ni^^ 1^1 o

composantes de o suivant les axes seront ^ — . — , et, celles

(/s, me, o) .. . ,, de e, / --' Ainsi Ion aura

, .,. ^ — -/no-+-/£ /$-f-mî

Après l'étude précédente de C, qui nous a donné î inverse de y/Z, il n'est pas improbable qu'il en soit de même de o. Nous aurons donc avantage à poser, par analogie,

où <p' sera une fonction différente de celle que contient la formule (252) et pouvant même, jusqu'à preuve du contraire, dépendre des deux

variables t — my — / Idx et Xy mais, en tous cas, ne variant que très lentement avec x seul, comme 8 et y// dont elle exprime le produit.

5o4 ONDES COURBES IlfDÉnNIES, TRANSFORMÉES D*ONDBS PLANES

Alors, si nous substituons à o, dans (253), cette expression (254)} ^^ si nous désignons par R la racine carrée (positive) de Texpression

il viendra

, ^^^ p ni , f ^ f "^

R^ /7?^r;;ïî-' ' R^ //î-Hm« '

Telles sont les expressions de Ç et de tj qu'il faudra différentier une

ou deux fois en x et y^ pour en déduire 6, et aussi AjÇ, AjT), et -rj^ r »

"(»^>^) qui entrent dans les deux premières équations (249)- Les petits termes en s n'auront de sensibles que leurs dérivées par rapport à la variable principale. Mais, dans les termes en cp', il faudra, de plus, mettre en ligne de compte les petites dérivées premières de tp' ou de ^^ en x seul et celles, du même ordre, de / et R en x, que nous appellerons /' et R'. Cette dernière, donnée par la différentiation de (255), sera évidemment

. , ^, 3 /«-H m' „ 3/»-f-/?iï ùl (237) R = 15 — / — — -r-.

Il viendra d'abord

d\ ml „ m d(f' mK , /* ,

t/J m* ^ Im ,

puis, par de nouvelles différentiations, où l'on observera que les termes très petits (en -p, R', t'\ n'ont que leur dérivée principale qui soit sensible,

d^\ ml^ ^ ml d^' (V /R'\ ,

ml d^' /m*

s/l^-hm^

mlR'

dy* ~

v//»H-mï

d*où Ton déduit, en réduisant et après substitution à R' de sa valeur (267),

(258) A,a=-g(/«-h/nt)<p-^.//^T^U'+2^^^^'-2^o-.

PAR UN MILIEU TRANSPARENT HÉTÉROGÈNE, A COUCHES PARALLÈLES. 5o5

On trouve de même

dr, dx'

dr.

/« , l di //'

dy~

U R^ /• "^//mT,,!^''

et, par suite,

(259) A,r. = ^(/M-m«)cp-4-/?iv/7"»T^«V-2 j^ ^ - -'JJt^ ?"•

FNÎ .11 • *^\ fi'^i .1 •

D ailleurs, en ajoutant — et — > il vient