APERÇU SUR LES ONDES PLANES LATÉRALEMENT LIMITÉES

Cette théorie ne trouve guère d'applicatloo qu'au quartz, où l'ellipsoïde inverse est de révolution (en sorte que U'' y égale U'). La

constaots. Oo pourra remplacer, dans celles-ci, el sauf erreur négligeable de Tordre des dérivées secondes. M, N par leurs valeurs approchées proportionnelles à L« que fourniront, par exemple, (341) et puis {2Z2); ce qui réduira ces seconds

membres à trois trinômes en -r- r- Alors les équations (236) ainsi trans-

formées, résolues par rapport à M, feront connaître en fonction de L ce coeffî-

cient M, qui peut différer de sa valeur (24O par de petits termes en -^ r;

mais Tégalité nécessaire des deux expressions de M ainsi obtenues donnera, pour tenir lieu de l'une d'elles, une relation de la forme

E,^^ r^à^ f>àL

qui régira le coefficient d'amplitude L. Après quoi, l'équation remplaçant (aSa) fera connaître N, qui peut, comme M, différer de sa valeur de première approximation par des termes en -r- ;•.

L'équation (a) montre que le coefficient L d'amplitude se trouvera constant suivant les droites parallèles à la direction ( P, Q, R). Celle-ci sera donc celle du rayon lumineux. Comme dans tous les cas que nous avons rencontrés jusqu'ici, le rayon vecteur émané de l'origine et affectant la direction (P, Q, R) abou" tira au point de contact de L'onde plane avec la sur/ace correspondante d*onde courbe, enveloppe des ondes planes de toute orientation parties de l'origine en même temps que la proposée.

Celte propriété, admise par Huygens et Fresnel, est en effet, on va le voir, générale, ainsi que je l'ai démontré récemment (Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. CXXXV, p. 669; i3 octobre 1902) : elle s'applique quelles que soient les équations du mouvement, linéaires en ^, i\, ^ et leurs dérivées d'ordres quelconques relatives à x,y, z, /, du moins lorsqu'on les vérifie par les parties réelles de solutions symboliques ayant la forme

(P) (Ç,Ti, Ç) = (L, M,N)e*('-'oJ*^, avec to= Ix -{- my -h nz,

c*est-à-dire quand il s'agit (p. 4^9) d'ondes planes persistantes, à propagation uniforme et à vibrations pendulaires. Dans ces formules (p), t^ est le temps employé parles ondes à atteindre le point {x, yj z) après leur passage à l'origine; et, par suite, /, m, n ont des valeurs réelles constantes, proportionnelles aux cosinus directeurs donnés de la normale aux ondes. Mais, comme on a vu page 459, les coefficients d'amplitude L, M, N sont généralement imaginaires, et n'ont de valeurs rigoureusement constantes que dans les ondes dites indéfinies, pour devenir des fonctions lentement variables de x^ y, z dans les ondes latéralement délimitées.

Les dérivées de L, M, N, que nous écrirons , , ' ' * — r» seront donc petites et,

à{x,yyZ)

ne variant de fractions notables de leurs valeurs que sur de longs parcours, elles

auront, comme on l'a vu ci-dessus encore, leurs propres dérivées négligeables.

Dès lors, chaque difTérentiation en a?, y ou -8, effectuée sur les expressions (p)