DOUBLE RÉFRACTION ELLIPTIQUE
rintégrale
(232) E$-4-D7i-4-(i-4-C)C = o ou ç=-^J--__^73.
Éliminons donc, par celte formule, ^ des deux, premières équa-
lions (6), qui ont actuellement pour seconds membres jx -j-j et l>--rj'
La première, par exemple, en n'y comprenant pas encore le terme (28 1 ) correspondant, sera
, no / * E« \rf«{ /^ DE \C?>7J d^\
Or nous savons que les deux vibrations rectilignes alors possibles
sont respectivement parallèles aux deux plans des zx et des zy^ de
manière que Ton puisse poser soit tj = o, soit Ç = o. L'équation (233)
admet donc des solutions où Ç est nul, mais non r^. Cela exige que
Ton ait
DE
Ainsi, les fonctions \y t^ se séparent, dans Téquation (233) et dans son analogue en yj. Alors, d'après (233), — ( 1-4- A ^ \ est l'inverse du carré de la vitesse avec laquelle se propage la vibration parallèle aux zxy dans l'hypothèse présente où les termes (23i) n'existent pas. Appelons a cette vitesse de propagation, b la vitesse analogue pour la vibration orientée dans le plan des zy ; et admettons, afin de fixer les idées, que l'on ait choisi les axes de manière à avoir a>b.
Cela fait, restituons aux premiers membres de l'équation (233) et de son analogue en t) les termes correspondants (23i). Après division par fjL, nous pourrons poser, pareillement à (219) (p. 457 ),
fx\ I-+-C7 aï {iV H-G/ b2
et les équations définitives en ^, t^ seront
470 MILIEUX TRANSPARENTS DISSYMÉTRIQUES :
On aura, par suite, au lieu des relations (228) du cas précédent :
(a>« — a»)L — (2^^aa>i/g/— I JM ==0,
L^élimination du rapport -z-r entre elles donne Téquation aux vitesses de propagation
(237) (to*— a«)(a)*— b«)=4<r*^*al><«>'-
Celle-ci peut, dans la pratique, être résolue en négligeant les termes en g^y sauf sous le radical, où ils figurent à côté d^un carré égalemenl très petit (a' — b*)*, mais où le produit (a'+ b*)/:' pourra, tout de même, être remplacé par 2abA:'. On aura ainsi
al -4- M / / a* M \ *
(238) io«= ^ zti/ l^—^ — j H 4^îa»b*A^
Nous appellerons (i>| la vitesse de propagation la plus grande, celle qui serait a si ^ tendait vers zéro, et a>t la plus petite. Comme le radical sera très petit par rapport au terme qui le précède, la difTérence^
wî — a>J , - , . 0)*— «!)}
0), — (I). ou — ï -j de ces deux vitesses pourra s écrire ' , •
On aura donc
(a39) w, — oj,= 4// — J ^4^»abX:«.
Admettons que la direction des ondes soit définie par les deux angles U' et U* (toujours compris entre zéro et ir) de leur normale avec les deux normales aux sections circulaires de Tellipsoïde. Alors la difTérence a* — b* sera celle des deux expressions de co* données par la formule (186) (p. 4^5), où Ton aura v = o, c'est-à-dire justement la quantité R fournie par la formule (igS) ('p. 4^7)» ^^ égale à (a' — c' ) sin U' sin U''. Et, vu d'ailleurs que a' — c* ne différera pas sensiblement de (a — c) isfoLc^ ni (sous le radical) ab de ac^ il viendra
(240) ù)i— (ii| = /(a — c)» sin» U'sin* U'-f- l^g^ack^.
Occupons-nous maintenant des rapports de L à M ou de M à L^ définis par les relations (286), compatibles grâce à (237). Sauf dans les petites différences w*— a*, (o* — b*, que donnera la formule (aSS),
DOUBLE RÉFRACTION ELLIPTIQUE. ^Jl
a, b, 0) pourront y être faits égaux à ^ac. Et, par exemple, dans le cas de la racine a>i, nous aurons
(a4f) M=-yLv/^,
si Ton pose
w} — a' __ i^ack ^ "" igack "" toj — b-
Substituons à to} — b' la valeur tirée de (aSS), où nous mettrons ensuite pour |(a' — b') son expression déjà employée ci-dessus,
^ac{a — c)sinU'sinU'.
Il viendra
(a — c)sinU'sinU''-t-v/(a — c)5 5inîU'siHSU''-i-4^*«c'/:*
Dans le cas de la seconde racine (D], les équations (a36) donnent de même
si l'on pose
__ igack ^ ^- a*— 0)1'
et l'expression de a' — wj tirée de (238) montre que le nouveau coefficient q est égal au précédent, ou défini encore par (24^).
Enfin, prenons, dans (221), soit L, soit M, de la forme CW"*; et gardons comme expressions des déplacements efTectifs les parties réelles de ces formules symboliques, en faisant encore abstraction du coefficient d'amplitude C et de la constante de phase c. Nous aurons les équations des deux systèmes possibles d'ondes planes :
(243) {= CCS (A:/ j» T) = ^sin(A:^ j;
(2U) Ç = ^sin(x:^-^), .)= cos(a:^-^).
Dans le premier système, 0(1 la vitesse de propagation est w,, les trajectoires des particules élhérées sont les ellipses ^'Ç*-i- ti*=: const.; et ces ellipses, si le coefficient k est positif, se trouvent décrites dans le sens direct, c'est-à-dire en tournant des x positifs vers les/ positifs (dans Tangle des xy positifs). La valeur (242) de q étant plus petite que l'unité, sauf quand l'un des deux angles U', U'' s'annule et
