DOUBLES RÉFLEXION ET RÉFRACTION CIRCULAIRES

chis, soit réfractés, se construiront, dans le plan même d'incidencCy au moyen de la simple proportion de Descartes ou des sinus.

Il y aura ainsi, pour le rayon incident proposé, quatre rayons réfléchis ou réfractés distincts, réels ou imaginaires, un par nappe sphérique d^onde courbe dans chaque milieu ou par valeur possible du paramétre analogue, à /. Nous appellerons celte valeur /'et l" dans les deux rayons réfléchis, /j et /, dans les deux rayons réfractés, valeur (quand elle se trouve réelle) négative pour les deux premiers, dirigés vers la région des x négatifs, et positive pour les deux derniers, qui vont dans la région des x positifs : w' et u>* (dont Tune se confondra avec u>), ûD, et coi désigneront les vitesses de propagation correspondantes, constantes et connues. Enfin A' et A'', A, et A, seront les coefficients d'amplitude, à déterminer, aflectant respectivement

(— /' u>', /nto', — /r7)e*(/-/'d:-mrJ^-Hi^ (— /'w', ma>', v/^c*^'-:''*-'»:^)^^, (— /j to, , /ncoi , — /^) e*t'-'«*-'»r' ^ (— /j 0) j , mto, , yZ—T) ^Atz-z^x-my) v^T^

dans les expressions symboliques des déplacements Ç, t^, C réfléchis ou réfractés. Alors les conditions (90) (p. 343), dont deux contiendront seulement Ç, 1^ ou leurs dérivées premières en x, y, et les deux autres, seulement C ou sa dérivée en x, sur les deux faces du plan a? = o, deviendront les quatre équations du premier degré, homogènes en A, A', A", A|, Aj, justement nécessaires et suffisantes pour déter-

miner les quatre rapports ^^ — ' ^-^* — ~ - Le problème des doubles

réflexion et réfraction circulaires sera donc résolu.

On voit que, si les rayons tant réfléchis que réfractés se trouvent réels tous les quatre, ou qu'aucun des paramètres /', /", /j, /j ne soit imaginaire, le symbole \[^ i ne figurera pas dans ces équations, après suppression de facteurs communs évidents. Il y aura donc, à la surface X !: o et aux diverses époques f , simple proportionnalité des déplacements réfléchis ou réfractés, suivant un axe quelconque, au déplacement incident suivant le même axe, c'est-dire synchronisme des mouvements sur tous les rayons, comme dans les réflexion et réfraction simples, sans difl'érences de phase autres que des demipériodes, produisant suivant chaque axe de simples renversements de sens.

Quand le premier milieu devient symétrique, par l'annulation de son coefficient g, les deux sphères constituant sa surface d'onde courbe se confondent, et l'on obtient, pour deux rayons incidents de même direction à vibrations circulaires inverses, où nous appellerons A et 6 les coefficients respectifs donnés d'amplitude, les mêmes B. — II. 3o

466 UILIBUX TRAN8PARRNTS DISSYMÉTRIQUES :

valeurs de /', /", /,, /j, dont les deux premières égalent alors — /. Donc la superposition de ces deux rayons incidents conduit à superposer aussi, sur les mêmes voies d^ébranlement, les vibrations réfléchies et réfractées respectives. On n'a ainsi que deux rayons réfractés distincts et un seul rayon réfléchi, au lieu de quatre réfractés et de trois réfléchis (deux réfléchis, inclinés d'un même angle ir — i sur les x positifs, se confondant toujours). De plus, il suffîra d'adopter deux nouvelles constantes arbitraires, égales à (A — B)y/ — i et à A-hB, pour réduire le mouvement transversal, sur le rayon incident composé (où les vibrations circulaires de sens inverses auront mêmes vitesses de propagation et garderont partout leurs difl'érences de phase), à deux composantes rectilignes mutuellement indépendantes, l'une suivant les z, l'autre suivant la direction perpendiculaire transversale, c'est-à-dire pour réduire le mouvement incident à des vibrations élémentaires rectilignes et non circulaires.

Nous savons, par les théories des réflexion et réfraction simples, que, si le second milieu devenait également symétrique, la même réduction aurait lieu sur les rayons réfléchis et réfractés : preuve qu'alors chacun des deux rayons incidents rectilignes élémentaires donnerait deux rayons égaux soit réfléchis, soit réfractés, à vibrations circulaires inverses, animés des mêmes vitesses de propagation et produisant ainsi, par leur superposition, des rayons rectilignement polarisés.

Le coefficient g est, dans tous les corps, assez petit pour qu'on puisse eflectivement, aux distances d'une surface séparative comparables à la longueur d'onde, raisonner comme si les milieux étaient symétriques et, par conséquent, se dispenser d'y décomposer un rayon incident, reclilignement polarisé, en deux rayons égaux à vibrations circulaires de sens inverses, mais évaluer dans l'hypothèse de coefficients^ nuls les rayons réfléchi et réfracté, rectilignes aussi, qui en résulteraient.

Cela revient à faire abstraction de la dissymétrie, seulement dans les calculs d'amplitudes vibratoires, pourvu que l'on dédouble ensuite les rayons rectilignes, réfléchi et réfracté, ainsi obtenus, en deux circulaires égaux et inverses à chacun desquels on attribue alors la vitesse de propagation qui lui est spéciale, légèrement diflerente de celle de son conjugué inverse. Et on lui attribuera aussi, par suite, la direction corrélative, ou propre, assignée par la loi des sinus, si du moins on doit suivre les deuxî rayons circulaires jusqu'aux distances où ils se séparent.

Les deux milieux pourraient ne diflerer que par le signe ou la grau-

DOUBLES RÉFRACTIONS CIRCULAIRE ET ELLIPTIQUE. Ifi']

deur de ^ (^ ). Alors rannulation de la dissymétrie, dans les conditions relatives à leur limite mutuelle, les rendrait fictivement identiques; et il est clair que les rayons ou rectilignes, ou circulaires, passeraient de Tun à l'autre sans dédoublement ni altération (soit de phase, soit d'amplitude) appréciables. Les changements seuls de leurs vitesses de propagation et, par suite, de leurs directions, dont les effets observables croissent comme la longueur des trajets parcourus, seraient perceptibles. Et ils obligeraient à choisir comme éléments, dans la question, des rayons circulaires; caries rectilignes ne constituent plus des solutions simples dès quMntervient la dissymétrie.

74. Double réfraction elliptique. — Supposons enfin qu^un corps homogène transparent, sensiblement isotrope quant aux. petits termes (:2i8) (p. 4^6), soit hétérotrope, quant aux termes principaux. (4) (p. 271) de sa résistance {^xi ^y% ^z) ^"^ vibrations de Téther. Dans tout système d'axes rectangulaires, les équations de mouvement y seront donc (6) (p. 27a), avec D'^i^l^y E'~E, F'=F, accrues, aux premiers membres, des expressions respectives (218).

Pour traiter d'abord le cas le plus simple, admettons que notre corps soit, abstraction faite des termes en gy un cristal uniaxe, parcouru par des ondes planes sensiblement normales à Taxe. Si nous prenons celui-ci pour axe des 5, nous aurons (D, E, F)=:o, B=:: A; de sorte que les équations du mouvement seront les précédentes (220) (p. 4^8), dans la troisième desquelles seulement il faudra remplacer a, au premier terme, par une autre constante c. Dès lors, la relation obtenue en différentiant respectivement ces équations par rapport à Xy y y z et ajoutant n'est plus 6 =ro, mais

a* \dx dy) ~^ c^ dz "^

Or, pour les ondes planes parallèles aux j:/, 011 la variable principale ne contient que la coordonnée 5, Ç, t), C ne dépendent de x et de y que par leurs variations lentes; et cette relation donne Ç de

l'ordre de petitesse des ~— — -y tout comme quand on avait c=:a. 11

en résulte donc les mêmes conséquences qu'au n° 71 (p. 4^2), relati-

(') C'est ce qui arrive quand ce sont deux mélanges de même densité, mais à proportions inégales, de molécules individuellement dissymétriques, d'une composition chimique commune, mais de deux formes géométriques distinctes, symétriques Tune de Tautre.

468 MILIEUX TRANSPARENTS DISSTMfiTRIQUBS :

vement à la disparition de C dans les deux premières équations (2:20) et, par suite, aux lois des déplacements transversaux |, tj. La nouvelle constante c nUnflue que sur le déplacement longitudinal C> ici insignifiant. Donc les phénomènes observables seront ceux d'un milieu isotrope dissymétrique où Ton aurait cz=ia\ et, par raison de continuité, il en sera sensiblement de même si les ondes font de petits angles avec le plan des xy.

Comme, d'ailleurs, les relations définies (90) continueront visiblement à subsister aux surfaces séparatives de tels milieux, et même avec des ondes planes dWientalion arbitraire, il est clair que les lois précédentes de la double réfraction circulaire s'observeront pour tous les rayons presque parallèles à Taxe. C'est, en particulier, ce qui a lieu dans le quartz : fait remarquable, découvert et constaté par Fresnel.

Mais passons à des ondes planes de direction quelconque. En raison de la complication des calculs, nous nous y bornerons ( * ) au cas sim pie où leur amplitude sera supposée uniforme et, par suite, leur étendue i indéfinie latéralement, comme il s'en produira, par exemple, un système de parallèles à la surface» à l'entrée dans le corps par une face plane, si un tel système extérieur, venu de l'infini, atteint cette face sous l'incidence normale.

Afin de pouvoir employer, dans notre présente étude, les formules symboliques simples (231) de S, t), C» fonctions de ^ et de 2 seulement, adoptons, comme aux numéros 69 à 71, un axe des z dirigé suivant le sens de la progression même des ondes, et associons-lui, comme axes des x et des^, les axes mêmes de Tellipse d'intersection de l'ellipsoïde inverse par un plan d'onde diamétral. Les expressions (218) deviendront respectivement

Elles ne donneront donc rien dans la troisième des équations (6) (p. 272) qui aura, d'ailleurs, son second membre identiquement nul. Cette troisième équation (6), ainsi devenue, après suppression du facteur p,

^[E5H-Dï,-h(i + G)C]=o, conduira évidemment, pour les catégories de phénomènes étudiées, à

(>) Du moins dans le texte; car la note des pages 4?^ ^ 47^ aura pour but le cas d'ondes latéralement limitées.