RAYONS LUMINEUX DANS UN MILIEU TRANSPARENT QUELCONQUE

valeur de g^ susceptible de changer de signe suivant les deux dispositions, symétriques Tune de l'autre, que peuvent présenter les faces

de ^t T), \ ou sur leurs dérivées, revient à introduire devant l'expression diiférentiée (abstraction faite de l'exponentielle), le facteur symbolique

— k{lymyn) ^ — I -I-

à{Xyy,z)

Les symboles ^ . — — » ajoutés, dans ces formules, à l, m^ n et que

A* ô{x^ yy z)

suivra finalement L, M ou N, pourront, dans les combinaisons d'opérations, être assimilés à des accroissements très petits de /, m, /i, et être désignés par d/, dnif drij en ce sens que leurs carrés et produits symboliques se trouveront négligeables, chacun d'eux indiquant une dérivation irés rapetissante à effectuer sur la quantité qui suit. Quant aux dérivations en /, elles reviendront à multiplier simplement par Ary/— 1 Texpression différeniiée.

Cela posé, si <p, Xi +» 9it Xi* 4'i> ?2» Xj» ^i sont, dans le cas d'ondes planes indé' finies, les polynômes en /, m, n résultant de la substitution des expressions (P) de \, 7\, Ç dans les divers termes, respectivement en ^, t^ et Ç, des équations proposées du mouvement, les équations obtenues en /, m, /t, L, M, N s'écriront alors, après suppression de l'exponentielle :

' (pL ^x^^ -1-4' N =0, (p,L-^XlM-f-+,N = o, (pjL-f-X2M-f-4/,N = o.

Et elles entraîneront, outre la proportionnalité de L, M, N à trois polynômes \ {A, V en /, m, n^ l'équation entre /, /n et /t qu'exprime l'annulation du déterminant de ce système homogène.

Si, au contraire, les ondes étant latéralement limitées, L, M, N varient lentement d'un point à l'autre, /, m, n se trouveront accompagnés, dans 7, X« ^) ""> de leurs petits accroissements symboliques dl^ dm^ dn définis ci-dessus, à traiter comme des différentielles. Appelons ()«p, dx<, J<j/, ... les accroissements symboliques analogues -^àl-h -^dm-^ 7i ^'^f **•' ^^ '^ système (y) fera place au système plus complexe, en partie symbolique,

Î9L H-xM -f-^/N -hdf,L -hàyi,M -^(^<^.N =0, ?iL -f-X.M -+- +iN -H d?,.L H- dx^.M -h d^^.N = o, çpjL-hXaM -i-4^jN -hdçj.L-h dx^M -j-d^^j.N = o.

Or cherchons l'enveloppe des ondes planes indéfinies, de toute direction,

/j— const., ou /^ -j- m^ -f- /ïz rr const.,

passées simultanément à l'origine. Son point (o?,^, 4) de contact avec l'onde enveloppée produisant les déplacements exprimés symboliquement par (p) véri-

LEUR CONSTRUCTION GÉNÉRALE PAR LES SURPACKS d'ONDE COURBES. 4^^

du cristal, y est assez petite pour annuler sensiblement le rapport q des axes dès que Pangle U' excède une quinzaine de degrés. Pour les

liera, comme on sait, quel que soit le rapport de dl à dm^ l'équation

X dl -h y dm -^zdn = o;

et il j a lieu, pour déterminer la direction (Xy y, z)f de chercher Téquation aux différentielles totales en dl, dm^ dn résultant du système (y).

Différentions donc complètement celui-ci. Nous aurons, en appelant maintenant dlf dniy drif dfp, dx^ •••» des différentielles effectives et non plus symboliques,

çrfL -+- X «^ H-^/rfN -+-d<p.L -+-rfx*^ 4-rf^.N =0,

(y') ç, rfL -h X, rfM -h +, rfN -+-rf;p,.LH-rfXi-W-+-^'t'i-N = o,

?j rfL -h Xa dM -h ^j rfN 4- rfçj.L H- dy^^.M ■+■ rf^J^j.N -- o.

Appelons V, (jl', v' les trois multiplicateurs, fonctions entières et connues de /, m, n, qui vérifient le système homogène

(6) (pV-+-9,ix'-h9,v'=o, X>^'-^-Xl!^'-*-X2^'=o» ^;X'-h ^/.{l'-i- +5v'= o,

parfaitement compatible, à raison de ce que son déterminant est celui du système (r) et a été annulé. Alors les équations (y') et (y"), multipliées respectivement par X', p.', v' et ajoutées, donneront

(Vdç H- jx'dç,-!- v'()(pj)LH- ( V (^ -+- jx' (^, -h v' dXj ) M

-h ( X' d^ -f- jx' d^i H- v' d^j ) N = 0, (X'rfç-t- jx'd9,-hv'rfîpj)L-+- =0,

ou, en développant d?, dx, . . ., d<p^ dx, . . ., et faisant, dans la première équation,

abstraction du facteur commun ,9

Mais, à une première approximation, les rapports mutuels de L, M, N sont

partout ceux de X, pi, v; et dans les petites dérivées premières ~» on

peut, sauf erreurs négligeables de Tordre des dérivées secondes, supposer proportionnelles les variations ^t/nK/fa/iee5 de L, M, N. Par conséquent, si I désigne un coefficient quelconque d'amplitude, par exemple, le rapport commun de L, M, N

à X, {A, V, les dérivées -^7 — '■ — ^-— : vaudront les produits respectifs de L, M, N

P*'^ ï Tt ~ ' Soient donc P, Q, R les trois quantités entre crochets dans la

seconde équation (6'), après substitution de X, (i, v à L, M, N; et ces deux équations deviendront :

(8-) P^ + 9^ + «^=o, Pd/+Qrfm + Rdn = o.

l dx l ày \ dz ^

La première, analogue à (a), montre que Tamplittide I se conserve suivant la

476 GONSTB. 6ÉNÉR. DBS RATONS PAR LES SURFACES d'oNDE COURBES.

inclinaisons plus grandes de la normale aux ondes par rapport à Taxe du cristal, les termes en g sont donc négligeables dans les formules précédentes; et Ton observe alors les lois de la double réfraction ordinaire. Mais, au-dessous, les vibrations simples sont elliptiques; et les observations confirment très sensiblement les formules (242) et (2^5) tant de Teliipticité que des écarts de phase entre les deux ondes (•).

75. Rotation du plan de polarisation par le magnétisme. — Un corps transparent, isotrope-symétrique, placé dans un champ magnétique homogène, c'est-à-dire entre les deux pôles d'un aimant convenablement constitué, acquiert un genre spécial de symétrie, ou plutôt à^isotropie dissymétrique. En assimilant Taimant à un ensemble de

direction (P,Q,R); et la seconde, rapprochée àtVéqn^lxon x dl -k- y dm-^ z dn =0, fait voir que les coordonnées! (ar, y, «) du point de contact de Tonde plane avec son enveloppe sont proportionnelles à P, Q, R, ou que le rayon vecteur tiré de l'origine au point de contact a bien celte direction suivant laquelle le mouvement se transmet, en d'autres termes, qu'il trace le rayon lumineux.

Il suffit, on le voit, que l'équation en /, m, n puisse être débarrassée du symbole y/— I, et qu'elle admette des racines réelles quand /, m, n reçoivent les rapports mutuels soit donnés, soit voisins de ceux-là, pour que des ondes planes persistantes, ou d'une amplitude I se conservant à toute distance dans le sens des rayons, se trouvent possibles. Elles seront, de plus, dél imitables latéralement, avec continuité, d'une manière arbitraire; car, dès que I sera invariable le long des rayons, la première équation (5') étant satisfaite, les relations (Y')*e réduiront à deux (distinctes) seulement; et on les vérifiera^ quelles que soient les

petites dérivées -^—^ — - — / subsistantes, par d'imperceptibles altérations des rapâ{x,y,z)

ports mutuels de L, M, N, c'est-à-dire par d'insignifiants changements des trajectoires de l'éther ou des différences de phase qu'y offre le mouvement projeté suivant les divers axes.

Pour revenir, en terminant, à nos milieux hétérotropes-dissymétriques, il est clair que les conditions (90) (p. 343) s'appliqueront encore à leurs surfaces séparatives, que, par suite, la construction d'Huygens y donnera généralement, pour un rayon incident constituant une solution simple, ou à polarisation elliptique, deux rayons réfléchis et deux rayons réfractés, exprimant aussi des solutions simples des équations de mouvement respectives de leurs milieux, bref, que les considérations du n** 73 (p. 4^4)» relatives aux doubles réflexion et réfraction circulaires, s'y étendront.

(*) Si l'on tenait compte de Vhétérotropie du cristal, même dans les petits termes qui expriment sa dissymétrie, il est clair qu'on aurait des formules plus générales, ou à plusieurs paramètres disponibles au lieu du paramètre unique g auquel les réduit l'hypothèse restrictive de l'isotropie. On pourrait donc, par une détermination convenable de ces multiples paramètres, reproduire avec une précision encore plus grande les résultats des expériences les mieux soignées que Ton possède. Mais ce serait au prix d'une notable complication dont la nécessité ne me parait guère s'imposer jusqu'à présent, surtout dans un aperçu synthétique.

POLARISATION ROTATOIRB MAGNÉTIQUE. 4?/

soléDOïdes ou de courants circulaires, tournanl autour de la ligne des pôles prise pour axe des -s, on voit que la conlexlure du corps reste symétrique de part et d^autre du plan normal des xy^ mais que, en même temps, Taxe des z devient un axe à^lsotropie, en ce sens qu^une rotation quelconque des x et des y, autour de cet axe O2, opérée sans renversement ou retournement de celui-ci, ne peut rien changer aux formules des propriétés physiques du corps.

Il suit de là que certains termes de Fexpression de la résistance des molécules au mouvement vibratoire de Téther, incompatibles avec risotropie primitive, peuvent maintenant exister. Ce sont, en particulier, certains des termes proportionnels aux composantes Ç', t,', XJ de la vitesse vibratoire de Téther. Une rotation de 180®, opérée sur les X et les y autour de Taxe des z, changeant simplement les signes de Ç', tj' et des composantes S^g.} ^y d® I21 résistance, sans modifier C ni la troisième composante ^s, et, de plus, une telle transformation de coordonnées devant laisser les formules de âi^y «^y, ^z invariables, XJ ne pourra pas figurer dans Jl^; ou dans ^y, ni Ç', r^' dans ^5. D'ailleurs, si le corps est transparent, Ç' ne paraîtra pas dans ^x» no" plus que tj' dans «R^, ni XJ dans Jl^; car on a vu (p. SyS) que des résistances proportionnelles aux composantes correspondantes de la vitesse produisent, quand elles sont notables, Textinction des ondes, sous des épaisseurs comparables à la longueur d'ondulation. Donc ^x aura acquis seulement un terme en tj' et êiy un terme en Ç'.

Enfin, les coefficients de ces deux termes seront égaux el contraires; car une rotation moitié moindre des x et des /, ou égale à 90°, qui transforme t/ en V et — V en r/, c^^ en t^;^ et — Jl^. en ,Ry, devra, toujours à raison de Tisotropie du milieu autour de Taxe des Zy changer la formule de ^y en celle de A^y mais la formule de — ^j. en celle de ^y. Et Ton reconnaît facilement que, dans ces conditions, les expressions de ^x et de ^y, en tj' et Ç', seront bien isotropes par rapport à Taxe 5, aucune rotation des axes rectangles des x et des/ autour de Oz ne les modifiant.

Mais l'expérience montre que les deux terines ainsi obtenus sont insensibles, quand on y remplace purement et simplement tj', \' par leurs valeurs uniformisées (p. 436), tandis que la seconde partie, ordinairement très inférieure à la première, des expressions de tj', Ç', en fonction des vitesses de même nom uniformisées, fait connaître des termes utiles à introduire dans les équations du mouvement. Cette seconde partie est respectivement, d'après ce qu'on a vu (p. 437),

A.Yi', A.Ç'; et les termes qu'elle donne, aux seconds