons vu que, dans les expressions (218), le coefficient a s'était formé (à un facteur constant près) par simple addition de coefficients analogues, relatifs à chacune des molécules pondérables existant dans l'unité de volume du corps et supposées actives, c'est-à-dire pourvues, dans leur résistance à l'éther, de termes dépendant des dérivées en x^ y, z des accélérations. Il en sera de même, d'après la seconde formule (219), du coefficient g, pourvu toutefois que les molécules actives soient, dans le milieu, en proportion insuffisante pour influer notablement sur la vitesse a de la lumière.

Comme cette condition sera le plus souvent réalisée dans les solutions salines ou autres, on voit qu'alors, si la solution ne contient qu'une seule espèce de molécules actives, orientées, d'ailleurs, indifféremment en tous sens, le coefficient g sera proportionnel à la densité partielle de la substance active dans le milieu. Son rapport à cette densité mesure le pouvoir rotatoire de la substance. Et s'il y a plusieurs espèces de matières actives, mais sans action chimique les unes sur les autres ou n'altérant pas mutuellement leurs molécules, le pouvoir rotatoire de la dissolution se formera évidemment, comme le pouvoir réfringent, par la simple règle des mélanges.

On sait que toutes ces lois sont conformes à l'observation.

71. Perpendicularité des rayons aux plans d'onde , dans les ondes à vibrations circulaires. — Mais revenons aux solutions simples symboliques (221), pour y tenir compte des lentes variations de L, M, N avec œ, j, z. Les dérivées premières de L, M, N s'écriront

donc par les notations -r-; et leurs dérivées secondes seront

négligeables. Comme, dès lors, l'équation ^ :r-.o deviendra

to ox dy dz

N sera de l'ordre des petites dérivées de L, M ; et ses propres dérivées

s'évanouiront, réduisant ainsi, dans la troisième équation (220), AjÇ

k} à r S et faisant disparaître X, des deux premières équations (220).

462 niLIBVX TRANSPARENTS ISOTROPBS-DISSYMÉTRIQUES :

Vu que, d^ailleuis, Aj(S,7]), réduits à — .^^ > vaudront

ces deux premières équations (220), multipliées par a*to', deviendront immédiatement, au lieu de (228) :

( / o .xT / 1 ' \»/f •^^ 2a»w/— i dL

{•123 bis) '

1 {'igkatxi )/— i;LH-(a)* — a' ) M ^^ -+- 2 ^a ti>' -r : . -r-»

Multipliées respectivement par — M, L, et ajoutées, elles donnent

Substituons à M, dans le second membre, qui est très petit, les valeurs de première approximation ipLv^ — 1, et Téquation reste, même à la deuxième approximation ^

{^gkatii /-^j (L«-^ M2) -- 0,

continuant ainsi à donner M i^zp L\J — 1, ou à imposer aux orbites de Télher la forme circulaire, en projection sur les plans d^onde.

Dès lors, les deux équations (2286^) se réduisent à Tune d'elles, dont le premier membre est même annulé identiquement par la relation (226) qui a déterminé w; et l'on a simplement, après suppression du fadeur laiùsj — i.

[a^ WL \k ^ ) Oz

dL

C'est donc selon le sens des z que ï et, par suite, yj conservent leurs valeurs, sur chaque onde plane suivie dans sa propagation. Ainsi, les rayons lumineux, à vibrations circulaires, que transmettent les corps transparents isotropes-dissymétriques, sont perpendiculaires à leurs plans d'onde ; et, si Ton décrit deux sphères concentriques de rayons respectifs Wi et toj, constituant ensemble Vonde courbe enveloppe des ondes planes de toute direction dont les milieux auront passé simultanément par son centre depuis une unité de temps, le rayon lumineux suivi par le milieu de Tune de ces ondes sera la droite

NORMALITÉ DBS RATONS AUX PLANS d'oNDE. 4^3

joignant le centre au point de contact de Fonde plane correspondante avec Tonde courbe.

L'équation 6 == o, devenue d'ailleurs,

fera connaître N, c'est-à-dire le petit déplacement symbolique Ç, puis, par la partie réelle de celui-ci, le petit déplacement longitudinal effectif ï. Et la troisième équation (220), réduite à

/i __L\ x__ i^/^L <^M\ 0^/^ ,— .^\ \aî a>V ^ ' a\\y à-r ) a \àj^ " ^ ^ àx)'

deviendra, vu (226), identique à la relation 6 = 0 ci-dessus. On savait, en effet, que celle-ci peut remplacer l'un des trois (220).

Remarquons que L, de la forme CW-', reste une fonction lentement variable sans doute, mais arbitraire, de x et de/, permettant ainsi, dans le milieu dissymétrique, une délimitation latérale quelconque des rayons, non moins que dans un milieu symétrique.

72. Conditions définies, spéciales aux surfaces séparatives. — Prenons pour plan x --o des yz le feuillet moyen de la mince couche de transition existant entre deux milieux homogènes et isotropes dissymétriques. Les considérations qui, au n°31, ont permis d'établir les conditions définies (90) (p. 343) s'appliqueront encore, malgré la présence, dans les termes en g des deux dernières équations (220), des dérivées premières en x de XJ' et de t/. Car la petitesse du coefficient g assurera leur valeur finie à une première approximation; et comme, dès lors, T,, C seront graduellement variables avec Xy ainsi que, par suite, leurs dérivées secondes en t^ la démonstration subsistera même à une approximation plus élevée. Donc on aura toujours les quatre conditions définies (90), exprimant l'égalité des rotations moyennes et des déplacements tangentiels dans les deux milieux contigus, à leur limite commune.

D'ailleurs la relation 6 izz o ne laisse encore distinctes que deux des fonctions Ç, t^, Ç; et il y a lieu de continuer à juger suffisantes ces quatre conditions (90). En effet, malgré les nouveaux termes (en g), les relations définies (220) restent du second ordre quant aux dérivées relatives à Xy y, 5, les seules à considérer dans la fixation du nombre des relations définies, spéciales aux surfaces limites.

73. Double réfraction circulaire. — Cela posé, imaginons qu'un

464 MILIEUX TRANSPARENTS ISOTROPES-DISSYMÉTRIQUES :

rayon lumineux à cosinus directeurs donnés (cos/, sini, zéro), traversant le premier milieu (situé du côté des x négatifs) et exprimé par la partie réelle d'un système d'intégrales symboliques dans le genre des précédentes (221), atteigne la surface sépara tive à l'origine des coordonnées. Si Ton y appelle w la vitesse de propagation. /, m les

j . ^ (cos/, sin/) . , i-r • 4 1 1 • • • j»

deux quotients ^ et A Je coefficient réel ou imaginaire d amplitude C e'^V^, très lentement variable de Taxe du rayon aux parallèles qu'on lui mène dans le voisinage, les composantes de l'amplitude suivant les X et les j, c'est-à-dire dans I et t), seront les deux projections (en quelque sorte) —A sin/, Acost,ou — A/cd, A/nto, de A, tandis que, ' dans C, suivant la direction des 2, parallèle aux ondes, où l'écart de

phase d'avec les autres composantes est-» mais où Tamplitude atteint

— - ^ sa valeur totale C, le coefficient analogue sera Ae^ * , c'est-à-dire

:^ A \/— 1, les signes supérieur et inférieur correspondant respectivement au sens direct et au sens inverse du mouvement de l'élher dans ses orbites circulaires. Ainsi, les formules de Ç, t), Ç, pour le rayon incident, seront les parties réelles des trois expressions données

(Ç, -n» C) = A(— /co, mw, -- v^-^) eA(/-/ar-m>')^rT^

Devant avoir à vérifier, pour .r =:o, les quatre conditions (90), il convient de n'associer à ce rayon incident que des rayons réfléchis et réfractés, de formes analogues, où l'exponentielle se réduise alors à e*^'""*>'H ~* et, se trouvant facteur commun dans tous les termes <^c (90), réduise ces quatre conditions à de simples équations entre constantes; car on peut y négliger, comme aux n*** 32 à 45 (p. 35o à 398), sauf d'insignifiantes erreurs relatives, les petites variations d'amplitude et de phase existant d'un point à l'autre d'une même onde. Ainsi, d'une part, les normales menées de l'origine aux ondes réfléchies et réfractées seront toutes dans le plan des xy^ d'autre part, le quotient m de tout sinus soit de réflexion, soit de réfraction, parla vitesse de propagation des ondes réfléchies ou réfractées correspondantes, devra avoir la valeur donnée •

C'est dire que la construction d'Huygens s'appliquera. Mais comme, ici, la surface d'onde courbe relative à chaque milieu consiste en deux sphères décrites autour de l'origine comme centre, ou que tout rayon lumineux coïncide avec la normale à ses ondes, les rayons soit réflé-