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expression où les termes, très petits, n'ont que leur dérivée principale qui ne soit pas négligeable; et il en résulte

d{x^y) ^ ' ' lR t/a? iW^ • ' ]

Si Ton observe en outre que les premiers membres des deux premières équations ('î^o) seront évidemment les produits de /*-f-m* par

262 ) r = — ir ? -^ -7^= ^- - '- • V = D ? -*- -7^-^-= - »

on aura tous les éléments nécessaires pour développer ces équations. Et elles deviendront immédiatement

/ ml do' , / ,, /«— m^ , r-, ; A

En les ajoutant, après les avoir multipliées respectivement par m,

5o6 ONDES COURBES INDÉFINIES, TRANSFORMÉES d'ONDES PLANES.

— ly elles donnent

<264) j^ di""^' ^" ^?=o;

«e qui signifie, conformément à nos prévisions, que <p'' ne dépend pas

de J? seul, mais uniquement de la variable principale t — my — f Ida:,

Alors, les équations (256) montrant que <p' et e ont leurs valeurs ou primitives, ou moyennes (prises sur place), nulles en même temps que celles de (, t), la fonction <p', intégrale de ^'' dt^ prise sur place soit à partir d*un instant où q>^ s'annulait en {x^yyZ)^ soit de manière que sa valeur moyenne durant une période s'annule, ne pourra pas davantage dépendre de a; seul. Ainsi le déplacement transversale, seul sensible, aura l'expression (254) avec cp' fonction uniquement de

t — m y — / Idx^ expression analogue à celle, (^52), de C dans le cas

simple précédent de déplacements normaux au plan d'incidence; el Tamplitude des vibrations y sera, à la traversée des diverses couches, encore inverse de y/7.

Les équations (268), maintenant débarrassées de leur premier terme, se réduiront à

<265) t'^ — mV

iRV^'

Or, celle-ci, multipliée deux fois successivement par dt et intégrée chaque fois, sur place, soit à partir d'une époque où le repos primitif existait encore en i^x^y^ ^), soit de manière à annuler la valeur

moyenne de l'intégrale cp = 1 (^'dt durant une période, comme s'annulent les valeurs moyennes analogues de e', <p' et c, donnera

(266) z^—ml' 7"^ ^-

Les ondes à vibrations parallèles au plan d'incidence seront, en résumé, constituées par des déplacements transversaux sensibles S et par des déplacements longitudinaux insensibles e, ayant, après substitution de \Jl\l'^ ^- m*) à R, des expressions de la forme

<p' ( / — my — t ldx\

ONDES LATÉRALEMENT LIMITÉES, DANS UN MILIEU HÉTÉROGÈNE. 5o7

On remarquera que le déplacement longitudinal correctif s, dont la présence rend généralement un peu courbes les petites trajectoires de réther, s'annule quand on a /* = m*, c'est-à-dire cos*f = sin*/, ou quand les ondes sont inclinées à 4^^ sur le plan des couches équiréfringentes du corps.

82. Ondes à yibrations polarisées dans un azimut quelconque. — Supposons maintenant que, dans la première couche ^7=10, les deux composantes sensibles des déplacements, savoir, ^y normale, et 8, parallèle, au plan d'incidence, soient les deux projections du

déplacement transversal --^^'(t — fny) imprimé à cette couche par

un système donné d'ondes incidentes. Si V désigne l'angle de ce déplacement avec la normale au plan d'incidence ou des œy, la fonction ç'(/ — my) sera évidemment, dans Ç, le produit de ^'{t — rny) par cosV et, dans 8, le produit de ^'{t — my) par sinV. On voit que 8 et Z garderont dans toutes les couches le même rapport mutuel tang V : les vibrations se feront suivant un azimut V constant. Autrement dit, le plan de polarisation de la lumière sera, dans toutes les couches parallèles, incliné d*un même angle sur le plan d'incidence.

83. Étude d'ondes planes limitées latéralement. — Maintenant que nous savons intégrer sensiblement les équations (249) dans Thypothèse d'ondes planes, incidentes, latéralement indéHnies, ou produisant, près du plan ys, des vibrations de même amplitude en tous les points (/, ^), il nous faut passer au cas d'un pinceau limité de lumière parallèle, où ï, tq, t varieront lentement avec œ, y, z quand

la variable principale t — my — / Idx ne changera pas, c'est-à-dire

quand on restera sur une même onde, suivie au besoin dans sa propagation. On pourra, en effet, supposer ces variations, très lentes, ou analogues aux différentielles d\y âri, d^ de Ç, tj, C en ^ dans la précédente question, parce que la largeur du pinceau comprendra toujours un grand nombre de longueurs d'onde; ce n'est, du moins, qu'à cette condition que la transmission du pinceau de lumière ne se compliquera pas de phénomènes de diffraction. Négliger ceux-ci, comme nous le ferons, ce sera donc admettre une petitesse des dérivées

-T r de Ç, T), Ç, par rapport aux variables J7, j, z autres que

la variable principale t — my —Il dx, qui permette les simplifi-

5o8 ONDBS PLANES, LATÉRALEMENT LIMITÉES,

cations pratiquées précédemment dans les dérivations relatives à x, c'est-à-dire la suppression des dérivées secondes à côté des dérivées premières, et même la suppression des dérivées premières quand ce

sont celles de petits termes; solidaires des -r — ''—^ — -•

Il est clair qu'alors, les coordonnées y et z entrant très peu dans ?, TTj, Ç comme variables distinctes ( ou autres que la variable principale t — my— I IdxV on pourra admettre, en tant qu'approchée,

la formule (252) de Ç ou (267) de 8. Ces formules du déplacement sensible, soit perpendiculaire, soit parallèle au plan d'incidence, seront, même, évidemment exactes, si Ton y regarde 9' comme une inconnue à déterminer, fonction rapidement variable de

my — j l dx

(par rapport à laquelle les dérivées s'indiqueront au moyen d^accents) et lentement variable de a:, y, z.

Mais, en même temps, les résultats obtenus ci-dessus ne devenant alors qu'approximatifs, le déplacement C normal au plan d'incidence n'aura généralement plus lieu sans entraîner deux petites composantes inconnues, respectives, a, p, suivant les x et les y, c'est-à-dire parallèles à ce plan ; et, de même, la composante transversale S, située dans le plan d'incidence, entraînera généralement deux petites composantes inconnues : l'une, Sj, suivant la normale aux ondes ; l'autre, v, suivant les 5, en outre de la petite composante e déjà connue et reliée à ©' ou à <p par deux des formules (265) et (267). Mais ces petites composantes Ej, y, fonctions, comme C, à et e, des quatre variables

t — m y — / Idx et a?, v, z. n'auront de sensibles que leurs dérivées

par rapport à la variable principale t — my— j Idx, ou dérivées

accentuées ej, &*, etc.

Les équations (246) du mouvement ne se réduiront plus à (a49); et elles s'écriront, en y séparant encore la troisième des deux premières :