PAR UN MILIEU TRANSPARENT HÉTÉROGÈNE, A COUCHES PARALLÈLES

seront fonction de ^ et de j que par l'intermédiaire de la variable unique/ — m/; et le système d'ondes planes excité dans la région des X négatifs aura donné naissance, dans celle des x positifs, à des déplacements Ç, t}, I; dépendant uniquement des deux variables x, t — my.

Appelons /, sur chaque couche icrzconst., la fonction de x bien continue

(248) i = i/—i—"^'^i donnant /*-4-/n'=— -,

fonction parfaitement définie, même quanta son signe, si on Tastreint à devenir /q pour 07 = 0, c'est-à-dire à y être positive; et observons

que rintégrale / Idx, entendue dans le sens de / Idx, sera sensiblement, à cause de la lenteur de variation de /, de la forme

Ix -h consi., entre deux valeurs de x assez peu distantes, ou qu'elle y aura Ix pour partie variable, comme si /ne changeait pas. Alors, / Idx étant une fonction de j? connue, les deux variables t -my et x^ dont Ç, tj, Ç dépendent, pourront être évidemment remplacées par t — my — / Idx

et X, Or, vu l'extrême petitesse des changements de co, dans les étendues de dimensions comparables à une longueur d'ondulation, et vu aussi l'absence de la variable z dans ^, t), Ç, il est présumable que les ondes, cylindriques à génératrices dirigées suivant les «, auront de très grands rayons de courbure, ou que, entre deux couches assez peu distantes, elles ne différeront guère d'ondes planes à vibrations transversales et à normale située dans le plan des xy^ où elle fera un certain angle i avec l'axe des x. Cela exige que |, r^, C dépendent surtout de la variable principale

t — my —fi dx,

revenant à t — my — /j? -h const. dans des espaces restreints, ou qu'ils varient très lentement avec l'autre variable x. Car, s'ils changeaient aussi vite avec celle-ci qu'avec la première, ils ne se trouveraient pas approximativement compris dans le type d'expressions propre aux systèmes d'ondes planes parallèles aux 5 et à vibrations transversales, type qui n'admet comme variable de $,7), Ç qu'une expression linéaire de la forme t — m y — Ix -h consl., avec un coef-

500 ONDES COURBES INDÉFINIES, TRANSFORMÉES d'oNDBS PLANES

fîcîent / relié à m par la relation (248), comme Test justement / dans noire variable principale considérée entre des valeurs modérémenl distantes de x.

Ainsi, Ç, Y}, Ç seront des fonctions de /, or et / dépendant surtout de

l'expression t — m\ — / Idx^ par rapporta laquelle nous appellerons

5', W . . ., t/, t/, . . ., Ç', Ç', . . . leurs dérivées successives, mais dépendant aussi quelque peu de x seul, relativement auquel leurs petites dérivées seront désignées au moyen des différentielles correspondantes, écrites par des d de ronde. La lenteur des variations de

Ç, T), Ç avec j?, quand i — my — / Idx sera invariable ou qu'on suivra

(au besoin) une même onde, permettra d'ailleurs d'y négliger les

dérivées secondes -j— j à côté des dérivées premières (car celles-ci ne

varieront de fractions notables de leurs très petites valeurs que dans de grands espaces) \ et cette lenteur permettra même de négliger les dérivées premières, quand ce seront celles non pas de î, t), Ç tout entiers, mais à^ petites parties (de ?, tj, Ç) dont les dérivées par rapport

à t — my — / Idx seraient seulement de l'ordre des petites dérivées -r—

de 5, Tj, Ç tout entiers. Cependant, la petite dérivée en x de / pourra,

sans ambiguïté, s'écrire /', aussi bien que -r— » / ne dépendant que

de X,

Grâce à l'absence de la variable z dans |, tj, C et, par suite, dans 6, les équations ( 2 4^) se simplifieront. Vu aussi la seconde formule (248), elles pourront s'écrire :

((/^^/n')-^7^=A,(;,r.)-^^— , avec 6:=----—;

Les fonctions $, tj d'une part, î d'autre part, y sont séparées, la troisième, Ç, ne figurant que dans la dernière équation, et y figurant seule. C'est dire que la composante C des déplacements normale au plan d'incidence se déterminera indépendamment de leur composante parallèle à ce plan, et qui résulte de |, tj combinés, celle-ci (5, t;) se déterminant elle aussi, de son côté, à part de Ç. En d'autres termes, il y a lieu de décomposer les ondes planes données, ou les ébranlements qu'elles apportent sur la dernière couche homogène a* m o, en

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deux systèmes distincts dont le premier comprend uniquement des vibrations orientées perpendiculairement au plan d^ncidence, et dont le second est constitué par des vibrations comprises dans le plan d'incidence. Ce sont ainsi les équations du mouvement elles-mêmes qui indiquent ce mode de décomposition, dont nous avons fait usage dans le problème de la réflexion et de la réfraction.

80. Et y d'abordy ondes à vibrations normales au plan d'incidence. — Commençons donc par former des intégrales du système (249) qui, pour a? ^ o, se réduisent à ? = o, tj — o, C = une fonction donnée de t — my. Les deux composantes ?, tq y seront' nulles partout; et la composante C y sera, comme on a dit, une fonction, rapidement variable, de t — rny — j Idxy mais lentement variable de a: seul, astreinte à vérifier la troisième équation (249).

En diflerentiant Ç complètement par rapport à Xj il viendra d'abord,

vu la valeur, — /, de la dérivée de t — my— 1 Idx en x,

puis, par une seconde difTérentiation où la dérivée principale -r—

(/ûl/

de — sera seule sensible,

dx^ ^ djT dx dx

Les dérivations en y, où m sera constant, donneront plus simplement

On aura donc

et la troisième équation (249)) dont le premier membre sera évidemment (/*-+- m*) C, se trouvera réduite à

dx dx

Or celle-ci, multipliée par C, peut s'écrire (25o) ()(/;'2) = o;